江苏兴化中学全国各地模拟创新讲座

2005年全国各地高考模拟创新试题讲座 江苏兴化中学 研究高考 最终需要落实到试题的研究上 而试题研究一般为两个方向 一是研究近几年的高考题 二是研究针对相应高考的模拟试题 前者是前奏与方向指导 而后者是综合了前者的具体体现 其中的优秀试题更是如此 基于此点 笔者收录了2005年60套全国各地的模拟试题 再加上2004年9月到2005年4月底期刊中的零碎试题共计2400道 对其进行了筛选与归类 具体分六部分 集合简易逻辑不等式与复数 函数与数列 向量与三角 记数原理概率与统计 解析几何 空间几何 在此过程中 笔者认识到 优秀试题一般有三个先决条件 一是以能力立意 表现为很难单独地判断考查的是什么知识 而是在边缘知识上命题 是对数个知识的 串门 综合 二是蕴涵了一定的数学思想 不是简单的知识累计 这些常常通过学生易犯的典型错误或一题多解来体现 三是源于教材而又高于教材 其中的 高 不是无休止地向 广 或 深 俗称 深挖洞 这是区分高考与竞赛题的重要标志 单方面开拓 而是更加突出 新 意 主要是结构形式新或背景紧跟时代 平 意 主要是平常生活中常见 常用及知识上不超纲 这三个条件中 创新是试题的核心 这也正应了 知识有纲 能力无纲 的 遵循教学大纲又不拘泥于大纲 的近年一再提倡的高考政策 所以以创新为基准对试题进行了说明与分类汇编 一 集合简易逻辑与不等式 复数 一 考纲要求及分析1 集合与简易逻辑 理解集合 子集 补集 交集 并集的概念 了解空集和全集的意义 了解属于 包含 相等关系的意义 掌握有关的术语和符号 并会用它们正确表示一些简单的集合 理解逻辑联结词 或 且 非 的含义 理解四种命题及其相互关系 掌握充分条件 必要条件及充要条件的意义 集合是大学当中第一遇到的内容 也是现代数学的基础 因此 中学阶段集合上的能力更重要的是作为一种思想的渗透 而集合的思想方法又主要体现为 一是理论上的思想渗透 这不是高考命题的范畴 二是集合与其他知识如简易逻辑的类比性渗透 这也难于化到高考命题的范围 三是集合本身内含了博大精深的思想 而这又是高中阶段能解决又能反应能力的地方 具体又表现为三点 集合表示方法间的转化蕴涵了数学解题的原则性思想 列举表示法 具体化 文字描述法 熟悉化 属性描述法 直观化 图示法 简单化 符号表示法 有限集合元素个数确定的容斥原理 该部分在教材中处于阅读内容 它可以用初中及小学的解方程法加以解决 也可以用高中的容斥原理 集合的运算更多情况下是自定义的 集合与方程或不等式同解性联系 这一部分通常以其他知识的面貌出现 如 求 的解集 等等 充要条件的题一般有三种类型 一 传统的判断形 判断A是B的 条件 它常常以选择题的形式出现 二是 证明A的 条件是B 的证明型 三是 找出A的 条件 并证明 的开放型 后二者在高考中很少见到 2 不等式 理解不等式的性质及其证明掌握两个 不扩展到三个 正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理 并会简单的应用 掌握分析法 综合法 比较法证明简单的不等式 掌握简单不等式的解法 理解不等式 a b a b a b 从考题上而言 能力的反应变化为 在解法上由原来的等价转化 穿根法 更推进一步 出现了可以用图象法并结合其他知识的解题这一原来认为是特殊技巧的解法的试题 以此来体现创新能力 3 复数 这是限于理科的内容 考试要求为 了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义 掌握复数代数形式的运算法则 能进行复数代数形式的加法 减法 乘法 除法运算 了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想 该部分降低要求 重心自然也放在基本的代数运算上 将这几部分结合在一起 是因为集合中的事例常常是通过不等式解集来体现 试题中也最容易体现此点 而复数也可以看作是由于数集的推广得到的 例1 不等式e lnx x2 2的解集为 数理天地 