2020届杭州市杭州市第四中学高三上学期期中数学试题（解析版）

2020届浙江省杭州市杭州市第四中学高三上学期期中数学试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】B【解析】集合，故选B.2我们把方程分别为：和的双曲线称为共轭双曲线，则共轭双曲线有相同（）A离心率B渐近线C焦点D顶点【答案】B【解析】分别求得共轭双曲线的离心率、渐近线方程和焦点坐标、顶点坐标，可得答案【详解】解：共轭双曲线和的，设，可得它们的焦点分别为，渐近线方程均为，离心率分别为和，它们的顶点分别为，故选：B【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程和几何性质，属于基础题3设a，G，bR，则“G2ab”是“G为a，b的等比中项”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】结合等比中项的定义，利用充分条件和必要条件的定义判断【详解】解：若是，的等比中项，则当时，满足，但，不能构成等比数列，所以“”是“是，的等比中项”的必要而不充分条件，故选：B【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用等比数列的性质和定义进行判断是解决本题的关键，属于基础题4若多项式，则（ ）A9B10C-9D-10【答案】D【解析】， ，根据已知条件得 的系数为0， 的系数为1 故选D.5设函数则下列结论错误的是AD（x）的值域为0,1BD（x）是偶函数CD（x）不是周期函数DD（x）不是单调函数【答案】C【解析】该题主要考查函数的概念、定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性，全面掌握很关键.，C错误6中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)的一种，现有十二生肖的吉物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有()A50种B60种C70种D90种【答案】C【解析】根据题意，按同学甲的选择分2种情况讨论，求出每种情况的选法数目，由加法原理计算可得答案【详解】根据题意，分2种情况讨论：如果同学甲选牛，那么同学乙只能选兔、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种中任意选，选法有种；如果同学甲选马，那么同学乙能选牛、兔、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种中任意选，选法有种，不同的选法共有种，故选C.【点睛】本题主要考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的运用，属于基础题7设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)满足x02y0=2，求得m的取值范围是ABCD【答案】C【解析】要使线性约束条件表示的平面区域内存在点P(x0，y0)满足x02y0=2，即该平面区域和直线有交点，而直线的交点在直线上移动，由得交点坐标为，当即时，才会交点.【考点定位】本小题考查了线性约束条件、线性规划问题、两条直线的位置关系和数形结合的思想.8设0a1，已知随机变量X的分布列是X0a1P 若，则a（）ABCD【答案】A【解析】先求出期望，利用方差公式求解可得结果【详解】解：，即，解得故选：A【点睛】本题主要考查方差的求法，考查计算能力，属于中档题9已知直三棱柱ABCABC的底面是正三角形，侧棱长与底面边长相等，P是侧棱AA上的点（不含端点）记直线PB与直线AC所成的角为，直线PB与直线BC所成的角为，二面角PBBC的平面角为，则（）ABCD【答案】D【解析】取中点，以、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量，设出点的坐标，求出三个角，再比较大小即可【详解】解：设直三棱柱的棱长与底面边长为2，如图，取中点，以、所在直线分别为、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，由题意，则二面角的平面角为，则，当时，由二次函数的单调性知，故选：D【点睛】本题主要考查异面直线所成的角、二面角的求法，考查了利用角的余弦值比较角的大小，属于中档题10已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数为A3B4C5D6【答案】A【解析】试题分析：求导得，显然是方程的二不等实根，不妨设，于是关于x的方程3(f(x)22af(x)b0的解就是或，根据题意画图：所以有两个不等实根，只有一个不等实根，故答案选A.【考点】导数、零点、函数的图象二、填空题11若复数满足（为虚数单位），则_；_【答案】 【解析】，故答案为，.12已知 ，若f（x）2，则x_ 若f（x）2，则x的取值范围为_【答案】 【解析】当时，当时，由此能求出的值；由，当时，当时，由此能求出的取值范围【详解】解：，由，当时，解得或（舍，当时，解得，不合题意，综上：时，；由，当时，解得或（舍，当时，解得，综上：的取值范围为；故答案为：；【点睛】本题主要考查分段函数的函数值和性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题13某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是_，最长棱长为_【答案】 【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面的四棱锥，根据体积公式建立关系，可得答案【详解】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面的四棱锥，且梯形上下边长为1和2，高为2，如图：，平面，底面的面积，几何体的体积，可得，最长棱长为：，故答案为：；【点睛】本题主要考查由三视图还原直观图，考查棱锥的体积公式，属于中档题14已知椭圆的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则|PF|_ P点的坐标为_【答案】2 