2002固体物理讲义g0201

第二章 晶体结构2.1 晶体结构1 晶格和基元理想晶体中原子排列是十分规则的，主要体现是原子排列具有周期性，或者称为是长程有序的。非晶体则不具有长程有序的性质，但是在非晶体中原子排列也不是杂乱无章、完全无序的，仍然保留有原子排列的短程序。1984年在实验中发现了一类和晶体、非晶体都不相同的固体，在这类固体中发现了已经证明在晶体中不可能存在的五重对称轴，使人们想到介于晶体和非晶体之间的固体，称为准晶体。在这一章我们首先讨论有关晶体的问题。所有晶体的结构用晶格来描述，晶格是一种数学上的抽象，它是由数学上的几何点在空间有规律地作周期性的无限重复分布构成的。这种晶格的每一个格点上附有一群完全相同的原子，这样一个完全相同的原子群称为基元。当原子基元以相同的方式安置在每一个格点上，就构成了晶体结构。简单地说晶格加基元就形成晶体结构。由无数的小单晶体无规则地结合成的大晶体叫多晶体。2 原胞和基矢所有晶格的共同特点是具有周期性，通常用原胞和基矢来描述晶格的周期性，晶格的原胞 (Primitive cell) 是指一个晶格最小的周期性单元，对三维晶格来说是可以一个平行六面体，对二维晶格可以是一个平行四边形。原胞的选取是不唯一的。原则上讲只要是最小周期性单元都可以。判断最小周期性单元的标准只要考察这个重复单元中是否只包含一个格点。但是实际上各种晶格结构已经有习惯的原胞选取方式。晶格基矢是指原胞的边矢量，一般用a1, a2, a3表示。原胞的体积为： a1 a2 a3 (2.1.1)简单立方晶格的立方单元就是最小的周期性单元，通常就选取它作为原胞。它的三个基矢为： (2.1.2)体心立方晶格和面心立方晶格的立方单元都不是最小的周期性单元。在体心立方晶格中，通常由一个立方顶点到最近的三个体心得到三个晶格基矢： (2.1.3)以这三个晶格基矢为边的平行六面体就是相应的体心立方的原胞。在面心立方晶格中，通常由一个立方顶点到三个相邻的面心的矢量作为晶格基矢： (2.1.4)以这三个晶格基矢为边的平行六面体就是相应的面心立方的原胞。图2.1.1 体心立方和面心立方晶格的单胞和原胞作由晶格原点出发的所有晶格矢量的垂直平分面，这些垂直平分面所封闭的包含晶格原点的最小空间，称为Wigner-Seitz原胞。体心立方和面心立方晶格的Wigner-Seitz原胞如图1.1.2所示。图2.1.2 体心立方和面心立方晶格的WS原胞3 单胞和轴矢有些情况下，原胞不能反映晶格的对称性，例如面心立方晶格的原胞，虽然已经选择得尽可能对称，但没有反映整个格子的立方对称性。在这种情况下，晶体学选取的单元是面心立方的一个立方单元。为了反映晶格的对称性，选取了较大的周期性单元，常称晶体学选取的单元为惯用单胞 (Conventional unit cell)，简称单胞。单胞在有些情况下就是原胞，有时则不同，单胞中不一定只包含一个格点。单胞的三个棱称为晶轴，沿晶轴的三个矢量通常称为单胞的基矢或轴矢。轴矢的长度通常称为晶格常数。在晶体学中已经对各种类型的布拉伐格子如何选取原胞和单胞做了统一的规定。4 简单晶格和复式晶格简单晶格的基元中只有一个原子，复式晶格的基元中包含两个或更多的原子。它们可以是相同的原子也可以是不同的原子。有相当多的金属如Li、Na、K、Rb、Cs、Fr、Fe等都是具有体心立方的简单晶格；Cu、Ag、Au、Al等都是具有面心立方的简单晶格。由碳原子形成的金刚石晶体是一种非常重要的基本的晶体结构。在面心立方单元的中心到顶点引8条对角线中，其中互不相邻的4条对角线的中点，各加一个原子就是金刚石晶体结构。这个结构的一个重要特点是每个原子有4个最近邻，它们正好在一个四面体的顶角位置。