支付已知现金收益资产远期合约的定价.doc

支付已知现金收益资产远期合约的定价一、支付已知现金收益资产远期合约定价的一般方法支付已知现金收益的资产是指在到期前会产生完全可预测的现金流的资产，如附息债券和支付已知现金红利的股票。黄金、白银等贵金属本身不产生收益，但需要花费一定的存储成本，存储成本可看成是负收益。令已知现金收益的现值为I，对黄、白银来说，I为负值。构建组合：为了给支付已知现金收益资产的远期定价，可以构建如下两个组合：组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为Ke-r（Tt）的现金;组合B：一单位标的证券加上利率为无风险利率、期限为从现在到现金收益派发日 、本金为I 的负债。组合A在T时刻的价值等于一单位标的证券。在组合B中，由于标的证券的收益刚好可以用来偿还负债的本息，因此在T时刻，该组合的价值也等于一单位标的证券。因此，在t时刻，这两个组合的价值应相等，即： （1）公式（1）表明，支付已知现金收益资产的远期合约多头价值等于标的证券现货价格扣除现金收益现值后的余额与交割价格现值之差。或者说，一单位支付已知现金收益资产的远期合约多头可由一单位标的资产和I+Ke-r（Tt）单位无风险负债构成。例假设6个月期和12个月期的无风险年利率分别为9%和10%，而一种十年期债券现货价格为990元，该证券一年期远期合约的交割价格为1001元，该债券在6个月和12个月后都将收到$60的利息，且第二次付息日在远期合约交割日之前，求该合约的价值。根据已知条件，可以先算出该债券已知现金收益的现值：I=60e-0.090.5+60e-0.101=111.65元根据公式（1），可算出该远期合约多头的价值为：f=990-111.65-1001e-0.11=-$27.39元相应地，该合约空头的价值为27.39元。根据F的定义，可从公式（1）中求得：F=(S-I)er（Tt （2）这就是支付已知现金收益资产的现货-远期平价公式。公式（2）表明，支付已知现金收益资产的远期价格等于标的证券现货价格与已知现金收益现货差额的终值。例：假设黄金的现价为每盎司450美元，其存储成本为每年每盎司2美元，在年底支付，无风险年利率为7%。则一年期黄金远期价格为：F=(450-I)e0.071其中,I=-2e-0.071=-1.865，故：F=(450+1.865)e0.07=484.6美元/盎司同样可以用反证法来证明公式（2）。反证法：首先假设F(S-I)e r（Tt），即交割价格高于远期理论价格。这样，套利者就可以借入现金S，买入标的资产，并卖出一份远期合约，交割价为F。这样在T时刻，他需要还本付息Ser（Tt），同时他将在T-t期间从标的资产获得的现金收益以无风险利率贷出，从而在T时刻得到Ier（Tt）的本利收入。此外，他还可将标的资产用于交割，得到现金收入F。这样，他在T时刻可实现无风险利润F-(S-I)e r（Tt）。其次再假设F(S-I)er（Tt），即交割价格低于远期理论价格。这时，套利者可以借入标的资产卖掉，得到现金收入以无风险利率贷出，同时买入一份交割价为F的远期合约。在T时刻，套利者可得到贷款本息收入Ser（Tt），同时付出现金F换得一单位标的证券，用于归还标的证券的原所有者，并把该标的证券在T-t期间的现金收益的终值Ier（Tt）同时归还原所有者。这样，该套利者在T时刻可实现无风险利润(S-T)er（Tt）-F。从以上分析可以看出，当公式（2）不成立时，市场就会出现套利机会，套利者的套利行为将促成公式（2）成立。二、中长期国债期货的定价中长期国债属附息票债券，属支付已知现金收益的证券，因此公式（1）和（2）适用于中长期国债期货的定价。只是由于其报价和交割制度的特殊性，使这些公式的运用较为复杂而已。以下以美国芝加哥交易所的长期国债期货为例来说明其定价问题，其结论也适用于中期国债期货。（一）长期国债现货和期货的报价与现金价格的关系长期国债期货的报价与现货一样，以美元和1/32分之一美元报出，所报价格是100美元面值债券的价格，由于合约规模为面值10万美元，因此9025的报价意味着面值10万美元的报价是90，781.25美元。应该注意的是，报价与购买者所支付的现金价格（Cash Price）是不同的。现金价格与报价的关系为：现金价格 = 报价 + 上一个付息日以来的累计利息 （3）例如，假设现在是1999年11月5日，2016年8月15日到期，息票利率为12%的长期国债的报价为9428（即94.875）。