三年2010-2012年上海理科高考数学试卷及答案[1].doc

2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。1.不等式的解集是 （-4,2） 。解析：考查分式不等式的解法等价于（x-2）(x+4)0,所以-4x22.若复数（为虚数单位），则 6-2i 。解析：考查复数基本运算3. 动点到点的距离与它到直线的距离相等，则的轨迹方程为 。解析：考查抛物线定义及标准方程定义知的轨迹是以为焦点的抛物线，p=2所以其方程为y2=8x4.行列式的值是 0 。解析：考查行列式运算法则=5. 圆的圆心到直线l:的距离 3 。解析：考查点到直线距离公式圆心（1,2）到直线距离为6. 随机变量的概率分布率由下图给出：则随机变量的均值是 8.2 解析：考查期望定义式E=70.3+80.35+90.2+100.15=8.27. 2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。在右边的框图中，表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入 S S+a 。8.对任意不等于1的正数a，函数f(x)=的反函数的图像都经过点P，则点P的坐标是 （0，-2） 解析：f(x)=的图像过定点（-2,0），所以其反函数的图像过定点（0，-2）9从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率P（AB）=（结果用最简分数表示）解析：考查互斥事件概率公式 P（AB）= 10在行n列矩阵中，记位于第行第列的数为。当时， 45 。解析：1+3+5+7+9+2+4+6+8=4511. 将直线、（，）x轴、y轴围成的封闭图形的面积记为，则 1 。解析：B 所以BOAC，= 所以12如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O,剪去,将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为解析：翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为的正三棱锥，高为所以该四面体的体积为13。如图所示，直线x=2与双曲线的渐近线交于,两点，记，任取双曲线上的点P，若，则a、b满足的一个等式是 4ab=1 解析：=，点P在双曲线上，化简得4ab=114.以集合U=的子集中选出2个不同的子集，需同时满足以下两个条件：（1）a、b都要选出；（2）对选出的任意两个子集A和B，必有，那么共有 36 种不同的选法。解析：列举法 共有36种二选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。15“”是“”成立的 答（ A ）（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.（C）充分条件. （D）既不充分也不必要条件.解析：，所以充分；但反之不成立，如，所以不必要16.直线l的参数方程是，则l的方向向量是可以是 【答】（C）(A)(1,2) (B)(2,1) (C)(-2,1) (D)(1,-2)解析：直线l的一般方程是，所以C正确17.若是方程的解，则属于区间 【答】（C）(A)(,1) (B)(,) (C)(,) (D)(0,)解析：结合图形，属于区间(,)18. 某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人能 【答】（D）（A）不能作出这样的三角形 （B）作出一个锐角三角形（C）作出一个直角三角形 （D）作出一个钝角三角形解析：设三边分别为a,b,c，利用面积相等可知由余弦定理得，所以角A为钝角三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。19.（本题满分12分）已知，化简：.=020. (本题满分13分)本题共有2个小题，第一个小题满分5分，第2个小题满分8分。已知数列的前项和为，且，（1）证明：是等比数列；（2）求数列的通项公式，并求出n为何值时，取得最小值，并说明理由。 （2）= n=15取得最小值解析：(1) 当n=1时，a1=-14；当n2时，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1，所以，又a1-1=-150，所以数列an-1是等比数列；(2) 由(1)知：，得，从而(nN*)；解不等式SnSn+1，得，当n15时，数列Sn单调递增；同理可得，当n15时，数列Sn单调递减；故当n=15时，Sn取得最小值21、（本大题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分.如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.(1)当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）;（2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当灯笼的底面半径为0.3米时，求图中两根直线与所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示）解析：(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l，则l=1.2-2r(0r0，即，设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)，则，由方程组，消y得方程(k2-k1)x=p，又因为，所以，故E为CD的中点；(3) 求作点P1、P2的步骤：1求出PQ的中点，2求出直线OE的斜率，3由知E为CD的中点，根据(2)可得CD的斜率，4从而得直线CD的方程：，5将直线CD与椭圆的方程联立，方程组的解即为点P1、P2的坐标欲使P1、P2存在，必须点E在椭圆内，所以，化简得，又0q p，即，所以，故q 的取值范围是2011年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理科数学一、填空题（56分）1函数的反函数为 。2若全集，集合，则 。3设为常数，若点是双曲线的一个焦点，则 。4不等式的解为 。5在极坐标系中，直线与直线的夹角大小为 。6在相距2千米的两点处测量目标，若，则两点之间的距离是 千米。7若圆锥的侧面积为，底面积为，则该圆锥的体积为 。8函数的最大值为 。9马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布律如下表请小牛同学计算的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同。据此，小牛给出了正确答案 。10行列式（）的所有可能值中，最大的是 。11在正三角形中，是上的点，则 。12随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是 （默认每月天数相同，结果精确到）。13设是定义在上以1为周期的函数，若在上的值域为，则在区间上的值域为 。14已知点和，记的中点为，取和中的一条，记其端点为，使之满足；记的中点为，取和中的一条，记其端点为，使之满足；依次下去，得到点，则 。二、选择题（20分）15若，且，则下列不等式中，恒成立的是答（ ）A B C D16下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为答（ ）A B C D17设是空间中给定的5个不同的点，则使成立的点的个数为答（ ）A0 B1 C5 D10 18设是各项为正数的无穷数列，是边长为的矩形面积（），则为等比数列的充要条件为答（ ）A是等比数列。 B或是等比数列。C和均是等比数列。D和均是等比数列，且公比相同。三、解答题（74分）19（12分）已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为，是实数，求。20（12分）已知函数，其中常数满足。