2019届北京市第五十五中学高三下学期三模数学（文）试题（解析版）

2019届北京市第五十五中学高三下学期三模数学（文）试题一、单选题1设全集，（ ）ABCD【答案】D【解析】由题分别算出集合包含的范围,再取交集即可.【详解】由得,又所以.又,其中所以,故 ,所以.故选D.【点睛】本题主要考查集合的基本运算,注意看清集合是自变量还是因变量的范围.2设复数且，则复数的虚部为（ ）ABCD【答案】D【解析】试题分析：，且，即，解得.【考点】复数的模.3下列函数中为奇函数的是（ ）ABCD【答案】B【解析】A和C为非奇非偶函数，为偶函数，令，定义域为 ，故为奇函数，故选B.4直线被圆截得的弦长为，则直线的斜率为( )ABCD【答案】D【解析】由题意可得圆心坐标、圆的半径，已知弦长，可利用勾股定理得圆心到直线的距离，然后利用点到线的距离公式得到关于的方程，解方程即可。【详解】因为直线被圆截得的弦长为，所以圆心到直线的距离，所以，解得，故选D.【点睛】本题考查直线的斜率的求法，已知弦长，通常利用勾股定理求得圆心到直线的距离，然后利用点到线的距离公式得到方程，解出方程即可，属于基础题。5已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若E，F，G，H四点不共面，则直线EF和GH肯定不相交，但直线EF和GH不相交，E，F，G，H四点可以共面，例如EFGH，故甲是乙成立的充分不必要条件选B6如图，ABC为正三角形，底面ABC，若，则多面体在平面上的投影的面积为ABCD【答案】A【解析】根据题意，多面体在平面上的投影是几何体的正视图，如图所示；所以该投影面的面积为，故选A.7已知函数与，若与的交点在直线的两侧，则实数的取值范围是 （ ）ABCD【答案】B【解析】【详解】如图：f(x)与y=x相交于点(2,2)，(2,2)，由题意，f(x)与g(x)的交点在直线y=x的两侧，则这两个交点的横坐标只能都在区间(2,2)内，或一个在(,2)内，一个在(2,+)内，而h(x)=g(x)f(x)在(,0)，(0,+)上为单调递增函数，且x0+时，h(x)，x0时，h(x)+，故只需h(2)0且h(2)0或者h(2)0，即6+t0且6+t0或者6+t0，得6t6。故本题正确答案为B8在平面直角坐标系中，已知，则的最小值为( )A1B2C3D4【答案】B【解析】根据条件得到表示的是曲线，上两点的距离的平方，y=x2lnx，y=2x（x0），由2x=1，可得x=1，此时y=1，曲线C1：y=x2lnx在（1，1）处的切线方程为y1=x1，即xy=0，与直线xy2=0的距离为=，的最小值为2故答案为B点睛：本题考查两点间距离的计算，考查导数知识的运用，求出曲线C1：y=x2-lnx与直线x-y-2=0平行的切线的方程是关键注意做新颖的题目时，要学会将新颖的问题转化为学过的知识题型，再就是研究导数小题时注意结合函数的图像来寻找灵感，有助于解决题目.二、填空题9若对于，恒成立，则的取值范围是_.【答案】【解析】由题意得出，将不等式变形为，求出的最小值即可得【详解】，即，等价于，又，当且仅当，即时等号成立，故答案为：【点睛】本题考查不等式恒成立求参数范围问题，此不等式只要求函数的最值即可10若非零向量，满足，则向量与的夹角为_.【答案】【解析】利用几何图形表示出，根据几何图形性质可得【详解】设，作平行四边形，则，由得平行四边形是矩形，又，所以向量与的夹角为30故答案为：30【点睛】本题考查向量加法的平行四边形法则及向量减法的三角形法则，属于基础题，11已知双曲线：的一条渐近线与直线：垂直，的一个焦点到的距离为1，则曲线的实轴长为_.【答案】2【解析】由渐近线与直线垂直得，再由焦点到直线的距离得，结合可求得【详解】直线的斜率为，一条渐近线与直线垂直，则，设焦点为，则，解得，实轴长为故答案为：2.【点睛】本题考查双曲线的几何性质，根据一条渐近线与直线：垂直得出，根据焦点到直线的距离求出，从而可得，本题中档题12在中，内角，所对的边分别为，且，则_.【答案】【解析】由余弦定理求得，再求得，从而可得结论【详解】由题意，所以，故答案为：【点睛】本题考查余弦定理，正弦的二倍角公式，属于基础题13已知函数.若存在，使得，则的最小值为_.【答案】【解析】利用和差化积公式来处理，得到等号成立时需要满足的条件，进而求得其最小值。【详解】所以，而，故等号成立当且仅当，又因为，所以的最小值为。【点睛】此题考查三角函数的运算，属于中档题。14观察下面的数表，该表中第6行最后一个数是_；设2016是该表的行第个数，则_.【答案】126 507 【解析】第行的第1个数是，这一行有个数，由此可得第6行最后一个数，按此规律，由可知所在行数，然后可确定是第几个【详解】由数表可知，第6行第一个数为，根据每行行数为，则行内数字个数为个，所以第6行最后一个数是；由，所以2016在第10行，所以，得，所以.故答案为：；.【点睛】本题考查归纳推理，考查等比数列的通项公式与等差数列的通项公式，考查了学生的创新意识，归纳推理能力三、解答题15已知函数.（1）求函数的定义域；（2）求函数当的单调增区间.【答案】（1）（2）单调递增区间是，.【解析】（1）由分母不为0可得定义域；（2）由二倍角公式化简函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数的单调性求解。【详解】（1）由题意，得，即，解得，所以函数的定义域为；（2），由，得，又因为，所以函数的单调递增区间是，.，在上的单调递增区间是，.