八年级数学第15章轴对称图形与等腰三角形复习题

第15章轴对称图形与等腰三角形 复习题教材P149 153 沪科版八年级数学第15章轴对称图形与等腰三角形复习题 1 已知 点A a b 与点B c d 1 如果点A B关于y轴对称 那么a b c d应满足什么条件 2 如果点A B关于x轴对称 那么a b c d应满足什么条件 答 1 a c b d 2 a c b d 2 直线与直线y 2x关于y轴对称 写出直线所表示的函数表达式 答 y 2x 3 已知 如图 在 ABC中 BAC 90 AC 2AB 点D是AC的中点 EAD为等腰直角三角形 AED 90 试猜想线段BE和EC的关系 并证明你的猜想 C B D A E 猜想 BE EC BE EC 证明 AC 2AB 点D是AC的中点 AB DC 又 EAD为等腰直角三角形 AE DE EAD EDA 45 CDE 135 BAC 90 BAE BAC EAD 135 BAE CDE 在 ABE和 DCE中AB DC BAE CDEAE DE ABE DCE BE EC AEB DEC AED 90 BEC 90 BE EC 4 已知 ABC中 AB AC AD是BC边上中线 AB的垂直平分线交AD于点O B的平分线交AD于点 求证 1 OA OB OC 2 点 到BC CA AB的距离相等 O D C B A E G F 证明 1 OG是AB的垂直平分线 OA OB 又 AB AC AD是BC边上的中线 AD是BC边的垂直平分线 点O在AD上 OB OC OA OB OC 2 AB AC AD是BC边上的中线 AD是 BAC的平分线 又是BC边上的高 OB平分 ABC E AB F AC E F D 即 点 到BC CA AB的距离相等 5 已知 如图 AD是 ABC的角平分线 DE AB DF AC 点E F为垂足 求证 AD垂直平分EF B C D F E A 证明 AD是 BAC的角平分线 DE AB DF AC EAD FAD AED AFD 90 在 AED和 AFD中 EAD FAD AED AFD AD AD AED AFD AE AF DE DF 点A D都在EF的垂直平分线上 AD垂直平分EF O 6 已知 如图 ABC是等边三角形 BD是中线 点E在BC的延长线上 使CE CD 求证 DB DE E C B D A 证明 ABC是等边三角形 ABC ACB 60 BD是中线 BD又是 ABC的平分线 DBC 30 CE CD E CDE 又 ACB E CDE 60 E 30 DBC E DB DE 7 求证 有两条高相等的三角形是等腰三角形 已知 如图 ABC中 BD CE分别是AC AB边上的高 且BD CE 求证 ABC是等腰三角形 D E C B A 证明 BD CE分别是AC AB边上的高 ADB AEC 90 在 ABD和 ACE中 A A ADB AEC BD CE ABD ACE AB AC ABC是等腰三角形 8 已知 如图 ABC中 AD是BC边上的高 AB AC BAC 120 垂足分别是E F 求证 DE DF BC F E B C D A 证明 AB AC B C BAC 120 B C 30 又 DE AB DF AC DE BD DF DC DE DF BD DC BC 9 已知 如图 在 ABC中 AB AC A 120 AC的垂直平分线EF交AC于点E 交BC于点F 求证 BF 2CF F E B C A 证明 连接AF AB AC B C A 120 B C 30 EF是AC的垂直平分线 AF CF FAC C 30 BAF 90 BF 2AF BF 2CF 10 已知 如图 AD DE BE DE AC BC分别平分 DAB ABE 点C在线段DE上 求证 AB AD BE D B E C A F 证明 过C作CF AB 垂足为F 又 AD CE BE AC平分 DAB BC平分 ABE CD CF CE 在Rt ACD和Rt ACF中 AC AC CD CF Rt ACD Rt ACF AF AD 在Rt BCE和Rt BCF中 BC BC CE CF Rt BCE Rt BCF BF BE AB AF BF AD BE 11 已知 如图 在 ABC中 A 90 AB AC 点D在BC上 BD AB 作DE BC 点E在边AC上 求证 1 BE平分 ABC 2 AE ED DC C D E A B 证明 1 在Rt ABE和Rt DBE中 BE BE AB DB Rt ABE Rt DBE ABE DBE BE平分 ABC 2 A 90 AB AC C 45 又 DE BC DEC C 45 ED DC Rt ABE Rt DBE AE ED AE ED DC 12 已知 如图 在 ABC中 以它的边AB AC为边 分别在形外作等边三角形ABD ACE 连接BE DC 求证 BE DC E D C B A 证明 ABD和 ACE都是等边三角形 AB AD AE AC BAD CAE 60 BAE DAC 在 ABE和 ADC中 AB AD BAE DAC AE AC ABE ADC BE DC 13 已知 如图 线段CD与 AOB 通过作图求一点P 使PC PD 并且点P到 AOB两边的距离相等 O B D C A 14 已知 如图 Rt ABC中 C 90 沿过点B的一条直线BE折叠这个三角形 使点C与边AB上的点D重合 要使D恰好为AB的中点 问还需增加一个什么条件 说明你增加的条件及依据 A B D E C 可以增加 A 30 或BC AB 或 ABC 60 或 ABC 2 A 理由 C 90 A 30 