除金刚石外，重要的半导体材料硅和锗都具有金刚石晶体结构。金刚石结构就是一种典型的基元中包含两个相同原子的复式晶格。金刚石结构可以看成具有相同边长的A、B两个简单面心立方晶格沿一体对角线方向错开1/4此对角线长度套构而成的。立方硫化锌结构（闪锌矿）是由具有相同边长的硫原子组成的A简单面心立方晶格和由锌原子组成的B简单面心立方晶格沿一体对角线方向错开1/4此对角线长度套构而成的。CuF、SiC、CuCl、AlP、GaP、ZnSe、GaAs、AlAs、CdS、InSb和AgI等都是立方硫化锌结构。图2.1.3金刚石结构、立方ZnS结构和NaCl结构NaCl晶体的晶格初看起来好像是简单立方晶格，但是每一行上相间地排列着Na+和Cl-。因此NaCl晶体的晶格是基元中包含一个Na+离子和一个Cl-离子的面心立方的复式晶格。碱金属和卤族元素的化合物大多都具有NaCl结构。CsCl晶体的晶格是基元中包含一个Cs+离子和一个Cl-离子的简单立方的复式晶格。Cs+离子处于Cl-离子的简单立方晶格的体心；同样，Cl-离子处于Cs+离子的简单立方晶格的体心。具有CsCl结构的代表性晶体有：CsCl、TlBr、TlI、NH4Cl、CuPd、CuZn (b黄铜)、AgMg、LiHg、AlNi、BeCu。六角密排晶格是密排面按ABABAB 方式堆积而成的，A层中的原子和B层中的原子是不等价的，这是因为它们的几何处境不同。A层中的原子和B层中的原子各自形成简单六方晶格，六角密排晶格是两个简单六方晶格套构而成的。因此它是基元中包含取自A层和B层两个相邻原子的简单六方复式晶格。He、Be、Mg、Ti、Zn、Cd、Co、Y、Zr、Gd和Lu等元素晶体就是这种情况。六角金刚石结构和六角硫化锌 (钎锌矿) 结构都属于六角密排的复式晶格，它们是由两个简单六角晶格套构而成的。在六角金刚石结构中每个基元有两个碳原子，在六角硫化锌结构中，每个基元包含一个硫原子一个锌原子。典型的钎锌矿结构的晶体有ZnO、ZnS、ZnSe、ZnTe、SiC、CdS、CdSe。(a) (b) (c) 图2.1.4 (a) CsCl结构，(b)密排结构，(c)六角密排.石墨是由许多层状碳原子平行堆积起来的。层状碳原子组成正六方形网状结构，层与层之间的碳原子依次错开六方形格子对角线长的一半。各层错开的情况不同，石墨又分为I II III型和I II型两种晶体结构。正六方形网状结构是由sp2杂化共价键组成的。剩下的2pz电子形成金属键，层与层之间的距离3.35 比sp2杂化共价键键长1.42 大得多，通过范德瓦尔斯力结合的层与层之间，可以滑移。图2.1.5 石墨层状碳原子组成正六方形网状结构。图2.1.6各层错开的情况不同，石墨又分为I II III型和I II型两种晶体结构。CaTiO3钙钛矿结构：一个处于顶点的钙原子、一个处于体心的钛原子和三个处于面心的氧原子各自组成简单立方晶格，钙钛矿结构就是由这五个边长相同的简单立方晶格套构而成的。许多重要的介电晶体如BaTiO3、PbZrO3、LiNbO3、LiTaO3和高温氧化物超导体YBa2Cu3O7等都具有钙钛矿结构。图2.1.7 CaTiO3钙钛矿结构YBa2Cu3O7结构由三个钙钛矿结构单元组成，其体心原子分别为Ba、Y、Ba，Cu原子处于立方单元的顶点，O原子处于立方单元的棱边的中心，与Y原子相邻的两个CuO层是超导层，两个Ba原子之间的CuO层中O原子只出现在b方向的棱边中心，称为CuO链层。A15结构：在B原子组成的体心立方结构的每个面的中线上有两个A原子，在相对的两个面上A原子的排列互相平行，三组相对面上A原子的排列则互相垂直。