棱锥与多面体

多面体之棱锥 一 棱锥的概念和性质 定义 有一个面是多边形 其余各面是有一个公共顶点的三角形围成的几何体 1 有一个面是多边形 其余各面都是三角形的多面体是棱锥吗 2 各面都是三角形的多面体是棱锥吗 相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱 各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点 这个多边形叫做棱锥的底面 顶点到底面的距离叫做棱柱的高 其余各面叫做棱锥的侧面 2 用顶点及底面一对角线字母表示 如 棱锥 二 棱锥的表示法 1 用顶点及底面各顶点字母表示棱锥 如 棱锥 三 棱锥的分类 按底面多边形的边数分类可分为三棱锥 四棱锥 五棱锥等等 五棱锥 三棱锥 四棱锥 A A1 S B C D E H H1 B1 C1 D1 E1 由已知A1B1 AB B1C1 BC C1D1 CD 证明 因而 A1B1C1 ABC B1C1D1 BCD A A1 S B C D E H H1 B1 C1 D1 E1 又因过SA SH的平面与底面分别相交于A1H1和AH A1H1 AH 得 如果棱锥被平行于底面的平面所截 那么所得的截面和底面相似 截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比 课堂练习1棱锥的底面积是Q 过棱锥高的两个三等分点分别作平行于底面截面 则截面的面积分别是 2已知棱锥的高是4 则中截面 过棱锥高的中点且平行于底面 的面积是 3若棱锥的高为h 底面面积为S 一平行于底面的截面的面积是S1 当截面面积S1 S时 截面和底面相距是 五 特殊的棱锥 正棱锥 定义 如果一个棱锥的底面是正多边形 并且顶点在底面的射影是底面中心 正棱锥的性质 各侧棱相等 各侧面都是全等的等腰三角形 各等腰三角形底边上的高相等 即正棱锥的斜高相等 棱锥的高 斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形 棱锥的高 侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形 正棱锥侧棱与底面所成的角都相等 侧面与底面所成的二面都相等 例2 正三棱锥的底面边长是6 侧棱长是4 则 正三棱锥的高是 斜高是 侧棱与底面所成的角是 侧面与底面所成角是 两相邻侧面所成角是 C O E 例 下列定义的棱锥是不是正棱锥 底面是正多边形 侧棱与底面所成的角都相等 底面是正多边形 侧棱都相等的棱锥 底面是正多边形 侧面与底面所成的角都相等 侧棱都相等 侧面与底面所成的角相等 例3 已知正三棱锥的高为h 斜高为l 求经过高的中点平行于底面的截面的面积 S C1 A1 B1 A B C 下面给出的哪些是正棱锥 说明理由 A高过底面多边形外接圆的圆心的棱锥B侧棱都相等的棱锥C侧面与底面所成的二面角都相等的棱锥D侧棱与底面所成角都相等的棱锥E各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥F两相邻侧棱所成的角相等的棱锥 小结 1 性质棱锥 正棱锥的性质 2 正棱锥中的几个重要直角三角形及两类角 正棱锥的高 侧棱和侧棱在底面上的射影 正多边形的半径 组成一个直角三角形 正棱锥的高 斜高和斜高在底面上的射影 正多边形的边心距 组成一个直角三角形 正棱锥的侧棱 斜高和正多边形边长的一半组成一个直角三角形 正棱锥底面内 正多边形的半径 边心距和边长的一半组成一个直角三角形 正棱锥的侧棱与底面所成的角 侧面与底面所成的角 B A C D F C1 B1 D1 E A1 F1 E1 直观图的画法 x y O z A B C D E F 直棱柱的直观图的画法 x y O z A B C D E F A B C D E F 画轴 画x 轴 y 轴 z 轴 记坐标原点为O 使 x O y 45 或135 x O z 90 画底面 按x 轴 y 轴画正六边形的直观图ABCDEF 画侧棱 过A B C D E F各点分别作z 轴的平行线 并在这些平行线上截取AA BB CC DD EE FF 使它们都等于侧棱长 并加以整理 去掉辅助线 将被遮挡的部分改为虚线 就得到正六棱柱的直观图 成图 顺次连结A B C D E F 例3作一个底面边长为5cm 高为11 5cm的正五棱锥直观图 比例尺1 5 M N A1 B1 E1 C1 o1 正棱锥的直观图的画法 x y O z A B C D E S 画轴 画x 轴 y 轴 z 轴 记坐标原点为O 使 x O y 45 x O z 90 画底面 按x 轴 y 轴画正五边形的直观图ABCDE 按比例尺取边长等于5 5 1 cm 并使正五边形的中心对应于点O 画高线 在z 轴上取O S 11 5 5 2 3 cm 成图 连结SA SB SC SD SE 加以整理 就得到所画的正五棱锥的直观图 练习1 画一个底面边长是3cm 高是4 5cm的正三棱柱的直观图 不写画法 2 已知正六棱锥的底面边长为6cm 高为15cm 画出它的直观图 一 多面体 由若干个平面多边形围成的几何体称为多面体 围成多面体的各个多边形称为多面体的面 两个面的公共边叫做多面体的棱 棱与棱面的公共点叫做多面体的顶点 食盐 明矾 石膏 1 凸多面体 把多面体的任何一个面伸展为平面 如果所有其他各面都在这个平面的同侧 这样的多面体叫做凸多面体 问 以上多面体 哪个为凸多面体 多面体分类 按多面体面数分为四面体 五面体 六面体等 3 正多面体 定义 每个面都是有相同边数正多边形 且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体 叫