学数学 2.3.2 向量数量积的运算律课件 新人教B版必修4.ppt

2 3平面向量的数量积2 3 2向量数量积的运算律 1 了解平面向量数量积的物理背景及其含义 2 掌握平面向量数量积的定义 性质 运算律并会运用 课前自主学案 1 cos 0 其中 0 为 cos 0 其中 0 为 2 在代数式的运算中满足的运算律有 等 3 代数式运算中 平方差公式 a b a b 完全平方公式 a b 2 a b 2 锐角或零角 钝角或平角 交换律 分配律 结合律 a2 b2 a2 2ab b2 a2 2ab b2 aob b a 0 a b a b 同向 反向 a b中至少有一个零向量 轴l上 轴l的方向上 轴l的正向 3 向量的数量积 1 物理背景 一个力f使物体发生位移s 所做的功w可以用下式计算 w f s cos 其中 f cos 就是 的数量 也就是 2 定义 向量a与b的数量积 或内积 两个非零向量a和b 它们的夹角为 则数量 叫做a与b的数量积 或内积 记作 规定 与任一向量的数量积为0 f在物体位移方向上的分量 力f在物体位移方向上正射影的数量 零向量 a b cos a b 3 数量积的性质 设a b都是非零向量 e是单位向量 是a与e的夹角 则 1 e a a e 2 a b 3 当a与b同向时 a b a b 当a与b反向时 a b a cos a b 0 a b a 2 思考感悟1 向量的数量积与数乘向量的区别是什么 提示 向量的数量积a b是一个实数 不考虑方向 数乘向量 a是一个向量 既有大小又有方向 这是二者的主要区别 2 若a b 0 则有a 0或b 0 这种说法正确吗 提示 错误 实际上 由a b 0可以推出以下四种可能 a 0且b 0 a 0且b 0 a 0且b 0 a 0且b 0 a b 4 向量数量积的运算律已知向量a b c与实数 则 b a a b a b 思考感悟3 对于向量a b c 等式 a b c a b c 一定成立吗 提示 不一定成立 若 a b c 0 其方向与c相同或相反 而a b c 0时 其方向与a相同或相反 而a与c方向不一定相同 故该等式不一定成立 课堂互动讲练 根据平面向量的数量积的定义 几何意义和数量积的重要性质以及运算律 能够解决有关数量积 射影及夹角问题 已知 a 3 b 6 当 a b a b a与b的夹角是60 时 分别求a b 思路点拨 由数量积的定义可知 它的值是两向量的模与它们夹角余弦值的乘积 只要能求出它们的夹角 就可求出a b 第 种情况夹角 0 或180 第 种情况夹角 90 第 种情况夹角 60 解 当a b时 若a与b同向 则它们的夹角 0 a b a b cos0 3 6 1 18 若a与b反向 则它们的夹角 180 a b a b cos180 3 6 1 18 当a b时 它们的夹角 90 a b 0 点评 向量数量积的运算应注意以下几点 1 的范围为 0 180 2 对于非零向量a和b a b a b 0 3 若a b 0 为锐角或零角 若a b 0 为钝角或平角 解 1 2a 3b 3a 2b 6a2 4a b 9a b 6b2 6 42 5 4 5 cos60 6 52 4 思路点拨 应用向量数量积的公式或向量的几何意义求解 掌握好平面向量数量积的有关内容 对判断几何图形的形状 向量夹角的变化范围以及证明垂直都很有帮助 已知两个非零向量a b 夹角 120 且 a 3b 7a 5b 问是否存在实数 满足 a 4b a b 解 由 a 3b 7a 5b 得 a 3b 7a 5b 0 即7 a 2 15 b 2 16a b 0 由 a 4b a b 得 a 4b a b 0 即 a 2 4 b 2 1 4 a b 0 点评 非零向量a b a b 0是非常重要的性质 它对于解决向量以及平面几何图形中有关垂直的问题十分有效 应熟练掌握 本题通过转化条件建立参数 的方程求解 变式训练3已知a b是非零向量 当a tb t r 的模取最小值时 1 求t的值 2 已知a与b共线同向 求证 b a tb 1 两向量的数量积是一个数量 而不是向量 可结合数量积的几何意义去理解定义的实质 2 数量积的性质 它们是由数量积的定义推出的 可在理解的基础上去记忆和应用 3 数量积的运算只适合交换律 分配律及数乘结合律 但不适合乘法结合律