2023年湖北十堰郧阳中学自主招生数学试题真题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页湖北省十堰市郧阳中学2023-2024学年高一上学期学科特长生招生考试数学试题注意事项：1.本卷共有4页，22小题，满分150分，考试时限120分钟.2.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡指定的位置，并认真核对条形码上的准考证号和姓名，在答题卡规定的位置贴好条形码.3.选择题必须使用2B铅笔在指定位置填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔答题，不得使用铅笔或圆珠笔等笔作答.要求字体工整，笔迹清晰.请按照题目序号在答题卡对应的各题目的答题区域内作答，超出答题卡区域的答案和在试卷、草稿纸上答题无效.4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并上交.一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共计50分）1．如图，对于以下结论：①②③，其中正确的个数为（

）A．3 B．2 C．1 D．02．甲、乙、丙、丁各有一个不同的号码，赵同学说：乙是2号，丁是4号；钱同学说：乙是1号，丙是4号；孙同学说：甲是4号，丁是3号；李同学说：甲是1号，丙是3号，他们每个人都说对了一半，则丁是（

）号.A．1 B．2 C．3 D．43．一组数据为5、3、7、2、4、3，则这组数据的中位数与方差分别是（

）A． B． C． D．4．如果四个互不相等的正整数m、n、p、q满足，则的最大值为（

）A．40 B．48 C．50 D．525．如图，线段，射线BM与AB垂直，点是AB上的一个动点，点在射线BM上，且，作并取，连接AF并延长交射线BM于点.设，则关于的函数解析式是（

）A． B．C． D．6．若对于任意实数，方程恒成立，则m，n的值是（

）A． B． C． D．7．下面图形能够验证勾股定理的有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个8．若关于的不等式组最多有2个整数解，且关于的一元一次方程的解为负数，则符合条件的所有整数的和为（

）A．13 B．18 C．21 D．269．如图所示，将“”按照一定规律摆成下列4个图形，第1幅图形中“”的个数为，第2幅图形中“”的个数为，第3幅图形中“”的个数为，以此类推，则（

）A． B． C． D．10．如图，半圆的半径为1，A，B在半圆上，且相交于点.现将从OA与OC重合的位置开始，绕点顺时针旋转.给出以下结论：①的长与的长之和为定值