2005年第4期P18 分析 将不等式转化为等价的有理不等式组 为此需要去掉绝对值符号 而lnx 0得x 1 此时e lnx elnx x 同理得出lnx0的隐含条件 解 原不等式等价于 或 的解为1 x 2 的解为0 x 1 总之 填 0 2 说明 该题综合了对数的运算 不等式的等价转化及分类讨论的数学思想 知识上不超纲 充分体现了运算与思维能力 例2 如图 某药典有一架不准确的天平 其两臂不等 和一个10克的砝码 一名患者想要20克中药 售货员将砝码放在左盘中 将药物放在右盘中 待平衡后交给患者 然后又将药物放在左盘中 将砝码放在右盘中 待平衡后再交给患者 设患者实际购买药物为m克 则m 20克 填 石家庄质检题 b a 解 设两臂长分别为b a b a 第一次 第二次称得的药物分别为x y克 则10b xa yb 10a 从而m x y 10b a 10a b 2 说明 该题容易看不懂题意 凭感觉 药店不吃亏 而错填 这与考纲中考查理性思维相对应 20 等号成立当且仅当10b a 10a b当且仅当a b a b m 20克填 例3 某商场对商品进行两次提价 现提出四种提价方案 提价幅度较大的一种是 A 先提价p 后提价q B 先提价q 后提价p C 分两次提价 D 分两次提价 以上p q 吉林质检 解 设原价为1 则A B提价后都为 1 p 1 q A B都不当选 方案C提价后为 1 说明 不等式 反应了平方和与和的大小关系 是教材中的一个习题 用它可以解决许多问题 该题给我们的启示是 应将之视作一个基本不等式对待 2 方案D提价后为 1 与 的大小 这是教 材中一个习题 有 由于p q 所以 2 只要比较 选D 例4 任意两正整数m n之间定义某种运算 m n 则集合M a b a b 36 a b N 中元素的个数是 金良 考试 2004 11 P25 解 a b同奇偶时 有35个 a b异奇偶时 有 1 36 3 12 4 9 9 4 12 3 36 1 6个 共计41个 填41 说明 定义运算是数学学习到一定程度的抽象产物 它给我们的启示是 集合间的运算并非仅教材上提及的几个简单运算 多数情况下是自定义的 二 函数与数列 一 考纲要求及分析 1 函数 对于函数的概念 考纲要求是 了解映射的概念 理解函数的概念 对其考查 主要在于函数的三要素 定义域 值域与最值 对应法则 解析式 上 函数的定义域 其实多数是解不等式 组 解析式则常见的方法有代换法 拼凑法 待定系数法 解方程组法 比较适宜理解层次的能力考查 单调性 值域与最值往往与基本不等式应用 求导数结合在一起 其中单调性还可以用图象观察法加以解决 2005年考纲又再度将奇偶性由三角部分调回函数部分为理解层次 这也恢复以前奇偶性以一般函数为背景而不是仅仅限于三角函数 对于反函数 考纲要求 了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系 会求一些简单函数的反函数 这里反函数存在的条件容易当成边缘知识加以考查 指数函数与对数函数考纲要求 理解分数指数幂 对数的概念 掌握有理指数幂 对数的运算性质 掌握指数函数和对数函数的概念 图象和性质 它们容易以方程或不等式形式来体现一定的创新 2 数列 考纲对数列要求多年一致 理解数列的概念 了解数列的通项公式意义 了解递推数列是给出数列的一种方法 并能根据递推公式写出数列的前几项 理解等差 等比数列的概念 掌握等差 等比数列的同项公式和前n项和公式 并能解决简单的实际问题 多年命题也重在解决简单问题上 但对简单问题还存在认识上的差异 由于受大学的影响 此处常常是超越考纲 从知识上说 数列是一种特殊的函数 从题上而言 函数与数列常常结合在一起 以函数与方程的数学思想形式出现 也是近年常考不衰的一个热点 二 例题简析 例1 学校餐厅每天供应1000名学生用餐 每周一有A B两种菜谱可供选择 每人限选一种 调查表明 凡周一选A菜谱的人 下周一会有20 的人改选B菜谱 而选B菜谱的人 下周一有30 的人改选A菜谱 试问 无论原来选A菜谱的人有多少 