（1）若，判断函数的单调性；（2）若，求时的取值范围。21（14分）已知是底面边长为1的正四棱柱，是和的交点。（1）设与底面所成的角的大小为，二面角的大小为。求证：；（2）若点到平面的距离为，求正四棱柱的高。22（18分）已知数列和的通项公式分别为，（），将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列。（1）求；（2）求证：在数列中但不在数列中的项恰为；（3）求数列的通项公式。23（18分）已知平面上的线段及点，在上任取一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作。（1）求点到线段的距离；（2）设是长为2的线段，求点集所表示图形的面积；（3）写出到两条线段距离相等的点的集合，其中，是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种，满分分别是2分，6分，8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。 。 。 。参考答案一、填空题1；2；3；4或；5；6；7；8；9；10；11；12；13；14。二、选择题15；16；17；18。三、问答题19解： （4分）设，则，（12分） ， （12分）20解： 当时，任意，则 ， ，函数在上是增函数。当时，同理，函数在上是减函数。 当时，则；当时，则。21解：设正四棱柱的高为。 连，底面于， 与底面所成的角为，即 ，为中点，又， 是二面角的平面角，即 ，。 建立如图空间直角坐标系，有设平面的一个法向量为， ，取得 点到平面的距离为，则。22 ； 任意，设，则，即 假设（矛盾）， 在数列中但不在数列中的项恰为。 ， 当时，依次有， 。23解： 设是线段上一点，则，当时，。 设线段的端点分别为，以直线为轴，的中点为原点建立直角坐标系，则，点集由如下曲线围成，其面积为。 选择， 选择。 选择。2012上海高考数学试题（理科）答案一填空题1计算： （为虚数单位）.【答案】【点评】本题着重考查复数的除法运算，首先，将分子、分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化即可.2若集合，则 .【答案】 3函数的值域是 .【答案】 4若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.【答案】 5在的二项展开式中，常数项等于 .【答案】 6有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为，则 .【答案】 7已知函数（为常数）.若在区间上是增函数，则的取值范围是 .【答案】8若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 .【答案】9已知是奇函数，且，若，则 .【答案】 10如图，在极坐标系中，过点的直线与极轴的夹角，若将的极坐标方程写成的形式，则 .【答案】11三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）.【答案】12在平行四边形中，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是 .【答案】13已知函数的图象是折线段，其中、，函数（）的图象与轴围成的图形的面积为 .【答案】14如图，与是四面体中互相垂直的棱，若，且，其中、为常数，则四面体的体积的最大值是 .【答案】 二、选择题（20分）15若是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ）A B C D【答案】 B 16在中，若，则的形状是（ ）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不能确定 【答案】C17设，随机变量取值的概率均为，随机变量取值的概率也均为，若记分别为的方差，则（ ）A B C D与的大小关系与的取值有关【答案】 A18设，在中，正数的个数是（ ）A25 B50 C75 D100【答案】D三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2，AD=2，PA=2.求：（1）三角形PCD的面积；（6分）（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.（6分）解（1）因为PA底面ABCD，所以PACD，又ADCD，所以CD平面PAD， 从而CDPD. 3分ABCDPExyz 因为PD=，CD=2， 所以三角形PCD的面积为. 6分 （2）解法一如图所示，建立空间直角坐标系， 则B(2, 0, 0)，C(2, 2,0)，E(1, , 1)， ，. 8分 设与的夹角为q，则 ，q=.ABCDPEF 由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是 12分 解法二取PB中点F，连接EF、AF，则 EFBC，从而AEF（或其补角）是异面直线 BC与AE所成的角 8分 在中，由EF=、AF=、AE=2 知是等腰直角三角形， 所以AEF=. 因此异面直线BC与AE所成的角的大小是 12分20已知函数. （1）若，求的取值范围；（6分） （2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数的反函数.（8分）解（1）由，得. 由得. 3分 因为，所以，. 由得. 6分 （2）当x1,2时，2-x0,1，因此. 10分由单调性可得.因为，所以所求反函数是，. 14分21海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴xOyPA正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处，如图. 现假设：失事船的移动路径可视为抛物线；定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为. （1）当时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分） （2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）解（1）时，P的横坐标xP=，代入抛物线方程 中，得P的纵坐标yP=3. 2分 由|AP|=，得救援船速度的大小为海里/时. 4分 由tanOAP=，得OAP=arctan，故救援船速度的方向 为北偏东arctan弧度. 6分 （2）设救援船的时速为海里，经过小时追上失事船，此时位置为. 由，整理得.10分 因为，当且仅当=1时等号成立， 所以，即. 因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. 14分22在平面直角坐标系中，已知双曲线. （1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；（4分） （2）设斜率为1的直线l交于P、Q两点，若l与圆相切，求证：OPOQ；（6分） （3）设椭圆. 若M、N分别是、上的动点，且OMON，求证：O到直线MN的距离是定值.（6分）解（1）双曲线，左顶点，渐近线方程：. 过点A与渐近线平行的直线方程为，即. 解方程组，得. 2分 所以所求三角形的面积1为. 4分 （2）设直线PQ的方程是.因直线与已知圆相切， 故，即. 6分 由，得. 设P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则. 又2，所以 ，故OPOQ. 10分 （3）当直线ON垂直于x轴时， |ON|=1，|OM|=，则O到直线MN的距离为. 当直线ON不垂直于x轴时， 设直线ON的方程为（显然），则直线OM的方程为. 由，得，所以.同理. 13分 设O到直线MN的距离为d，因为， 所以，即d=. 综上，O到直线MN的距离是定值. 16分23对于数集，其中，定义向量集. 若对于任意，存在，使得，则称X具有性质P. 例如具有性质P. （1）若x2，且，求x的值；（4分） （2）若X具有性质P