【解析】求得椭圆的，设椭圆的右焦点为，连接，运用三角形的中位线定理和椭圆的焦半径公式，求得的坐标，利用椭圆的定义求解【详解】解：由题意，该椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，离心率，设椭圆的右焦点为，连接，线段的中点在以原点为圆心，2为半径的圆，连接，可得，设的坐标为，由焦半径公式可得，可得，代入到椭圆方程得，由得，故答案为：2；【点睛】本题主要考查椭圆的定义和标准方程、几何性质，注意运用三角形的中位线定理，考查运算能力，属于中档题15已知，则的值为_【答案】0【解析】由已知利用三角函数的诱导公式分别求得与的值，则答案可求【详解】解：，故答案为：0【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，属于基础题16在ABC中，ABC为直角，点M在线段BA上，满足BM2MA2，记ACM，若对于给定的，这样的ABC是唯一确定的，则BC_【答案】【解析】由题意利用直角三角形中的边角关系求出、的值，再利用两角差的正切公式求得，从而求出的值【详解】解：设，则为锐角，依题意，若对于给定的，是唯一的确定的，可得，解得，即的值为，故答案为：【点睛】本题主要考查直角三角形中的边角关系，两角差的正切公式，属于中档题17已知，向量满足，设与的夹角为，则的最小值为_【答案】【解析】根据条件可设，从而根据即可得出，且得出，从而得出，从而得出，从而配方即可求出的最小值【详解】解：，设，由得，则，当即时取最小值；故答案为：【点睛】本题主要考查了利用向量坐标解决向量问题的方法，考查了向量夹角的余弦公式，考查计算能力，属于中档题三、解答题18已知函数，该函数在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且ABC为正三角形（1）求的值；（2）若，求的值【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用二倍角的余弦公式降幂后化积，由为正三角形求得函数的半周期，从而求得周期，则的值可求；（2）利用（1）的结论，结合，求得与，再由，展开两角和的正弦即可求解【详解】解：（1）由得：，又正三角形ABC的高为2，从而BC4，函数的周期，；（2）由得，整理得，【点睛】本题主要考查根据三角函数的图象求解析式，考查两角和的正弦公式，解答此体的关键是拆角和配角，属于中档题1911分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.（1）求P（X=2）；（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.【答案】（1）；（2）0.1【解析】(1)本题首先可以通过题意推导出所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果；(2)本题首先可以通过题意推导出所包含的事件为“前两球甲乙各得分，后两球均为甲得分”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果。【详解】(1)由题意可知，所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”所以(2)由题意可知，包含的事件为“前两球甲乙各得分，后两球均为甲得分”所以【点睛】本题考查古典概型的相关性质，能否通过题意得出以及所包含的事件是解决本题的关键，考查推理能力，考查学生从题目中获取所需信息的能力，是中档题。20已知数列an中，相邻两项an，an+1是关于x的方程：x2+3nx+bn0（nN）的两实根，且a11（1）若Sn为数列an的前n项和，求S100 ； （2）求数列an和bn的通项公式【答案】（1）S100750；（2），【解析】（1）由韦达定理可得所以，即把相邻两项之和看成一个新的数列，这个新数列为等差数列，包含新数列的前50项，用等差数列的前项和公式即可；（2）由、两式相减得，即隔项成等差数列，由可得奇数项的通项，由可得偶数项的通项，由的通项可得的通项公式【详解】解：（1）因为an、an+1是关于的两实根，所以an+an+13n，a2n1+a2n3（2n1）36n，所以S100750（2），两式相减，因为，所以，因为，所以，所以，【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与前项和及其性质，本题的关键是分奇偶做，属于中档题21如图，已知点F（1，0）为抛物线y22px（p0）的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得ABC的重心G在x轴上（1）求p的值及抛物线的准线方程 ；（2）求证：直线OA与直线BC的倾斜角互补； （3）当xA（1，2）时，求ABC面积的最大值【答案】（1）p2，准线方程为x1 ；（2）见解析；（3）最大值为2【解析】（1）求得抛物线的焦点，由题意可得，可得抛物线方程和准线方程；（2）设过的直线方程为，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简可得证明，检验直线的斜率不存在，也成立；（3）求得的范围和的坐标，运用点到直线的距离公式可得到直线的距离，由弦长公式可得，由三角形的面积公式和导数的运用，判断单调性可得面积的范围，检验直线的斜率不存在时，可得的面积，进而得到所求最大值【详解】解：（1）点为抛物线的焦点，即，即，抛物线的方程为，准线方程为；（2）证明：设过的直线方程为，即有，联立直线和抛物线可得，可得，则，由的重心在轴上，可得，即，即有，当直线的斜率不存在时，求得，的坐标，可得则直线与直线的倾斜角互补；（3）由（2）可得，可得，解得，由抛物线的定义可得，由，即，即，的坐标为，到直线的距离为，可得的面积为，由，可得，设，则，由，则在递减，可得；当直线的斜率不存在时，设，可得，的面积为，可得的面积的最大值为2【点睛】本题主要考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系及其应用，考查化简运算能力，属于中档题22已知实数a0，设函数（1）当a1时，求函数f（x）的单调区间； （2）对任意均有，求a的取值范围注：e2.71828为自然对数的底数【答案】（1）单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，+）