随着时间的推移 选A菜谱的人将趋近于多少人 陶晓静 数学通讯 2004 21 P12 解 设An Bn为第n周选A B菜谱的人数 A1 a 则An 1 4An 5 3Bn 10 4An 5 3 1000 An 10 An 2 300 方法一 设An 1 An 2即An 1 An 2 2 600 这样 An 600 构成以1 2为公比的等比数列 An 600 a 600 1 2 n 1 An 600 a 600 1 2 n 1 600 随着时间的推移 选A菜谱的人将趋近600人 例1 学校餐厅每天供应1000名学生用餐 每周一有A B两种菜谱可供选择 每人限选一种 调查表明 凡周一选A菜谱的人 下周一会有20 的人改选B菜谱 而选B菜谱的人 下周一有30 的人改选A菜谱 试问 无论原来选A菜谱的人有多少 随着时间的推移 选A菜谱的人将趋近于多少人 解 设An Bn为第n周选A B菜谱的人数 A1 a 则An 1 4An 5 3Bn 10 4An 5 3 1000 An 10 An 2 300 方法二 设An a则a a 2 300 a 600 随着时间的推移 选A菜谱的人将趋近600人 说明 该题以数列极限应用题的形式出现 这在中学试题中并不常见 但在大学基础课中是最常见的一类题型 其解法上用到一个默认的结论 一个数列含有极限 则极限必须唯一 例2 已知集合L x y y 2x 1 点Pn an bn L P1为L中元素与直线y 1的交点 数列 an 是公差为1的等差数列 求数列 an bn 的通项公式 若cn n 2 求数列 cn 的所有项和 即前n项和的极限 设f n 是否存在正整数n 使f n 11 2f n 成立 若存在 求出n的值 若不存在 说明理由 张学文 数学通讯 2004 21 P31 解 P1 0 1 an a1 n 1 1 n 1 bn 2an 1 2n 1 P1Pn n 1 cn 1 n n 1 1 n 1 1 n cn 的前n项和Sn 1 1 n 0 n cn 的所有项和为1 n为奇数时 n 11为偶数 f n 11 2f n 2 n 11 1 2 n 1 无解 n为偶数时f n 11 2f n n 10 2 2n 1 n 4 总之 存在n 4满足条件 说明 该题将数列与函数结合在一起 只要掌握基本结论 运算的先后次序 就可以解出 体现了运算中的有序思想 开放设问 解答过程中也体现了分类整合的数学思想 例3 定义在实数集上的偶函数f x 满足f x 2 f x 且f x 在 3 2 上单调减 又 是锐角三角形的三个内角 则 A f sin f sin B f cos f cos D f sin f cos 金榜园三模 说明 该题虽小 但综合了三角 函数的有关知识 解法上也用到了转化与数形结合的思想 f x 在 0 1 上 只要比较三角函数的大小 而 2 sin sin 2 cos 选C 例4 过点P 1 0 作曲线y xk x 0 k为大于1的正整数 的切线切点为Q1 设Q1点在x轴上的投影是点p1 又过点p1作曲线c的切线切点为Q2 设Q2在x轴上的投影是p2 依此下去 得到一系列点Q1 Q2 Qn 设点Qn的横坐标为an 1 求证 an n 2 求证 an 1 3 求证 k2 k 湖南示范 中学数学教学参考 2005 4 P43 提示 1 y kxk 1 若切点是Qn an ank 则切线方程是y ank kank 1 x an 切线过点pn 1 an 1 0 代入即得an an 1 k k 1 a1 k k 1 an k k 1 n 2 an 1 1 k 1 n二项展开可得结论 3 错位相减得出结论 说明 该题结合了解析几何 数列 导数 不等式等诸多知识 综合性较强 解答时需要较强的思维能力与坚持不懈的精神 而将数列与导数结合一起是一种创新 三 向量与三角 一 考纲要求及分析1 平面向量 理解向量的概念 掌握向量的几何表示 了解共线向量的概念 掌握向量的加法和减法 掌握实数与向量的积 理解两个向量共线的充要条件 了解平面向量的基本定理 理解平面向量的坐标的概念 