重要的常规超导体V3Ga、Nb3Sn、Nb3Ga和Nb3Ge都具有A15结构。图2.1.8 YBa2Cu3O7和A15结构5布拉伐格子 晶体的周期性反映了晶格的平移对称性。对于简单晶格每个原子的位置坐标都可以写成： 其中为整数 (2.1.5)对于复式晶格，每个原子的位置都可以写成： (2.1.6)ra表示原胞内各种不等价原子之间的相对位移。基元中有i种不等价的原子。可以用表示一个空间格子，这种空间格子表征了晶格的周期性，称为布拉伐格子，也称为布拉伐点阵。布拉伐格子加基元就构成了晶体结构。自然界中晶体结构的类型很多，但是只可能有14种布拉伐格子。二维点阵有四种晶系、五种布拉伐格子，它们是：斜形晶系：简单斜形矩形晶系：简单矩形，有心矩形正方晶系：简单正方六方晶系，简单六方其他所有二维点阵都和这五种等价。图2.1.1 十四种布拉伐格子表2.1.1 晶系、单胞基矢、布拉伐格子和点群晶 系单胞基矢的特性布拉伐格子所属点群三斜晶系夹角不等简单三斜单斜晶系a2 a1, a3 简单单斜底心单斜正交晶系a1, a2, a3互相垂直简单正交底心正交体心正交面心正交三角晶系三角四方晶系简单四方体心四方六角晶系a3 a1, a2a1, a2夹角120六角立方晶系简单立方体心立方面心立方6 晶向和晶面晶体的一个基本特点是具有方向性，沿晶格的不同方向晶体性质可能不同。布拉伐格子的格点可以看成分列在一系列相互平行的直线系上，这些直线系称为晶列。同一个布拉伐格子可以形成方向不同的晶列，每一个晶列定义一个方向，称为晶向。如果从一个格点沿晶向到最近格点的位移矢量为： (2.1.7)则晶向就用l1 l2 l3来标志，称为晶向指数。由于晶格的对称性，晶体在某些晶向上的性质可能是完全相同的，这些晶向称为等效晶向，统称一组等效晶向时用表示。布拉伐格子的格点还可以看成分列在平行等距的平面系上，这样的平面称为晶面，和晶列的情况相似，同一个布拉伐格子可以有无穷多方向不同的晶面系。通常用密勒指数标志不同的晶面。确定某一晶面系的密勒指数的方法如下：(1) 找出这一晶面系中任一晶面在晶格轴线上的截距，这些轴线可以沿轴矢方向，也可以沿基矢方向。(2) 取这些截距的倒数，然后化成与之具有同样比例的三个无公因子的整数，写成 (h k l)。同样由于晶格的对称性，晶体在某些晶面上的性质完全相同，统称一组等效晶面时，用 h k l 表示。例题2.1.1 写出立方晶体 、所代表的各等价晶向， 100、110、111所代表的各等价晶面。解：100、00、010、00、001、00：110、0、10、10101、01、0、10011、0、01、01：111、11、1 11、1、11、1100：(100)、(010)、(001)110：(110)、(101)、(011)、(10)、(10)、(01)111：(111)、(11)、(11)、(11)习题2.1.1 利用钢球密堆模型，求下列晶体结构的密堆系数为：简单立方，体心立方，面心立方，密排六方，金刚石2.1.2 以二维有心长方晶格为例，画出原胞、单胞和W-S原胞，并说明它们各自的特点。2.1.3 在六方晶体中，晶面常用四个指数 (hkil) 表示，它们代表一个晶面在六角形平面基矢a1, a2, a3 (两两夹角为120)轴上的截距为a1/h, a2/k, a3/i的整数倍，在六次轴c上的截距为c/l的整数倍。证明： h + k + i = 0。2.1.4 计算单胞边长为a的面心立方晶体单胞的体积、原胞的体积、单位体积的格点数、最近邻格点数、最近邻格点间距、次近邻格点数和次近邻格点间距、2.1.5 证明六角密积晶格的理想轴比为。2.1