2019版高考数学第三章 第5节VIP

第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式1两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin()sin_cos_cos_sin_；cos()cos_cos_sin_sin_；tan().2二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin_cos_；cos 2cos2sin22cos2112sin2；tan 2.3公式的常用变形(1)tan tan tan()(1tan tan )；(2)cos2，sin2；(3)1sin 2(sin cos )2，1sin 2(sin cos )2，sin cos sin.1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的()(2)存在实数，使等式sin()sin sin 成立()(3)公式tan()可以变形为tan tan tan()(1tan tan )，且对任意角，都成立()(4)存在实数，使tan 22tan .()答案：(1)(2)(3)(4)2sin 20cos 10cos 160sin 10()AB.C D.解析：选D原式sin 20cos 10cos 20sin 10sin(2010)sin 30，故选D.3设角的终边过点(2,3)，则tan()A. BC5 D5解析：选A由于角的终边过点(2,3)，因此tan ，故tan，选A.4(2017山东高考)已知cos x，则cos 2x()A B.C D.解析：选Dcos x，cos 2x2cos2x1.5化简：_.解析：4sin .答案：4sin 6(2017江苏高考)若tan，则tan _.解析：tan tan.答案：考什么怎么考三角函数公式的直接应用是基础，直接命题较少，主要考查三角函数公式的识记，多体现在简单三角函数求值中.1已知cos ，是第三象限角，则cos的值为()A.BC. D解析：选Acos ，是第三象限的角，sin ，coscos cos sin sin .2已知sin ，tan()，则tan()的值为()A B.C. D解析：选A因为sin ，所以cos ，所以tan .因为tan()tan ，所以tan ，则tan().3已知，sin ，则cos的值为_解析：因为，sin ，所以cos .sin 22sin cos 2，cos 212sin2122，所以coscoscos 2sin sin 2.答案：怎样快解准解三角函数公式的应用策略(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值考什么怎么考主要考查对三角函数公式的熟练掌握程度，对公式结构的准确理解和记忆.考法(一)三角函数公式的逆用1._.解析：.答案：2在ABC中，若tan Atan B tan AtanB1, 则cos C_.解析：由tan Atan Btan Atan B1，可得1，即tan(AB)1，又AB(0，)，所以AB，则C，cos C.答案：3已知cossin ，则sin_.解析：由cossin ，可得cos sin sin ，即sin cos ，sin，即sin，sinsin.答案：考法(二)三角函数公式的变形用4化简_.解析：1.答案：15化简sin2sin2sin2的结果是_解析：原式sin21sin21cos 2cos sin21.答案：怎样快解准解1注意三角函数公式逆用和变形用的2个问题(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系(2)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式2熟记三角函数公式的2类变式(1)和差角公式变形：sin sin cos()cos cos ，cos sin sin()sin cos ，tan tan tan()(1tan tan )(2)倍角公式变形：降幂公式cos2，sin2，配方变形：1sin 2,1cos 2cos2，1cos 2sin2.三角函数公式中角的变换与名的变换在三角函数求值中经常考查，题目难度不大，属于中低档题.典题领悟1(2018南充模拟)已知，且cos ，cos()，则sin _.解析：因为，且cos ，cos()，所以(0，)，所以sin ，sin()，则sin sin()sin()cos cos()sin .答案：2已知tan()，tan ，则tan()的值为_解析：tan()，tan ，tan tan()，tan().答案：解题师说1迁移要准(1)看到角的范围及余弦值想到正弦值；看到，想到凑角()，代入公式求值(2)看到两个角的正切值想到两角和与差的正切公式；看到，想到凑角2思路要明(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的拆分与组合的技巧，半角与倍角的相互转化，如：2()()，()()，406020，2等(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦3思想要有转化思想是实施三角变换的主导思想，恒等变形前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化冲关演练1(2017全国卷)已知，tan 2，则cos_.解析：，tan 2，sin ，cos ，coscos cossin sin.答案：2已知，均为锐角，且sin ，tan().(1)求sin()的值；(2)求cos 的值解：(1)，从而.又tan()0，0.sin().(2)由(1)可得，cos().为锐角，且sin ，cos .cos cos()cos cos()sin sin().(一)普通高中适用作业A级基础小题练熟练快1sin 45cos 15cos 225sin 165()A1B.C. D解析：选Bsin 45cos 15cos 225sin 165sin 45cos 15(cos 45)sin 15sin(4515)sin 30.2若2sin3sin()，则tan 等于()A B.C. D2解析：选B由已知得sin cos 3sin ，即2sin cos ，所以tan .3(2018石家庄质检)若sin()，且，则sin 2的值为()A BC. D.解析：选A因为sin()sin ，所以cos ，所以sin 22sin cos 2.4(2018衡水调研)若，且3cos 2sin，则sin 2的值为()A B.C D.