【点睛】本题考查二倍角公式，考查三角函数的单调性三角函数的性质问题一般都要把函数化为一个角的一个三角函数形式，即形式，然后结合正弦函数性质求解16已知数列的前项和，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1），（2）【解析】（1）由及可求得；（2）用分类讨论，并用并项求和法计算【详解】（1）由，当时，当时，而，所以数列的通项公式，.（2）由（1）可得，当为偶数时，当为奇数时，为偶数，.综上，.【点睛】本题考查由数列的前项和求通项公式，考查并项求和法在数列的项出现正负相间时可以用并项求和法求和，也可分组求和17A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）：A班6 6.5 7 7.5 8B班6 7 8 9 10 11 12C班3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5（）试估计C班的学生人数；（）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（）再从A，B，C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时）.这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表格中数据的平均数记为，试判断和的大小.（结论不要求证明）【答案】（）40；（）；（III）.【解析】试题分析：（）根据图表，结合分层抽样的抽样比计算C班的学生人数；（）根据题意列出“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”的所有事件，由相互独立事件概率公式求解.（）根据平均数公式进行判断即可.试题解析：（）由题意知，抽出的名学生中，来自C班的学生有名.根据分层抽样方法，C班的学生人数估计为.（）设事件为“甲是现有样本中A班的第个人”，事件为“乙是现有样本中C班的第个人”，由题意可知，；，.,.设事件为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知，.因此.（）.【考点】分层抽样、相互独立事件的概率、平均数【名师点睛】求复杂的互斥事件的概率的方法：一是直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事件概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式，即运用逆向思维的方法(正难则反)求解，应用此公式时，一定要分清事件的对立事件到底是什么事件，不能重复或遗漏.特别是对于含“至多”“至少”等字眼的题目，用第二种方法往往显得比较简便.18如图，在直角梯形中，直角梯形可以通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且平面平面.（1）求证：；（2）设、分别为、的中点，为线段上的点（不与点重合）.（i）若平面平面，求的长；（ii）线段上是否存在，使得直线平面，若存在求的长，若不存在说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）（i）；（ii）存在，且【解析】（1）由面面垂直的性质定理得线面垂直，从而得线线垂直；（2）（i）由面面平行的性质定理得线线平行，可得长；（ii）由线面垂直的判定定理可得【详解】（1）证明：平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，（2）（i）平面平面，平面平面，平面平面， ，又是中点，（ii）存在，过作于，分别是中点，又由，所以平面，平面， ，又，所以平面在中，由得， 【点睛】本题考查面面垂直的性质定理和线面垂直的性质定理与判定定理，考查面面平行的性质定理，掌握空间线面间平行垂直的判定与性质定理是解题基础在立体几何证明中要注意定理的条件要完整才能下结论，缺少一个条件都不能轻易得出结论19在平面直角坐标系中，是椭圆：上的点，过点的直线的方程为.（1）求椭圆的离心率；（2）当时，（i）设直线与轴、轴分别相交于，两点，求的最小值；（ii）设椭圆的左、右焦点分别为，点与点关于直线对称，求证：点，三点共线.【答案】（1）（2）（i）（ii）证明见解析【解析】（1）由椭圆方程求出可得离心率；（2）（i）求出直线与坐标轴交点的坐标，可得出面积为，由在椭圆上，可得，由基本不等式可得的最大值，从而得面积最小值；（ii）求出对称点的坐标，验证三点共线可分类和分别求解【详解】（1）依题，所以椭圆离心率为.（2）依题意，令，由，得，则.令，由，得，则.则的面积.因为点在上，所以.因为，即，则.所以.当且仅当，即，面积的最小值为.（3）由，解得.当时，此时，.因为，所以三点，共线.当时，也满足.当时，设，的中点为，则，代入直线的方程，得：.设直线的斜率为，则，所以.由，解得，.所以.当点的横坐标与点的横坐标相等时，把，代入中得，则，三点共线.当点的横坐标与点的横坐标不相等时，直线的斜率为.由，.所以直线的斜率为.因为，所以，三点共线，综上所述，三点共线.【点睛】本题考查求椭圆的离心率，考查直线与坐标轴围成的三角形面积的最值，考查对称性与三点共线在证明三点共线时，要求出对称点坐标，求直线斜率比较难，对学生的计算能力要求较高本题属于难题20已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）设，若在区间上有两个极值点，求实数的取值范围.【答案】（1）在递减，在，递增（2）【解析】（1）求出导函数，由导函数确定单调性；（2）有两个极值点，则在上有两个解，转化为与在上有两个交点，由数形结合思想可求解【详解】（1）当时，.，令，得，则，