【学海导航】高考数学第一轮总复习 12.4导数的概念与运算课件 理 （广西专版）.ppt

第十二章极限与导数 导数的概念与运算 第讲 4 1 对于函数y f x 记 y f x0 x f x0 如果当 x 0时 有极限 就说函数y f x 在x0处可导 并把这个极限叫做f x 在点x0处的导数 或变化率 记作f x0 或y x x0 即f x0 2 如果函数f x 在开区间 a b 内每一点都可导 则对 a b 内每一个确定的值x0 都对应着一个确定的导数f x0 这样就在开区间 a b 内构成一个新的函数 称这一新函数叫做f x 在开区间 a b 内的 简称导数 记作f x 或y 即f x 3 曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线的斜率是 相应地 切线方程为 4 常见函数的导数 导函数 f x0 y y0 f x0 x x0 1 c c为常数 2 xn n q 3 sinx 4 cosx 5 lnx 6 logax a 0 a 1 7 ex 8 ax a 0 a 1 0 nxn 1 cosx sinx ex axlna 5 导数的四则运算法则 1 u v 2 uv 3 uv v 0 6 设函数u x 在点x处有导数 函数y f u 在点x的对应点u处有导数 则复合函数y f x 在点x处也有导数 且fx x f u x u v u v uv 1 如果质点a按规律s 2t3运动 则在t 3s时的瞬时速度为 a 6b 18c 54d 81解 因为s 6t2 所以s t 3 6 32 54 c 2 若抛物线y x2 x c上一点p的横坐标是 2 抛物线过点p的切线恰好过坐标原点 则c的值为 a 1b 2c 3d 4解 因为y 2x 1 所以y x 2 5 又p 2 6 c 所以 解得c 4 d 3 若f x0 2 则等于 a 1b 2c 1d 解 a 题型1求函数的导数 1 求下列函数的导数 解 点评 掌握常见函数的导数是求函数的导数的关键 注意函数的和 差 积 商的导数在解题中的应用 涉及到复合函数的导数注意把复合函数分解为几个基本函数 题型2在导数条件下求参数的值 2 已知函数若存在x0 r 使得f x0 0且f x0 0 求a的值 解 因为f x 3x2 2ax 令f x 0 则3x2 2ax 0 所以x0 0或x0 当x0 0时 由f x0 0 可得所以a 0 当x0 时 由f x0 0 可得即a3 9a 0 所以a 0或a 3 综上分析 a 0或a 3 点评 求参数的值或取值范围的问题 仍是转化题中的条件 得到相应参数的方程或不等式 然后通过解方程或不等式得到所求的问题的解 已知函数f x ax4 bx3 cx2 dx e 其中a b c d e r 为偶函数 它的图象过点a 0 1 b 1 0 且f 1 2 求函数f x 的表达式 解 因为f x 是偶函数 所以f x f x 恒成立 即a x 4 b x 3 c x 2 d x e ax4 bx3 cx2 dx 恒成立 所以b 0 d 0 即f x ax4 cx2 e 又由图象过点a 0 1 可知f 0 1 即e 1 因为f 1 2且f 1 0 所以4a 2c 2且a c 1 0 解得a 2 c 3 所以f x 2x4 3x2 1 3 已知曲线求 1 曲线在x 2处的切线方程 2 曲线过点p 2 4 的切线方程 解 1 因为y x2 所以在x 2处的切线的斜率k y x 2 4 又x 2时 所以曲线在x 2处的切线方程为y 4 4 x 2 即4x y 4 0 题型3利用导数求切线方程 2 设曲线与过点p 2 4 的切线相切于点则切线的斜率k y x x0 x02 所以切线方程为即因为点p 2 4 在切线上 所以即 所以所以所以 x0 1 x0 2 2 0 解得x0 1或x0 2 故所求的切线方程为4x y 4 0或x y 2 0 点评 求曲线在某点处的切线方程的思路是 先求得函数在此点处的导数值 即为切线的斜率 然后根据切点的坐标 再用点斜式可得切线方程 若是经过某点的切线 注意先设切点坐标 然后写出切线方程 再把已知点代入切线方程求得切点的横坐标 2010 全国课程标准卷 曲线y 在点 1 1 处的切线方程为 a y 2x 1b y 2x 1c y 2x 3d y 2x 2 解 易知点 1 1 在曲线上 即为切点 又由于f x 故f 1 即切线的斜率为2 从而切线方程为y 1 2 x 1 化简可得y 2x 1 已知函数f x 在点x 1处连续 且求f 1 解 因为f x 在点x 1处连续 所以又 题型函数的连续性与导数的关系分析 所以即f 1 0 所以 求证 如果函数y f x 在点x0处可导 那么函数y f x 在点x0处连续 证明 由已知 得 所以所以命题得证 1 f x 在点x0处的导数f x0 也可理解为 这相当于 x x x0 所以增量 x可用其他形式替代 如 t 2t等 但在转换时 必须与导数概念保持一致 如事实上 2 求函数f x 的导数是一个最基本的题型 利用求导法则将f x 的导数转化为基本函数的导数 再套公式化简整理 是解决这类问题的基本思路 有时可先对f x 作适当变形 再求导 3 复合函数的求导法则表明 复合函数对自变量的导数 等于已知函数对中间变量的导数 乘以中间变量对自变量的导数 求解时要正确分析函数的复合过程 选好中间变量 尤其是涉及多个函数复合而成的函数 求导时首先要弄清它是几层复合关系 然后由外而内 逐层求导 必要时可通过换元 使复合关系更加明确 具体 同时注意在求导后 要把中间变量换成自变量的函数 4 求f x0 的值 一般先求f x 然后再求当x x0时导函数的值 有时也可直接利用导数的定义 转化为求函数在某个点处的极限 5 判断函数f x 在点x x0处是否可导 可转化为判断是否存在 若存在 则这个极限值就是f x 在x0处的导数 如果函数y f x 在点x0处可导 那么函数f x 在点x0处连续 但其逆命题不成立 即若函数y f x 在点x0处连续 那么f x 在x0处不一定可导 例如函数y x 在点x 0处连续 但无导数 它可直观地理解为连续函数对应的曲线在点x0处不一定有 切线 6 求过某个点m的曲线的切线方程 关键是求切线的斜率 从而转化为求曲线在切点处的导数 但必须注意的是 先要明确点m是否在曲线上 若点m在曲线上 则它就是切点 否则 要另设切点坐标 切不可把函数在点m处的导数误认为是切线的斜率 7 由于函数y f x 在x x0处的导数表示曲线在点p x0 f x0 处切线的斜率 因此 曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线方程可按如下步骤求得 第一步 求出函数y