解析：选C由3cos 2sin，可得3(cos2sin2)(cos sin )，又由，可知cos sin 0，于是3(cos sin )，所以12sin cos ，故sin 2.5计算的值为()A B. C. D解析：选B.6(2017全国卷)函数f(x)sincos的最大值为()A. B1C. D.解析：选A因为coscossin，所以f(x)sin，于是f(x)的最大值为.7已知sin，则cos的值为_解析：由已知得cos ，sin ，所以coscos sin .答案：8(2018贵州适应性考试)已知是第三象限角，且cos()，则tan 2_.解析：由cos()cos ，得cos ，又是第三象限角，所以sin ，tan ，故tan 2.答案：9已知cos，则cos xcos_.解析：cos xcoscos xcos xsin xcos xsin xcos1.答案：110(2018石家庄质检)已知，cos，则cos _.解析：因为，所以，所以sin，所以cos coscoscossinsin.答案：B级中档题目练通抓牢1(2018陕西高三教学质量检测)已知角的终边过点P(4，3)，则cos的值为()A B.C D.解析：选B由于角的终边过点P(4，3)，则cos ，sin ，故coscos cossin sin.2设为锐角，若cos，则sin的值为()A. B.C D解析：选B因为为锐角，且cos，所以sin ，所以sinsin22sincos2.3(2018广东肇庆模拟)已知sin 且为第二象限角，则tan()A BC D解析：选D由题意得cos ，则sin 2，cos 22cos21.tan 2，tan.4若锐角，满足tan tan tan tan ，则_.解析：由已知可得，即tan().又(0，)，所以.答案：5(2018安徽两校阶段性测试)若，cos2cos 2，则sin 2_.解析：由已知得(cos sin )2(cos sin )(cos sin )，所以cos sin 0或cos sin ，由cos sin 0得tan 1，因为，所以cos sin 0不满足条件；由cos sin ，两边平方得1sin 2，所以sin 2.答案：6(2018广东六校联考)已知函数f(x)sin，xR.(1)求f的值；(2)若cos ，求f的值解：(1)fsinsin.(2)fsinsin(sin 2cos 2)因为cos ，所以sin ，所以sin 22sin cos ，cos 2cos2sin2，所以f(sin 2cos 2).7已知，且sincos.(1)求cos 的值；(2)若sin()，求cos 的值解：(1)因为sincos，两边同时平方，得sin .又，所以cos .(2)因为，所以.又由sin()，得cos().所以cos cos()cos cos()sin sin().C级重难题目自主选做已知coscos，.(1)求sin 2的值；(2)求tan 的值解：(1)coscoscossinsin，即sin.，2，cos， sin 2sinsincoscossin.(2)，2，又由(1)知sin 2，cos 2.tan 22.(二)重点高中适用作业A级保分题目巧做快做1.计算sin 133cos 197cos 47cos 73的结果为()A.B.C. D.解析：选Asin 133cos 197cos 47cos 73sin 47(cos 17)cos 47sin 17sin(4717)sin 30.2(2018陕西高三教学质量检测试)已知角的终边过点P(4，3)，则cos的值为()A B.C D.解析：选B由于角的终边过点P(4，3)，则cos ，sin ，故coscos cossin sin.3.已知sin cos ，则sin2()A. B.C. D.解析：选B由sin cos 两边平方，得1sin 2，解得sin 2，所以sin2.4计算的值为()A B.C. D解析：选B.5.已知，tan，那么sin 2cos 2 的值为()A B.C D.解析：选A由tan，知，tan 2.2，sin 2，cos 2，sin 2cos 2.6(2018贵州适应性考试)已知是第三象限角，且cos()，则tan 2_.解析：由cos()cos ，得cos ，又是第三象限角，所以sin ，tan ，故tan 2.答案：7已知cos，则cos xcos_.解析：cos xcoscos xcos xsin xcos xsin xcos1.答案：18.(2018洛阳第一次统一考试)若sin，则cos_.解析：依题意得coscoscos2sin21221.答案：9已知，tan ，求tan 2和sin的值解：tan ，tan 2，且，即cos 2sin ，又sin2cos21，5sin21，而，sin ，cos .sin 22sin cos 2，cos 212sin2122，sinsin 2coscos 2sin.10(2018广东六校联考)已知函数f(x)sin，xR.(1)求f的值；(2)若cos ，求f的值解：(1)fsinsin.(2)fsinsin(sin 2cos 2)因为cos ，所以sin ，所以sin 22sin cos ，cos 2cos2sin2，所以f(sin 2cos 2).B级拔高题目稳做准做1.已知sin，cos 2，则sin ()A. BC. D解析：选C由sin得sin cos .由cos 2得cos2sin2，所以(cos sin )(cos sin ).由可得cos sin .由可得sin .2.(2018福州质检)已知m，若sin3sin 2，则m()A. B.C. D2解析：选D设A，B，则2()AB，2AB，因为sin2()3sin 2，所以sin(AB)3sin(AB)，即sin AcosBcos AsinB3(sin AcosBcos AsinB)，即2cos AsinBsin AcosB，所以tan A2tanB，所以m2，故选D.3.(2017北京高考)在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称若sin ，则cos()_.解析：因为角与角的终边关于y轴对称，所以2k，kZ，所以cos()cos(22k)cos 2(12sin2).答案：4.(2018安徽重点中学联考)若，cos2cos 2，则sin 2_.解析：由已知得(cos sin )2(cos sin )(cos sin )，所以cos sin 0或cos sin .由cos sin 0得tan 1，因为，所以tan 0，所以cos sin 0不满足条件；由co