②使得的的值恰有一个③点运动的路径长为.则下列说法正确的是（

）A．①对②对 B．②错③对 C．①对③错 D．①错③对二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共计30分）11．如图，，点是内任意一点，分别是射线OA、OB上的动点，则周长的最小值为.12．若时，不等式恒成立，则实数的取值范围是.13．对于实数，规定表示不大于的最大整数，例如，若，则.14．对于函数（其中为正整数），当时取得最小值，则函数的最小值为.15．抛物线的部分图象如图所示，其顶点坐标为，与轴的一个交点在点和之间.给出以下结论：①；②；③当时，；④对于任意实数，不等式恒成立；⑤一元二次方程的两根为，则.则正确的结论是.（填序号）16．已知点是抛物线上一动点．（1）当点到轴的距离不大于2时，的取值范围是；（2）当点到直线的距离不大于时，的取值范围是，则的值为．三、解答题（本题共6小题，共计70分）17．（1）计算：；（2）若实数满足，求的值.18．已知关于的方程(1)若方程有实根，求实数的取值范围；(2)若方程有两个正实根，求实数的取值范围.19．给出以下等式：(1)观察以上各式的规律，可以得到：_____________（直接写结果，其中为正整数）(2)利用以上等式，完成下列两题：①对任意的实数，试比较与1的大小关系；②求值：20．如图，四边形是边长为的菱形，为的中点，与交于点.若边固定，当变动时，(1)证明：动点在定圆上；(2)设（1）中的定圆的圆心为，当时，与圆的另一个交点为，试求的面积.21．已知函数(1)当时，若函数图象与轴有三个不同的交点，求实数的取值范围；(2)当时，若对任意的均有成立，求实数的取值范围.22．已知二次函数的图像经过点，且顶点到轴的距离为.(1)求此二次函数的解析式；(2)当二次函数的图像开口向上时，如图所示，设图像与轴的交点为，与轴的交点为C，直线与轴交于点D，与BC交于点F，与抛物线的一个交点为E（E在BC的下方）.记的面积为的面积为，当取最大值时，求；(3)在（2）的条件下，过点E作对称轴的垂线，垂足为点G，则在抛物线上是否存在点P，使得的值最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．B【分析】根据数轴，得到，再通过不等式性质逐个命题判断.【详解】由数轴可知：，所以，所以，故①正确.因为，所以，所以，故②错误.因为，所以，所以，所以，所以，故③正确.综上，正确的个数为2.故选：B2．C【分析】假设丁的号码，推导是否有矛盾进行排除即可；【详解】若丁是1号，钱同学说“丙是4号”为真，则李同学说的全错；若丁是2号，则赵同学说的全错；若丁是4号，则孙同学说的全错；若丁是3号，赵同学说的“乙是2号”为真，钱同学说的“丙是4号”为真，李同学说的“甲是1号”为真，符合题意；故选：C.3．D【分析】先求出平均数，代入方差公式求解方差，将数据从小到大排列，然后利用中位数的概念求解中位数.【详解】由题意，则方差数据从小到大排列为2、3、3、4、5、7，其中位数为.故选：D4．C【分析】通过9的整数因子有，确定构成的集合，即可求解.【详解】因为9的整数因子有，由题意互不相等，所以构成的集合只能是，即构成的集合是，要使得取得最大值，则，此时，故选：C5．A【分析】作于，利用全等三角形性质及平行线分线段成比例定理列式求解.【详解】作于，由，得，在与中，，则≌，于是，，由，，得，因此，即，所以.故选：A6．B【分析】对原方程进行化简，根据方程恒成立的条件，列出方程组，求出结果.【详解】由题意可得，当方程恒成立时，可得，解得.故选：B.7．A【分析】根据不同图形中的面积的等量关系验证勾股定理.【详解】对于第一个图形，根据直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和得，，整理得，可以验证勾股定理；对于第二个图形，由图形可知，割补前后的两个小直角三角形全等，则原图形面积等于正方形的面积，即，化简得，可以验证勾股定理；对于第三个图形，大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形面积，即，整理得，可以验证勾股定理；对于第四个图形，右上角正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上正方形的面积，即，整理得，可以验证勾股定理.所以四个图形都能够验证勾股定理.所以能够验证勾股定理的图形有4个.故选：A8．A【分析】根据不等式组最多有两个整数解和方程的解为负数列出不等式组，解不等式组结合为整数即可求解.【详解】由关于的不等式组可得，因为该不等式组最多有两个整数解，所以，解得；由关于的一元一次方程可得，因为该方程的解为负数，所以，解得；综上，的取值范围为，又因为为整数，所以或，则符合条件的所有整数的和为.故选：A9．C【分析】由题意得，，利用裂项相消法求和即可求解.【详解】由题意可得，则，所以.故选：C10．B【分析】求出即可判断①；先根据圆周角定理求得，从而可得，由此即可判断②；取点的运动轨迹所在圆上一点，先根据圆内接四边形的性质可得，根据圆周角定理可得，再利用弧长公式求解可判断③.