2002固体物理讲义g0205

2.5 群论在量子力学和固体物理中的应用1 哈密顿算符的对称性薛定谔群只有少数量子体系的本征方程具有精确解，大多数的问题即使利用近似方法求解也是困难的。然而一般体系都具有一定的对称性，这就可能利用群论的知识简化问题的求解，从而得到决定体系性质的一些重要结论，而不必知道理论的细节。例如用群论可以决定体系能级的简并性，以及在外场作用下简并的消除或部分消除，判断一个体系是否存在某个守恒量，从而找出好量子数和守恒定律，以及跃迁规则等。但是群论一般不能确定能级分裂的大小，跃迁几率大小等。量子力学最重要的问题是确定哈密顿量的具体形式和对称性以及解相应的薛定谔方程。下面研究哈密顿量及有关问题的对称性来建立群论和量子力学的联系。函数的变换 设有对称变换R：，现在讨论依赖坐标的函数，例如波函数，以及与坐标有关的算符，例如哈密顿算符，在对称操作R作用后的变换性质。定义为与R有关的算符，现在证明证明 因为，同理。对于一个定态体系，变换前后同一点的函数值应该相等，故有。因此。由于和都遍及整个空间，它们是等价的，将改成，得到： (2.5.1)算符的变换 设有算符作用在函数后得到另一函数，即 (2.5.2)再用与对称变换R有关的算符作用后，方程成为两边 (2.5.3)或 (2.5.4)令 (2.5.5) (2.5.6) (2.5.7)即在算符作用后式 (2.5.2) 成为 (2.5.8)由式 (2.5.2) 可得 (2.5.9)因此 (2.5.10)2 哈密顿算符的变换性质哈密顿算符的对称变换 如果在与操作R对应的算符作用下，哈密顿算符不变，则R称为哈密顿算符的对称变换，即 (2.5.11)如H在作用下不变，则由上式得 (2.5.12)即算符与H对易。使哈密顿算符不变的操作 使哈密顿算符不变的操作组成群，通常把这个群称为哈密顿算符所属的群。两种常见的哈密顿算符所属的群 (1) 对称性群：使体系不变的操作组成对称性群，如果对称性群G的操作R使哈密顿算符变换，则称体系的哈密顿算符属于群G。(2) 排列群：这是全同粒子所属的群。由于全同粒子体系不因交换粒子的位置而变，因此全同粒子体系的哈密顿算符必属于排列群。3 群表示与函数空间的基矢用以产生群表示的基矢 如有一组线性独立的函数，当用与群G中所以的元素相应的算符作用在这组函数上时，所得的函数可用这一组独立函数的线性组合来表示，则线性组合的系数所构成的矩阵就可以作为群G的矩阵表示。例如，设这n个线性独立的函数是，则 (2.5.13)即线性组合的系数，可作为群G的矩阵表示。满足上式的称为产生群G的表示的基矢。例2.5.1 如群G有元素，将这些元素作用在某个固体上，体内任意点的坐标由变成，则，与各操作相应的可表示为 取下列函数作为基矢：这六个函数是线性独立的，它们可以决定一个函数空间，作为六阶群的基矢，根据 (2.5.1) 和 (2.5.13) 可得到群G的表示：E： ，即 ， (2.5.13a)同样可得， (2.5.13b)， (2.5.13c)， (2.5.13d)， (2.5.13e)， (2.5.13f)由于群G与点群同构，有三个不可约表示，特征标表是E6021111120显然，由所决定的空间R是可约的。由，可以算出即如果选取的线性组合为， (2.5.14)用作用在上后可得到， (2.5.15a)， (2.5.15b), (2.5.15c), (2.5.15d),(2.5.15e),(2.5.15f)此外，也可以看作具有式 (2.5.15c) 的形式，。因此选用新的基矢后，函数空间简约成两个二维的空间和两个一维的空间，常把和称为R的子空间。在和中，元素的表示分别是二维的和一维的，其特征标和不可约表示分别与和相同。即通过将做适当的线性组合得到新的基矢，由作基矢而决定的子空间和都是不可约的。4 薛定谔方程的解与哈密顿量的群定理 如哈密顿量H在群G的变换下不变，即群G是哈密顿量H所属的对称群，则与本征值相应的哈密顿量算符H的本征函数组成群G的表示的基矢。由此可得一个很重要的结论，即某个简并能级的本征函数组成哈密顿量所属的群表示的基矢。通过这个关系，群论建立了哈密顿量的对称性与其本征函数的简并性和变换性质之间的联系，这个定理的重要性在于可以通过群的表示理论来描述某个能级的简并性及在群作用下其本征函数的变换性质。虽然并不能知道本征值的数值，都是可以得到不少有关对称的信息。后面将看到这对于计算一些矩阵元及确定选择定则都是很有用的。正常简并和偶然简并 如果代表所有与H对易的算符，设所有作用在某一个与相应的本征函数后，可以得到所有的其它简并的本征函数，则这种简并称为正常简并。例如已熟知的的p函数是角动量算符的本征函数，具有度简并。后面将指出，通过坐标转动的操作，可以从任一个p函数得到其它的两个。然而，对于某些情况并不能通过对称变换而得到所有的简并本征函数，例如氢原子能量算符的本征函数和虽然是属于同一个本