BC AB 由折叠可知BC BD AB D为AB的中点 1 根据下列点的坐标的变化 判断它们进行了怎样的变换 1 3 1 3 1 2 5 6 5 1 3 4 3 4 3 4 2 3 3 2 B组复习题 答 1 关于y轴对称 或沿x轴方向向右平移6个单位 2 沿y轴方向向下平移5个单位 或关于直线y 3 5x对称 3 关于x轴对称 或沿y轴方向向下平移6个单位 4 关于直线y x对称 或先沿x轴方向向右平移1个单位 再沿y轴方向向上平移1个单位 2 BD是 ABC的角平分线 BD的垂直平分线交CA的延长线于点E 求证 EAB EBC E D C B A 证明 E在BD的垂直平分线上 EB ED EBD EDB BD平分 ABC ABD DBC 又 EAB EDB ABD EBC EBD DBC EAB EBC 3 已知 O是线段AB的中点 直线MN经过点O 点C D在直线MN上 1 2 45 1 若点C与点O重合 图 1 请直接写出AC与BD的数量关系和位置关系 2 若点C D不重合 图 2 求证 AC BD AC BD C O N A N M D O C B A M D B 2 1 1 2 1 AC BD AC BD 3 已知 O是线段AB的中点 直线MN经过点O 点C D在直线MN上 1 2 45 2 若点C D不重合 图 2 求证 AC BD AC BD C O N A M D B 2 1 E 证明 过B作BE AC 交MN于点E A OBE 又 O是线段AB的中点 OA OB 在 OAC和 OBE中 A OBE AOC BOE OA OB OAC OBE AC BE OCA OEB 1 BED BED 2 1 2 45 2 BED 45 BE BD DBE 90 AC BD BE BD BE AC AC BD 4 已知 如图 在 ABC中 ACB 90 D E是边AB上的两点 且AD AC BE BC 求证 DCE 45 A C E D B 证明 AD AC BE BC ACD ADC BEC BCE 又 A ACD ADC 180 B BEC BCE 180 A 2 ACD 180 B 2 BCE 180 A B 2 ACD 2 BCE 360 A B 2 ACD 2 BCD 2 DCE 360 A B 2 ACB 2 DCE 360 又 ACB 90 A B ACB 180 2 DCE 90 DCE 45 5 已知 如图 点D在等边三角形ABC的边AC上 点E在边AB的延长线上 使BE CD DE交BC于点P 求证 PD PE A B E P D C F 证明 过D作DF AB交BC于F CDF A CFD CBA FDP E 又 ABC是等边三角形 A CBA C 60 C CDF CFD CDF是等边三角形 CD FD BE CD FD BE 在 FDP和 BEP中 FDP E DPF EPB FD BE FDP BEP PD PE 6 1 已知 如图 1 在 ABC中 ABC ACB的平分线交于点O 过点O的直线DE BC DE分别与AB AC交于点D E 求证 BD CE DE C B E O D A 1 证明 DE BC DOB OBC EOC OCB 又 OB平分 ABC OC平分 ACB OBD OBC OCE OCB DOB OBD EOC OCE BD DO CE OE BD CE DO OE BD CE DE 2 将 1 题条件 ACB的平分线 改为 ACB的外角平分线 如图 2 所示 原来的关系式BD CE DE还成立吗 如果不成立 你能推断出BD CE DE存在的数量关系式吗 请证明你的推断 C B O E D A 答 不成立 BD CE DE 证明 DE BC DOB OBC EOC OCF OB平分 ABC OC平分 ACF OBD OBC OCE OCF DOB OBD EOC OCE BD DO CE OE BD CE DO OE BD CE DE F C组复习题 1 已知 等腰三角形ABC中 AB AC 1 P为底边BC上任一点 自点P向两腰作垂线PE PF 点E F为垂足 求证 PE PF等于定值 2 若点P在底边BC延长线上时 情况如何 F E P B A C 证明 连接AP 设腰上的高为h1 由S ABC S PAB S PAC 得 AB PE AC PF AB h1 又 AB AC PE PF h1 故 PE PF等于定值 1 已知 等腰三角形ABC中 AB AC 1 P为底边BC上任一点 自点P向两腰作垂线PE PF 点E F为垂足 求证 PE PF等于定值 2 若点P在底边BC延长线上时 情况如何 F E P C B A 证明 连接AP 设腰上的高为h1 由S ABC S PAB S PAC 得 AB PE AC PF AB h1 又 AB AC PE PF h1 故 PE PF等于定值 如果 点P在底边CB延长线上时 有PF PE h1 2 已知 等边三角形ABC 1 P为 ABC内任一点 自点P向三边作垂线PD PE PF 点D E F为垂足 求证 PD PE PF等于定值 2 若点P在 ABC外时 情况如何 P D F E C B A 证明 连接PA PB PC 设等边 ABC的高为h 由S ABC S PAB S PBC S PAC 得 AB PD BC PE AC PF BC h 又 AB BC AC PD PE PF h 故 PD PE PF等于定值 E D F P C B A 当P在BA与CA的延长线所围成的区域内时 证明 连接PA PB PC 设等边 ABC的高为h 由S ABC S PBC S PAB S PAC 得 BC PE AB PD AC PF BC