【详解】因为是等边三角形，所以，所以，所以的长与的长之和为定值，故①正确；由圆周角定理得，所以，所以为定值.使得的的值有无数个，故②错误；所以点的运动轨迹是一段圆弧，如图，取点的运动轨迹所在圆上一点，则，所以，如图，连接，则，（等腰三角形的三线合一），因为圆的半径为1，所以，所以，所以点运动的路径长为，故③正确.故选：B.11．【分析】分别作点关于的对称点，根据全等推出当四点共线时，周长有最小值以及为等腰直角三角形，进而计算即可.【详解】分别作点关于的对称点，连接，易得，，则周长为，显然，当四点共线时，周长有最小值，最小值为，因为，所以，因为，所以，故，故周长的最小值为.故答案为：12．【分析】令，由题可得，即可求解.【详解】令，由题知当时，恒成立，所以，解得，所以实数的取值范围是，故答案为：.13．8【分析】根据条件得，令，则，从而可求出，即可求解.【详解】由，得到，令，则，所以，则，解得，即，由，得到，所以，故答案为：.14．【分析】将函数整理成的形式，利用结论“对于函数（其中为正整数），当时取得最小值”求解.【详解】函数即函数可看作个绝对值项之和，其中包含1个，2个，3个，4个，5个，因为，所以当时，函数取最小值，最小值为.故答案为：15．①③④【分析】①根据顶点坐标判断；②根据当时，以及对称性判断；③根据时判断；④利用判断；⑤先将一元二次方程化简，再结合韦达定理以及判断.【详解】因为顶点坐标为，所以，即，故①正确；因为对称轴为，所以当，时函数值相等，又抛物线与轴的一个交点在点和之间，所以当时，，故当时，，故②错误；因为，所以当时，，又时，故，得，故③正确；因为，所以关于的一元二次方程满足，又，所以对于任意实数，不等式恒成立，故④正确；因为，所以，所以可化为，因为一元二次方程的两根为，所以，，，则故的值由共同决定，故⑤错误.故答案为：①③④16．【分析】（1）由解析式得到抛物线开口向上，对称轴为直线，求得点到轴的距离为2时的函数值，即可根据二次函数的性质求得符合题意的的取值；（2）由点到直线的距离不大于即可得到，解得，根据的取值范围是得到或，即可求得的值为或2．【详解】（1），抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为，函数有最小值2，点是抛物线上，且点到轴的距离不大于2，，时，；时，，．故答案为：；（2）当时，则，解得或；当时，则，解得或；的取值范围是，或，点到直线的距离不大于，，，，当在对称轴左边时：，当在对称轴右边时：，的值为或2．故答案为：．17．（1）（2）2024【分析】（1）由特殊角的三角函数值、绝对值的定义及分式分母有理化化简求值；（2）由根式、指数幂的运算法则化简求值.【详解】（1）=；（2）因为，所以，所以，即，即，所以，所以.18．(1)(2)【分析】（1）分，两类情况讨论求解即可；（2）由判别式和韦达定理列出不等式求解即可.【详解】（1）当时，方程为，解得，符合题意；当时，若方程有实根，需满足，即，解得，且，综上，若方程有实根，求实数的取值范围是；（2）由题意结合根与系数的关系可得：，且，即，且，解得：，且，即，故方程有两个正实根，实数的取值范围是.19．(1)(2)①；②【分析】（1）观察给定等式，利用规律写出答案.（2）①利用（1）中结论变形计算，结合实数的偶次方为非负数即得；②利用（1）中结论变形计算即得.【详解】（1）根据规律可得.（2）①，因为对任意的实数，，则，所以.②依题意，，因为所以.20．(1)证明见解析(2)【分析】(1)结合菱形的性质，相似三角形的比例关系和圆的定义证明即可；(2)建立平面直角坐标系，确定各个定点坐标，得到直线的交点，并求出另一个交点，计算出的长度和三角形的高点到直线的距离，最后运用三角形面积公式计算即可.【详解】（1）因为菱形，，且，是中点，所以.由，可得，即，由此可得，即是线段上靠近的三等分点.取上一定点，且靠近的三等分点，连接，则，所以，因此，故的长度为定值，且是定点.所以动点在定圆上.（2）当时，菱形为正方形，边长为，以为原点，所在直线方向为轴，建立平面直角坐标系.则，由(1)可得圆的圆心为，半径为，则圆方程为，直线的斜率，方程为，直线的斜率，方程为，所以联立直线与直线的方程，得到交点，同时将直线的方程代入圆的方程中得，，整理得，解得，即.又因为，点到直线的距离，所以的面积为.21．(1)(2)或【分析】（1）由时，令，转化为，令，利用数形结合法求解；（2）由得到，再分，和，由求解..【详解】（1）当时，令，得，令，其图象如图所示：因为函数图像与轴有三个不同的交点，所以由图象知：；（2）当时，，当时，在上递增，所以在时，，由题意需，解得；当时，开口向下，则在或处取得最小值，由题意需，解得；当时，在上递减，在上递增，所以当时，，不符合题意，综上：实数的取值范围是或.22．(1)或(2)(3)存在，【分析】（1）由已知设出二次函数的顶点式，代入已知点求解；（2）将表示为的函数，求其取最值时的，利用直线与抛物线联立所得方程反求值；（3）由线段与抛物线不相交，判断点坐标，验证求解.【详解】（1）由已知，二次函数的顶点坐标为或，若顶点坐标为，设二次函数解析式