高中数学《1.3.3函数的最大(小)值与导数》课件1 新人教A版选修22.ppt

利用导数研究函数的极值 知识与技能目标 理解极大值 极小值的概念 能够运用判别极大值 极小值的方法来求函数的极值 掌握求可导函数极值的步骤 过程与方法目标 多让学生举例说明 培养他们的辨析能力 以及培养他们分析问题和解决问题的能力 情感 态度与价值观 通过学生的参与 激发学生学习数学的兴趣 教学目标 教学重点 极大 极小值的概念和判别方法 以及求可导函数的极值的步骤 教学难点 对极大 极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤 教学重难点 利用函数的导数来研究函数y f x 的单调性这个问题 其基本的步骤为 求函数的定义域 求函数的导数f x 解不等式f x 0得f x 的单调递增区间 解不等式f x 0得f x 的单调递减区间 教学目标 函数在x 0的函数值比它附近所有各点的函数值都大 我们说f 0 是函数的一个极大值 函数在x 2的函数值比它附近所有各点的函数值都小 我们说f 2 是函数的一个极小值 右图为函数y 2x3 6x2 7的图象 从图象我们可以看出下面的结论 函数的极值 一般地 设函数y f x 在x0及其附近有定义 如果f x0 的值比x0附近所有各点的函数值都大 我们说f x0 是函数y f x 的一个极大值 如果f x0 的值比x0附近所有各点的函数值都小 我们说f x0 是函数y f x 的一个极小值 极大值与极小值统称极值 在定义中 取得极值的点称为极值点 极值点是自变量的值 极值指的是对应的函数值 课前预习 2 函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 请注意以下几点 1 极值是一个局部概念 由定义 极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 也就是说极值与最值是两个不同的概念 3 极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小值 如下图所示 x1是极大值点 x4是极小值点 而f x4 f x1 4 函数的极值点一定出现在区间的内部 区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值 最小值的点可能在区间的内部 也可能在区间的端点 在上节课中 我们是利用函数的导数来研究函数的单调性的 下面我们利用函数的导数来研究函数的极值问题 由上图可以看出 在函数取得极值处 如果曲线有切线的话 则切线是水平的 从而有f x 0 但反过来不一定 如函数y x3 在x 0处 曲线的切线是水平的 但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大 也不比它附近的点的函数值小 假设x0使f x 0 那么在什么情况下x0是f x 的极值点呢 如上图所示 若x0是f x 的极大值点 则x0两侧附近点的函数值必须小于f x0 因此 x0的左侧附近f x 只能是增函数 即f x 0 x0的右侧附近f x 只能是减函数 即f x 0 同理 如上图所示 若x0是f x 极小值点 则在x0的左侧附近f x 只能是减函数 即f x 0 从而我们得出结论 若x0满足f x 0 且在x0的两侧的导数异号 则x0是f x 的极值点 f x0 是极值 并且如果f x 在x0两侧满足 左正右负 则x0是f x 的极大值点 f x0 是极大值 如果f x 在x0两侧满足 左负右正 则x0是f x 的极小值点 f x0 是极小值 从曲线的切线角度看 曲线在极值点处切线的斜率为0 并且 曲线在极大值点左侧切线的斜率为正 右侧为负 曲线在极小值点左侧切线的斜率为负 右侧为正 求函数y f x 的极值f x0 并判别f x0 是极大 小 值的方法是 3 如果在根x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么 f x0 是极大值 4 如果在根x0附近的左侧f x 0 那么 f x0 是极小值 1 求导数f x 2 求方程f x 0的所有实数根 如果在f x 0的根x x0的左 右侧 f x 的符号不变 则f x0 不是极值 即 f x 0的根不一定都是函数的极值点 由此可见 可导函数f x 在点x0取得极值的充分必要条件是f x0 0 且在x0左侧与右侧 f x 的符号不同 很明显 f x0 0是x0为极值点的必要条件 并非充分条件 注意 如何求函数的最大 小 值呢 假设y f x 在闭区间 a b 上的图象是一条连续不间断的曲线 则该函数在 a b 一定能够取得最大值与最小值 函数的最值必在极值点或区间端点取得 由于可导函数在区间 a b 内的极值只可能在使f x 0的点取得 因此把函数在区间端点的值与区间内使f x 0的点的值作比较 最大者必为函数在 a b 上的最大值 最小者必为最小值 求函数y f x 在 a b 的最大 小 值步骤如下 1 求函数f x 在开区间 a b 内所有使f x 0的点 2 计算函数f x 在区间内使f x 0的所有点和端点的函数值 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 例1 已知函数y x3 4x 4 1 求函数的极值 并画出函数的大致图象 2 求函数在区间 3 4 上的最大值和最小值 解 1 y x3 4x 4 x2 4 x 2 x 2 令y 0 解得x1 2 x2 2 当x变化时 y y的变化情况如下表 当x 2时 y有极大值且y极大值 当x 2时 y有极小值且y极小值 2 f 3 7 f 4 9 与极值点的函数值比较得到该函数在区间 3 4 上最大值是9 最小值是 例2 求y x2 1 3 1的极值 解 y 6x x2 1 2 6x x 1 2 x 1 2令y 0解得x1 1 x2 0 x3 1 当x变化时 y y的变化情况如下表 当x 0时 y有极小值且y极小值 0 例3 求函数y x4 2x2 5在区间 2 2 上的最大值与最小值 解 先求导数 得y 4x3 4x 令y 0即4x3 4x 0 解得x1 1 x2 0 x3 1 导数y 的正负以及f 2 f 2 如下表 从上表知 当x 2时 函数有最大值13 当x 1时 函数有最小值4 例4 已知 x 0 是否存在实数 使f x 同时满足下列两个条件 1 f x 在 0 1 上是减函数 在 1 上是增函数 2 f x 的最小值是1 若存在 求出a b 若不存在 说明理由 解 设g x f x 在 0 1 上是减函数 在 1 上是增函数 g x 在 0 1 上是减函数 在 1 上是增函数 所以 即 解得 经检验 a 1 b 1时 f x 满足题设的两个条件 1 函数y 1 3x x3有 a 极小值 1 极大值1 b 极小值 2 极大值3 c 极小值 2 极大值2 d 极小值 1 极大值3 d 达标练习 2 函数y x2 1 3 1的极值点是 a 极大值点x 1 b 极大值点x 0 c 极小值点x 0 d 极小值点x 1 c 3 函数f x x 的极值情况是 a 当x 1时取极小值2 但无极大值 b 当x 1时取极大值 2 但无极小值 c 当x 1时取极小值 2 当x 1时取极大值2 d 当x 1时取极大值 2 当x 1时取极小值2 d 4 若函数y x3 ax2 bx 27在x 3时有极大值 在x 1时有极小值 则a b 3 9 5 函数y 3 48x x3的极大值是 极小值是 y x 4 125 y x 4 13