掌握平面向量的坐标运算 掌握平面向量的数量积及其几何意义 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度 角度和垂直的问题 掌握向量垂直的条件 掌握平面两点间的距离公式 以及线段的定比分点和中点坐标公式 并且能熟练运用 掌握平移公式 试题一般设计思路是理解为容易题 掌握为中等题 熟练应用为综合题 而向量综合又集中于距离 定比分点向量的坐标运算处 创新也主要体现在它与三角 解析几何的进一步综合性的加强上 2 三角部分 理解任意角的概念 弧度的意义 能正确地进行弧度与角度的换算 掌握任意角的正弦 余弦 正切的定义 了解余切 正割 余割的定义 掌握同角三角函数的基本关系式 掌握正弦 余弦的诱导公式 了解周期函数与最小正周期的意义 掌握两角和与两角差的正弦 余弦 正切公式 掌握二倍角的正弦 余弦 正切公式 能正确运用三角公式 进行简单三角函数式的化简 求值和恒等式证明 了解正弦函数 余弦函数 正切函数的图像和性质 会用 五点法 画正弦函数 余弦函数和函数y Asin x 的简图 理解A 的物理意义 掌握正弦定理 余弦定理 并能初步运用它们解斜三角形 此处试题的创新主要体现为以下几点 一是由于多年惯性的作用 仍然在三角函数的图象和性质上下大力气 这种创新实质还是将三角函数的图象和性质视作掌握层次加以对待 小题中出现尚可 大题中出现不贴切 二是原来以三角求值为重心转化到以化简为重心 这一转换实质是将求值看作一种特殊的化简对待 是一种认识思想理念的转变 理应给予肯定 三是将平移综合在一起 既坚持了传统意义上的左 右 上 下平移叙述 也可以以向量的面貌出现 也是很贴切的处理方式 例题简析 例1 将函数y cos3x sin3x 的图象沿向量a h 0 平移 可以得到y sin3x的图象 其中h A 4B 4C 12D 12 高中数理化 2005 2 P3 解 方法一 将y sin3x沿 a h 0 平移得y sin3 x h sin3xcos3h cos3xsin3h 有 3h 4 2k h 2k 3 12 k Z k 0时 h 12 选D 方法二 原式y sin 3x 4 sin 3 x 12 沿a 12 0 平移可得y sin3x 选D 说明 该题的两种解法体现了正向 逆向两种思维顺序的变化 以此来体现思维能力 平移又是学生最容易犯错误的地方 一般的点 x y 沿向量 h k 平移后得到 x h y k 而曲线f x y 0沿向量 h k 平移后得到曲线f x h y k 0 向量 x y 沿向量 h k 平移后得到向量仍然为 x y 这些规律可以用 点相同 线相反 向量平移永不变 一句话加以总结 这里沿向量 h k 平移也可以叙述为沿x轴 y轴平移h k个单位 h k为正表示向右 上平移 为负表示向左 下平移 例2 二次函数f x 对任意实数x f 1 x f 1 x 成立 设a sinx 2 b 2sinx 1 2 c cos2x 1 d 1 2 当x 0 时 解关于x的不等式f a b f c d 毛仕理 数理天地 2005 4 P19 解 由已知f x 关于x 1对称 而a b 2sin2x 1 2 cos2x 1 c d cos2x 2 1 f a b f c d 当二次项系数为正时 f x 在x 1上单调增 a b c d cos2x 0 x 0 解集为 x 4 x 3 4 当二次项系数为负时 解集为 x 0 x 4或3 4 x 说明 该题将三角与向量结合在一起 解答过程中也用到了分类讨论的思想方法 例3 设两个向量e1 e2 满足 e1 2 e2 1 e1 e2的夹角为60 若向量2te1 7te2与向量e1 te2的夹角为钝角 求实数t的取值范围 邯郸一模 解 由已知 2te1 7te2 e1 te2 2te12 2t2 7 e1e2 7te22 2t2 15t 7欲使二者夹角为钝角 需2t2 15t 7 0得 7 t 1 2又2te1 7te2与向量e1 te2不能反向 假设二者反向 设2te1 7te2 e1 te2 