椭圆的几何性质（1）

制作 艾镇南 椭圆的简单几何性质 1 第一课时 复习 1 椭圆的定义 到两定点F1 F2的距离之和为常数 大于 F1F2 的动点的轨迹叫做椭圆 2 椭圆的标准方程是 3 椭圆中a b c的关系是 a2 b2 c2 当焦点在X轴上时 当焦点在Y轴上时 a b a c b c不确定 情境设置 什么是解析几何 在数学中 用坐标法研究几何图形的知识形成了一门叫做解析几何的学科 因此可以说 解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科 研究曲线几何特征有何几何意义 研究曲线的几何性质可以从整体上把握曲线的形状 大小和位置 怎样来研究曲线的几何特征呢 通过对曲线方程的讨论来研究曲线的几何特征 二 椭圆简单的几何性质 a x a b y b知椭圆落在x a y b组成的矩形中 1 范围 椭圆的对称性 2 对称性 从图形上看 椭圆关于x轴 y轴 原点对称 从方程上看 1 把x换成 x方程不变 图象关于y轴对称 2 把y换成 y方程不变 图象关于x轴对称 3 把x换成 x 同时把y换成 y方程不变 图象关于原点成中心对称 3 椭圆的顶点 令x 0 得y 说明椭圆与y轴的交点 令y 0 得x 说明椭圆与x轴的交点 顶点 椭圆与它的对称轴的四个交点 叫做椭圆的顶点 长轴 短轴 线段A1A2 B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴 a b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长 根据前面所学有关知识画出下列图形 1 2 A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 4 椭圆的离心率e 刻画椭圆扁平程度的量 离心率 椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率 1 离心率的取值范围 2 离心率对椭圆形状的影响 0 e 1 1 e越接近1 c就越接近a 从而b就越小 椭圆就越扁2 e越接近0 c就越接近0 从而b就越大 椭圆就越圆 3 e与a b的关系 思考 当e 0时 曲线是什么 当e 1时曲线又是什么 离心率概念 椭圆焦距与长轴长之比 范围 椭圆变扁 直至成为极限位置线段 离心率 x a y b 关于x轴 y轴成轴对称 关于原点成中心对称 a 0 a 0 0 b 0 b c 0 c 0 长半轴长为a 短半轴长为b a b a2 b2 c2 x b y a b 0 b 0 0 a 0 a 0 c 0 c 例1 求椭圆16x2 25y2 400中x y的取值范围 以及长轴和短轴的长 焦点和顶点的坐标 离心率大小 解 把已知方程化成标准方程 这里a 5 b 4 所以c 3 椭圆的长轴和短轴长分别为2a 10和2b 8 两个焦点分别为F1 3 0 和F2 3 0 四个顶点分别为A1 5 0 A2 5 0 B1 0 4 B2 0 4 可利用对称性画图 描点法画图演示 A1 B1 A2 B2 利用对称性作图 画椭圆的图形 草图 画椭圆的图形 草图 A1 B1 A2 B2 练1 已知椭圆方程为9x2 25y2 225 它的长轴长是 短轴长是 焦距是 离心率等于 焦点坐标是 顶点坐标是 外切矩形的面积等于 10 6 8 60 解题的关键 1 将椭圆方程转化为标准方程明确a b 2 确定焦点的位置和长轴的位置 例2求适合下列条件的椭圆的标准方程 经过点P 3 0 Q 0 2 长轴长等于20 离心率3 5 一焦点将长轴分成 的两部分 且经过点 解 方法一 设方程为mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 将点的坐标方程 求出m 1 9 n 1 4 方法二 利用椭圆的几何性质 以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点 于是焦点在x轴上 且点P Q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点 故a 3 b 2 所以椭圆的标准方程为 注 待定系数法求椭圆标准方程的步骤 定位 定量 或 或 练习 1 根据下列条件 求椭圆的标准方程 长轴长和短轴长分别为8和6 焦点在x轴上 长轴和短轴分别在y轴 x轴上 经过P 2 0 Q 0 3 两点 一焦点坐标为 3 0 一顶点坐标为 0 5 两顶点坐标为 0 6 且经过点 5 4 焦距是12 离心率是0 6 焦点在x轴上 2 已知椭圆的一个焦点为F 6 0 点B C是短轴的两端点 FBC是等边三角形 求这个椭圆的标准方程 小结 本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质 范围 对称性 顶点坐标 离心率等概念及其几何意义 了解了研究椭圆的几个基本量a b c e及顶点 焦点 对称中心及其相互之间的关系 这对我们解决椭圆中的相关问题有很大的帮助 给我们以后学习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了基础 在解析几何的学习中 我们更多的是从方程的形式这个角度来挖掘题目中的隐含条件 需要我们认识并熟练掌握数与形的联系 在本节课中 我们运用了几何性质 待定系数法来求解椭圆方程 在解题过程中 准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想 练习 已知椭圆的离心率求m的值及椭圆的长轴和短轴的长 焦点坐标 顶点坐标 练习求下列椭圆的长