内蒙古呼伦贝尔市高三数学总复习《利用空间向量求角和距离》课件.ppt

第四十五讲利用空间向量求角和距离 走进高考第一关考点关回归教材 1 直线间的夹角 3 已知直线l1与l2的方向向量分别为s1 s2 2 平面间的夹角 2 平面 1和 2的法向量为n1和n2 两个平面的夹角为 3 直线与平面的夹角 1 平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫做该直线与此平面的夹角 如果一条直线与一个平面平行或在平面内 我们规定这条直线与平面的夹角为0 如果一条直线与一个平面垂直 我们规定这条直线与平面的夹角是 2 直线与平面的夹角 和该直线的方向向量s与该平面的法向量n的夹角互为余角 4 点到直线的距离 1 已知点a是直线l外一定点 过a作aa l 垂足为a 则点a到直线l的距离d等于线段aa 的长度 2 如图 p是直线l上一点 s是直线l的方向向量 s0为s的 5 点到平面的距离 1 已知点a是平面 外一定点 过a作aa 垂足为a 则点a到平面 的距离d等于线段aa 的长度 2 设n是平面 的法向量 n0为n的单位向量 p为平面 内任一点 则a到平面 的距离为 考点训练 1 已知在正方体abcd a1b1c1d1中 e为棱ab的中点 则直线c1e与平面acc1a1的夹角的正弦值为 解析 bd ac bd cc1 bd 平面acc1a1 设正方体的棱长为1 如图以d为坐标原点建立坐标系 则 答案 b 解法二 以d为坐标原点建立坐标系 如图所示 3 在棱长为a的正方体abcd a1b1c1d1中 m是aa1的中点 则a1到平面mbd的距离是 答案 d 4 2009 浙江 在三棱柱abc a1b1c1中 各棱长相等 侧棱垂直于底面 点d是侧面bb1c1c的中心 则ad与平面bb1c1c所成角的大小是 a 30 b 45 c 60 d 90 答案 c 解析 如图 以c为原点 cb为y轴 cc1为z轴 过c作bc的垂线 为x轴 故x轴与平面bb1c1c垂直 设三棱柱的棱长为2 解读高考第二关热点关 题型一利用向量求夹角例1如图 abcd是边长为2a的正方形 abef是矩形 且二面角c ab f是直二面角 af a g是ef的中点 1 求证 平面agc 平面bgc 2 求gb与平面agc所成角的正弦值 3 平面bac与平面acg的夹角的余弦值 解 如图 以a为原点建立直角坐标系 则a 0 0 0 b 0 2a 0 c 0 2a 2a g a a 0 f a 0 0 ag bg ag bc 而bg与bc是平面bcg内两相交直线 ag 平面bcg 又ag 平面acg 故平面acg 平面bcg 3 因n1 1 1 1 是平面agc的一个法向量 又af 平面abcd 求两个平面 与 的夹角 只须求两个平面的法向量的夹角 变式1 2009 海南 宁夏 如图所示 已知点p在正方体abcd a b c d 的对角线bd 上 pda 60 1 求dp与cc 所成角的大小 2 求dp与平面aa d d所成角的大小 解 如图所示 以d为原点 棱da dc dd 所在直线为x轴 y轴 z轴 设棱长为1 则d 0 0 0 a 1 0 0 c 0 1 0 c 0 1 1 da 1 0 0 cc 0 0 1 题型二已知角 求未知量 1 求证 平面ac1d 平面abd 2 求二面角b ac1 d的余弦值 3 e为线段ac1上的一个动点 当线段ec1的长为多少时 de与平面bc1d所成的角为30 解 1 证明 abcd是平行四边形 故知 bdc1 abd 90 即ab bd c1d bd 2 由ab bd ab c1d可知 ab 平面bc1d 故可以b为原点 平行于c1d的直线为x轴 bd所在直线为y轴 ab所在直线为z轴 建立如图所示的空间直角坐标系 点评 已知直线与平面的夹角或平面与平面的夹角 去求未知量时 可以利用待定系数法 设出未知量 再寻找方程求解 变式2 2008 浙江 如图 矩形abcd和梯形befc所在平面互相垂直 be cf bcf cef 90 ad ef 2 1 求证 ae 平面dcf 2 当ab的长为何值时 二面角a ef c的大小为60 解 矩形abcd和梯形befc所在平面互相垂直 ab bc be两两互相垂直 以b为坐标原点 be bc ba分别为x轴 y轴 z轴建立坐标系 1 bc cf bc cd bc 平面dcf 设平面aef的法向量为n x y z 题型三利用空间向量求距离例3 2009 江西 在四棱锥p abcd中 底面abcd是矩形 pa 平面abcd pa ad 4 ab 2 以ac的中点o为球心 ac为直径的球面交pd于点m 交pc于点n 1 求证 平面abm 平面pcd 2 求直线cd与平面acm所成的角的正弦值 3 求点n到平面acm的距离 解 1 依题设知 ac是所作球面的直径 则am mc 因为pa 平面abcd 所以pa cd 又cd ad 所以cd 平面pad 则cd am 所以am 平面pcd 所以平面abm 平面pcd 2 如图所示 建立空间直角坐标系 则a 0 0 0 p 0 0 4 b 2 0 0 