0 解得 即此时向量2te1 7te2与向量e1 te2的夹角为 所以夹角为钝角时 t的范围是 7 t 1 2且t 说明 该题容易将 两向量数量积小于0 作为 两向量夹角为钝角 的充要条件 知识上的错误导致结果错误 另外 还容易知两向量夹角为钝角 其余弦值在 1 0 之间而进行大量的计算 一般情况下 夹角 长度用向量直接计算属于了解层次 不作为重点考查的内容 考查也限于坐标运算的掌握层次上 四 计数原理 二项式定理 概率统计 一 考纲要求与分析1 计数原理 二项式定理 概率考纲多年要求一致 理解排列 组合的意义 掌握分类记数原理 分步记数原理 排列数公式 组合数公式及性质 并能用它们解决一些简单问题 掌握二项式定理和二项展开式的性质 并能用它们计算和证明一些简单的问题 会计算一些等可能事件 互斥事件 独立事件及独立重复实验发生次数的概率 相应试题以简单 中等题为主 且将保持一定的稳定 创新也与主要在题 活 上下功夫 2 统计 该部分由于教材差异 考纲文理要求也不尽一致 会用样本的频率分布估计总体分布文理科要求一致 抽样方法在分层抽样上也要求会的层次 而简单随机抽样 系统抽样理科要求会用 文科不作要求 理科要求会求简单的离散型随机变量分布列及期望 方差 文科仅仅要求会用样本估计总体的期望与方差 实质是初中阶段的内容 体现一定的文理差异 且各种语言都出现是该处创新题立意的基本点 二 例题简析例1 设 an 是等差数列 从 a1 a2 a20 中任取3个不同的数 使这3个数仍成等差数列 则这样不同的等差数列最多有 个A 90B 120C 180D 200 杭州质检 解 方法一 分类列举法 3项相邻的有 a1 a2 a3 a2 a3 a4 a18 a19 a20 18个 相隔一项的有 a1 a3 a5 a2 a4 a6 a16 a18 a20 16个 相隔二项的有 a1 a4 a7 a2 a5 a8 a14 a17 a20 14个 相隔八项的有 a1 a10 a19 a2 a11 a20 2个 共有18 16 2 90个 又由于每个中第一 第三项可以互换 如 a1 a2 a3 变为 a3 a2 a1 也满足要求 故有90 2 180个 选C 方法二 分析符号法 三个数a b c等差 b是a c的等差中项 只要确定a c后 b也就确定 a c取法必须同为奇数项或同为偶数项 有 个 选C 说明 该题以数列形式出现 方法二分析数列性质再计算比较简单 通过先思后算来体现思维能力 实现了算中有思 思中有算的交融 例2 由等式x4 a1x3 a2x2 a3x a4 x 1 4 b1 x 1 3 b2 x 1 2 b3 x 1 b4 定义映射f a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 b4 则f 4 3 2 1 A 1 2 3 4 B 0 3 4 0 C 1 0 2 2 D 0 3 4 1 胡彬 理科考试研究 2005 6 解 该题的题意是a1 4 a2 3 a3 2 a4 1时 等式为x4 4x3 3x2 2x 1 x 1 4 b1 x 1 3 b2 x 1 2 b3 x 1 b4 从而产生两个基本思路 思路一 待定系数法x4 4x3 3x2 2x 1 x 1 4 3x2 2x x 1 4 3 x 1 2 4 x 1 1 选D 思路二 赋值法 为恒等式 x 1时成立 1 b4 对照答案选D 说明 该题通过不同思路来体现不同的思维品质 例3 在某次投球游戏中 规定每10位选手投球10次 记分规则是 投进一球得3分 否则得0分 并且参赛选手一律加2分 某选手投进球的概率为0 8 求该选手在比赛中得分的分布列 求该选手得分的期望与方差 邯郸一模理科 解 设投进为k次 则得分为 3k 2k B 10 0 8 有 Ek 10 0 8 8Dk 10 0 8 0 2 1 6 E 3Ek 2 26 D 32Dk 14 4 说明 教材中对于变量有线性关系 如果 a b 则E aE b D a2D 但其应用在中学却鲜为人所研究 其实此公式可以简化计算过程 将不熟悉的 