高考数学总复习 第2节 证明不等式的基本方法课件 新人教A版选修45.ppt

选修4 5不等式选讲 第二节证明不等式的基本方法 一 证明不等式的基本方法1 比较法 1 作差比较法 理论依据 a b a b a b a b 0 证明步骤 作差 得出结论 a b 0 a b 0 变形 判断符号 a b a b 变形 判断与1的大小关系 2 综合法一般地 从出发 利用 等 经过一系列的 而得出命题成立 这种证明方法叫做综合法 综合法又叫和 3 分析法证明命题时 从出发 逐步寻求使它成立的 直至所需条件为或 定义 公理或已证明的定理 性质等 从而得出要证的命题成立 这种证明方法叫做分析法 这是一种的思考和证明方法 已知条件 定义 公理 定理 性质 推理 论证 顺推证法 由因导果法 要证的结论 充分条件 已知条件 一个明显成立 的事实 执果索因 综合法和分析法有何内在联系 提示 综合法往往是分析法的相反过程 其表述简单 条理清楚 当问题比较复杂时 通常把分析法和综合法结合起来使用 以分析法寻找证明的思路 而用综合法叙述 表达整个证明过程 4 反证法 1 假设 以此为出发点 结合已知条件 应用等 进行正确的推理 得到和 或已证明的定理 性质 明显成立的事实等 矛盾的结论 以说明假设不正确 从而证明 我们把它称为反证法 要证的命题不成立 定义 公理 定理 性质 命题的条件 原命题成立 2 证明步骤反设 肯定原结论 5 放缩法 1 证明不等式时 通过把不等式中的某些部分的值或 简化不等式 从而达到证明的目的 我们把这种方法称为放缩法 2 理论依据a b b c ac 归谬 放大 缩小 二 数学归纳法证明不等式1 数学归纳法的概念当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时 可以用以下两个步骤 1 证明当时命题成立 2 假设当时命题成立 证明时命题也成立 在完成了这两个步骤后 就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立 这种证明方法称为数学归纳法 n n0 n k k n0 n k 1 2 数学归纳法的基本过程 1 已知x y r m x2 y2 1 n x y xy 则m与n的大小关系是 a m nb m nc m nd 不能确定 答案 a 2 若 x a m y a n 则下列不等式一定成立的是 a x y 2mb x y 2nc x y n md x y n m解析 x a m y a n x a y a m n x a y a x a y a m n x y m n 答案 d 答案 d 解析 当n 2时 2 f 1 2f 2 答案 2 f 1 2f 2 5 设a b 0 求证 3a3 2b3 3a2b 2ab2 证明 3a3 2b3 3a2b 2ab2 3a2 a b 2b2 b a 3a2 2b2 a b a b 0 a b 0 3a2 2b2 0 3a2 2b2 a b 0 3a3 2b3 3a2b 2ab2 考向探寻 选取比较法 综合法 分析法证明不等式 典例剖析 已知a b c d都是实数 且a2 b2 1 c2 d2 1 求证 ac bd 1 本题使用综合法 分析法 比较法都可证明 1 比较法是证明不等式的一个最基本 最常用的方法 当被证明的不等式两端是多项式 分式或对数式时 一般使用作差比较法 当被证明的不等式的两端都是正数且为乘积形式或幂指数形式时 一般使用作商比较法 2 综合法是由因导果 宜于表达 分析法是执果索因 利于思考 但是表述格式要求严谨 一般可用分析法探求思路 用综合法书写过程 用分析法证明不等式时一定要注意表达的规范性 活学活用 1 已知 a b c 0 求证 ab bc ca 0 考向探寻 用放缩法证明不等式 典例剖析 设f x ax2 bx c 当 x 1时 总有 f x 1 求证 f 2 8 解答本题可按以下思路进行 由条件知 f 0 1 f 1 1 f 1 1 探求 f 2 与 f 0 f 1 f 1 的关系 利用不等式 a b a b 证明 证明 证法一 当 x 1时 f x 1 f 0 1 即 c 1 又 f 1 1 f 1 1 a b c 1 a b c 1 又 a b c a b c 2 c a b c a b c 2c 2a 且 a b c a b c 2 c 4 a 2 2b a b c a b c a b c a b c 2 b 1 f 2 4a 2b c f 1 3a b f 1 3 a b 1 6 1 8 即 f 2 8 证法二 当 x 1时 f x 1 f 0 1 f 1 1 f 1 1 2f 1 2f 1 4f 0 f 1 f 1 f 0 3f 1 f 1 3f 0 3 f 1 f 1 3 f 0 3 1 1 1 3 1 7 8 证明含有绝对值的不等式 其思路主要有两种 一是恰当地运用 a b a b a b 进行放缩 并注意不等号的传递性及等号成立的条件 二是把含有绝对值的不等式等价转化为不含有绝对值的不等式 再利用比较法 综合法及分析法等进行证明 其中去掉绝对值符号的常用方法是平方法 放缩法证明不等式 就是利用不等式的传递性进行证明不等关系 即要证a b 只需先证明a p 且p b 其中p的确定是最重要 也是最困难的 要凭借对题意的深刻分析 对式子巧妙变形的能力 以及一定的解题经验 活学活用 2 设f x x2 x 13 实数a满足 x a 1 求证 f x f a 2 a 1 证明 f x f a x a x a 1 x a x a 1 x a 1 x a 2a 1 x a 2a 1 1 2 a 1 2 a 1 f x f a 2 a 1 考向探寻 1 用反证法证明不等式 2 用数学归纳法证明不等式 1 题中含有 至少 用反证法证明 2 不等式与正整数n有关 用数学归纳法证明 1 证明 假设 f 1 与 f 1 都小于2 即 f 1 1 p 1 2 p 2 f 1 1 p 1 2 p 2 则4 2 p 2 p 2 p 2 p 4矛盾 1 适宜用反证法证明的数学命题 结论本身是以否定形式出现的一类命题 关于唯一性 存在性的命题 结论以 至多 至少 等形式出现的命题 结论的反面比原结论更具体 更容易研究的命题 使用反证法证明问题时 准确地作出反设 即否定结论 是正确运用反证法的前提 2 与正整数n有关的不等式证明问题 如果用常规方法有困难 可以考虑利用数学归纳法来证明 利用数学归纳法证题时 在第二步中 要注意利用归纳假设 同时 这一步骤往往会涉及到分析法 放缩法等综合手段 x 1 2 y 1 2 z 1 2 3 0 又 x 1 2 y 1 2 z 1 2 0 3 0 x 1 2 y 1 2 z 1 2 3 0 式与 式矛盾 所以假设不成立 即a b c中至少有一个大于0 由于本问题是