c 2 4 0 d 0 4 0 m 0 2 2 设平面acm的一个法向量n x y z 3 由条件可得 an nc 变式3 如图 在底面是正方形的四棱锥p abcd中 平面pcd 平面abcd pc pd cd 2 1 求证 pd bc 2 求二面角b pd c的余弦值 3 求点a到平面pbc的距离 解 1 证明 取cd的中点为o 连结po pd pc po cd 平面pcd 平面abcd 平面pcd 平面abcd cd po 平面abcd 如图 在平面abcd内 过o作om cd交ab于m 以o为原点 om oc op分别为x y z轴 建立空间直角坐标系o xyz 3 方法一 设点a到平面pbc的距离为h 笑对高考第三关技巧关 1 求证 对任意的 0 2 都有ac be 2 设二面角c ae d的大小为 直线be与平面abcd所成的角为 若tan tan 1 求 的值 考向精测 1 如图 正方体abcd a1b1c1d1中直线bc1与平面a1bd所成角的余弦值为 答案 c 解析 解法一 先证明ac1是平面a1bd的法向量 即证明ac1 面a1bd 不妨假定正方体棱长为1 同理ac1 a1d a1b a1d a1 ac1 平面a1bd 设bc1与平面a1bd所成的角为 bc1与ac1所成的角为 则 设平面a1db的法向量为n x y z 2 如图所示 在长方体abcd a1b1c1d1中 已知ab 4 ad 3 aa1 2 e f分别是线段ab bc上的点 且eb fb 1 1 求直线ec1与fd1所成角的余弦值 2 求平面cde与平面dec1的夹角的余弦值 1 设ec1与fd1所成角为 2 设向量n x y z 与平面c1de垂直 则有 课时作业 四十五 利用空间向量求角和距离 一 选择题1 如图所示 在直三棱柱abc a1b1c1中 ab bc aa1 abc 90 点e f分别是棱ab bb1的中点 则直线ef和bc1所成的角是 a 45 b 60 c 90 d 120 答案 b 解析 取b1c1的中点g 连接fg eg 则gf bc1且 efg就是所求的角或其补角 利用余弦定理可求得 解法二 以b为原点ba bc bb1分别为x轴 y轴 z轴建立坐标系 如图所示 设ab bc aa1 2 e 1 0 0 f 0 0 1 c1 0 2 2 2 已知长方体abcd a1b1c1d1中 ab bc 4 cc1 2 则直线bc1和平面dbb1d1所成角的正弦值为 答案 c 解析 连接a1c1交b1d1于o点 由已知条件得c1o b1d1 且平面bdd1b1 平面a1c1ca c1o 平面bdd1b1 连接bo 则bo为bc1在平面bdd1b1上的射影 c1bo即为所求 解法二 如图所示 以d为坐标原点 建立坐标系 则b 4 4 0 c1 0 4 2 d1 0 0 2 3 在三棱锥a bcd中 ab ad bc cd 且e f分别为棱ab cd的中点 设ef与ac所成的角为 ef与bd所成的角为 则 等于 a 30 b 45 c 60 d 90 答案 d 解析 如图所示 取bc的中点g 连结eg fg 则eg ac fg bd 故 feg为ef与ac所成的角 efg为ef与bd所成的角 即 feg efg ab ad bc cd 易证ac bd 4 如图所示 正方体abcd a1b1c1d1的棱长为1 o是底面a1b1c1d1的中心 则o到平面abc1d1的距离为 答案 b 解析 过o作ef a1b1 交a1d1于e 交b1c1于f 过f作fg bc1于g 则fg的长就是o到平面abc1d1的距离 在 5 如图正方体ac1中p为棱bb1的中点 则在平面bcc1b1内过点p与直线ac成50 角的直线有 条 a 0b 1c 2d 无数 答案 c 解析 ac是平面bcc1b1的斜线 且成45 角 过c点在平面bcc1b1可作两条直线与ac成50 角 平移至p点即可 故选c 6 在棱长为a的正方体abcd a1b1c1d1内任取一点p 则点p到点a的距离小于等于a的概率为 答案 d 二 填空题7 设a 2 3 1 b 4 1 2 c 6 3 7 d 5 4 8 则d点到平面abc的距离是 解析 设平面abc的法向量为n x y z 8 如图所示 在棱长为1的正方体abcd a1b1c1d1中 m和n分别是a1b1和bb1的中点 那么直线am与cn所成角的余弦值为 解析 如图建立坐标系 则a 1 0 0 9 等腰直角 abc中 ab bc 1 m为ac中点 沿bm把它折成二面角 折后a与c的距离为1 则二面角c bm a大小为 答案 90 m为ac的中点 10 如图正方体abcd a1b1c1d1 棱长为1 e为ab的中点 则e到直线b1d的距离为 解析 以d为坐标原点建立坐标系 三 解答题 1 证明 平面ade 平面acc1a1 2 求直线ad和平面abc1所成角的正弦值 解 如图所示 设o是ac的中点 以o为原点建立空间直角坐标 12 如图 正方形acde所在的平面与平面abc垂直 m是ce和ad的交点 ac bc 且ac bc 1 求证 am 平面ebc 2 求直线ab与平面eb