复杂的数据转化为熟悉的 简单的数据加以计算 该题的新意正在于此 五 空间几何 一 考纲要求与分析空间几何考纲 多年来处于稳中有变的情况 其变化主要有以下几点 1 由于教材分作A B两个版本 相应的考题上一般是用传统的方法可以求解 用向量方法也可以求解 2 对于多面体的Euler公式 在理解与了解之间摇摆 2005年考纲为了解内容 3 三垂线定理及逆定理 又再度由了解恢复到2002年前的掌握内容 相应的试题也有线线成角的核心恢复为求二面角的平面角为核心 以此来重点考查空间想象能力 其余部分仍然按惯例进行 二 例题简析例1 正三棱柱ABC A1B1C1底面边长及高都为2 过AB作一个与底面成600角的截面 求截面面积 求直线BC与截面成角的大小 求点A1到截面的距离 邯郸一模 解 过C作CD AB于D 则D为AB的中点 CD CC1 CD 2 CDC1 600 过AB作的截面与CC1的交点E必在CC1的延长线上 设截面交A1C1 B1C1分别为Q P 则梯形ABPQ面积S即为所求 CE CDtan600 3 S QP AB RD 2 16 9 过C作CH DE于H 平面CED 平面ABPQ 交线为DR CH 平面ABPQ CBH即为CB与截面ABPQ成角CH CDsin600 3 2sin CBH CH CB 3 4 CB与截面ABPQ成角为arcsin 3 4 方法一 因A1Q QC1 2 1 A1到截面的距离为C1到截面距离的2倍 过C1作C1K DE于H C1K即为C1到面ABE的距离 C1K C1Rsin600 1 2 A1到截面的距离为1 方法二 棱柱A1 QPE的高h即为所求 据VA QPE VE AQP 解得h 1 说明 该题第一问容易错将截面当成三角形而求错 求空间量的试题一般有 作出 证出 指出 求出 四个步骤要点 容易在此点上丢三落四 本题的 还蕴涵了等价转换的思想方法 例2 已知四棱锥P ABCD底面边长为a的正方形 PB 平面ABCD 求证AD 平面PAB 若平面PDA与平面ABCD成600的二面角 求该四棱锥的体积 在P ABCD的高PB长度变化时 二面角A PD C与900的大小关系如何 证明你的结论 湖北八校 解 证 PB 平面ABCD PB AD AD AB AD 平面PBA PBA为平面PDA与平面ABCD成的二面角的平面角 PDA 600 PB a 体积V a3 3 过A作AE PD于E PAD PCD CE PD AEC为A PD C二面角的平面角 设PB x AE CE AE2 EC2 2a2 AC2 AEC 900 说明 该题新意在于 中非程序式开放设问 这在空间几何题中并不多见 例3 设MN为互相垂直的异面直线a b的公垂线 P为MN上不同于M N的点 A B分别为a b上的点 则三角形APB为 三角形A 锐角B 钝角C 直角D 都有可能 刘大鸣 中学生数理化 2004 4 P35 解 过N作a a 在a 上截取 则AB2 A A2 A B2 MN2 A N2 NB2 MP PN 2 AM2 NB2 AP2 BP2 PM2 AM2 PN2 NB2 AB2 选B 说明 该题虽以空间两点距离及转换公式立意 这在对公式不要求情况下可通过平移导出 属于边缘性知识 设置为小题显得不偏 不难 考查了分析问题的能力 六 解析几何 一 考纲要求与分析理解直线的倾斜角和斜率的概念 掌握过两点的直线的斜率公式 掌握直线方程的点斜式 两点式 一般式 并能根据条件熟练地求出直线方程 掌握两条直线平行与垂直的条件 两条直线所成的角和点到直线的距离公式 能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系 了解二元一次不等式表示平面区域 了解线性规划的意义 并会简单的应用 了解解析几何的基本思想 了解坐标法 掌握圆的标准方程和一般方程 了解参数方程的概念 理解圆的参数方程 掌握椭圆的定义 标准方程和椭圆的简单几何性质 理解椭圆的参数方程 掌握双曲线的定义 标准方程和双曲线的简单几何性质 掌握抛物线的定义 标准方程和抛物