由于美国政府债券均为半年付一次利息，从到期日可以判断，上次付息日是1999年8月15日，下一次付息日是2000年2月15日。由于1999年8月15到11月5日之间的天数为82天，1999年11月5日到2000年2月15日之间的天数为102天，因此累计利息等于：该国债的现金价格为：（二）交割券与标准券的转换因子芝加哥交易所规定，空头方可以选择期限长于15年且在15年内不可赎回的任何国债用于交割。由于各种债券息票率不同，期限也不同，因此芝加哥交易所规定交割的标准券为期限15年、息票率为8%的国债，其它券种均得按一定的比例折算成标准券。这个比例称为转换因子（Conversion Factor ）。转换因子等于面值为100美元的各债券的现金流按8%的年利率（每半年计复利一次）贴现到交割月第一天的价值，再扣掉该债券累计利息后的余额。在计算转换因子时，债券的剩余期限只取3个月的整数倍，多余的月份舍掉。如果取整数后，债券的剩余期限为半年的倍数，就假定下一次付息是在6个月之后，否则就假定在3个月后付息，并从贴现值中扣掉累计利息，以免重复计算。转换因子由交易所计算并公布。算出转换因子后，就可算出空方交割100美元面值的债券应收到的现金：空方收到的现金 = 期货报价 交割债券的转换因子 + 交割债券的累计利息 （4）例：某长期国债息票利率为14%，剩余期限还有18年4个月。标准券期货的报价为9000，求空方用该债券交割应收到的现金。首先，应计算转换因子。根据有关规则，假定该债券距到期日还有18年3个月。这样可以把将来息票和本金支付的所有现金流先贴现到距今3个月后的时点上，此时债券的价值为：由于转换因子等于该债券的现值减累计利息。因此还要把163.73美元贴现到现在的价值。由于3个月的利率等于，即1.9804%，因此该债券现在的价值为163.73/1.019804=160.55美元。由于3个月累计利息等于3.5美元，因此转换因子为：转换因子=160.55-3.5=157.05美元然后，可根据空方收到的现金=期货报价交割债券的转换因子+交割债券的累计利息 （7）算出空方交割10万美元面值该债券应收到的现金为：1000（1.570590.00）+3.5=144，845美元（三）确定交割最合算的债券由于转换因子制度固有的缺陷和市场定价的差异决定了用何种国债交割对于双方而言是有差别的，而空方可选择用于交割的国债多达30种左右，因此空方应选择最合算的国债用于交割。交割最合算债券就是购买交割券的成本与空方收到的现金之差最小的那个债券。交割差距=债券报价+累计利息（期货报价转换因子）+累计利息 =债券报价（期货报价转换因子） （5） 例：假设可供空头选择用于交割的三种国债的报价和转换因子如表所示,而期货报价为9316,即93.50美元。请确定交割最合算的债券。表:可供交割国债报价及其转换因子根据以上数据，可以求出各种国债的交割差距为：国债1： 144.50-(93.501.5186)=2.5109国债2： 120.00-(93.501.2614)=2.0591国债3： 99.80-(93.501.0380)=2.7470由此可见，交割最合算的国债是国债2。（四）国债期货价格的确定由于国债期货的空方拥有交割时间选择权和交割券种选择权，因此要精确地计算国债期货的理论价格也是较困难的。但是，如果假定交割最合算的国债和交割日期是已知的，那么可以通过以下四个步骤来确定国债期货价格：确定国债期货价格的步骤：1根据交割最合算的国债的报价，运用式（3）算出该交割券的现金价格。2运用公式（2），根据交割券的现金价格算出交割券期货理论上的现金价格。3运用公式（3）根据交割券期货的现金价格算出交割券期货的理论报价。4将交割券期货的理论报价除以转换因子即为标准券期货理论报价，也是标准券期货理论的现金价格。例：假定已知某一国债期货合约最合算的交割券是息票利率为14%，转换因子为1.3650的国债，其现货报价为118美元，该国债期货的交割日为270天后。该交割券上一次付息是在60天前，下一次付息是在122天后，再下一次付息是在305天后，市场任何期限的无风险利率均为年利率10%（连续复利）。请根据上述条件求出国债期货的理论价格。首先，可以运用公式（3）求出交割券的现金价格为：其次，要算出期货有效期内交割券支付利息的现值。由于期货有效期内只有一次付息，是在122天（0.3342年）后支付7美元的利息，因此利息的现值为：7e-0.33420.1=6.770美元再次，由于该期货合约