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文档简介

1 例1 求由摆线 的一拱与x轴所围平面图形的面积 解 2 例2 计算心形线 与圆 所围图形的面积 解 利用对称性 所求面积 3 例3 求双纽线 所围图形面积 解 利用对称性 则所求面积为 思考 用定积分表示该双纽线与圆 所围公共部分的面积 答案 二 体积 7 特别 当考虑连续曲线段 轴旋转一周围成的立体体积时 有 当考虑连续曲线段 绕y轴旋转一周围成的立体体积时 有 8 例2计算由椭圆 所围图形绕x轴旋转而 转而成的椭球体的体积 解 方法1利用直角坐标方程 则 利用对称性 9 方法2利用椭圆参数方程 则 特别当b a时 就得半径为a的球体的体积 14 例5 计算摆线 的一拱与y 0 所围成的图形分别绕x轴 y轴旋转而成的立体体积 解 绕x轴旋转而成的体积为 利用对称性 15 绕y轴旋转而成的体积为 注意上下限 注 16 分部积分 注 利用 偶倍奇零 17 柱壳体积 说明 柱面面积 18 偶函数 奇函数 21 例7设 在x 0时为连续的非负函数 且 形绕直线x t旋转一周所成旋转体体积 证明 证 利用柱壳法 则 故 22 设平面图形A由 与 所确定 求 图形A绕直线x 2旋转一周所得旋转体的体积 提示 选x为积分变量 旋转体的体积为 例8 若选y为积分变量 则 23 设平面光滑曲线 求 积分后得旋转体的侧面积 它绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 取侧面积元素 24 侧面积元素 的线性主部 若光滑曲线由参数方程 给出 则它绕x轴旋转一周所得旋转体的 不是薄片侧面积 S的 注意 侧面积为 25 例9 计算圆 x轴旋转一周所得的球台的侧面积S 解 对曲线弧 应用公式得 当球台高h 2R时 得球的表面积公式 26 例10 求由星形线 一周所得的旋转体的表面积S 解 利用对称性 绕x轴旋转 27 星形线 星形线是内摆线的一种 点击图片任意处播放开始或暂停 大圆半径R a 小圆半径 参数的几何意义 当小圆在圆内沿圆周滚
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