高考数学一轮复习 4.5 解三角形课件 文 新人教A版.ppt

一 斜三角形中各元素间的关系 在 abc中 a b c为其内角 a b c分别表示a b c的对边 4 5解三角形 1 三角形内角和 a b c 2 正弦定理 在一个三角形中 各边和它所对角的正弦的比相等 即 2r r为外接圆半径 3 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 即 a2 b2 c2 2bccosa b2 c2 a2 2cacosb c2 a2 b2 2abcosc 4 正余弦定理的结合 将a 2rsina b 2rsinb c 2rsinc代入余弦定理可得sin2a sin2b sin2c 2sinasinbcosc 二 三角形的面积公式 1 s aha bhb chc ha hb hc分别表示a b c上的高 2 s absinc bcsina acsinb 3 s 2r2sinasinbsinc r为外接圆半径 4 s 5 s s a b c 6 s r s r为内切圆的半径 s为半周长 1 在 abc中 ab 5 ac 3 bc 7 则 bac的大小为 a b c d 解析 由余弦定理得 cos bac bac 答案 a 2 abc的三内角a b c的对边边长分别为a b c 若a b a 2b 则cosb等于 a b c d 解析 由正弦定理得 又a b a 2b 2cosb cosb 答案 b 3 已知等腰 abc的三个内角a b c所对边的长分别为a b c 设向量p a c b q b a c a 若p q 则角a的大小为 解析 由p q得 a c c a b b a 即 ab a2 b2 c2 由余弦定理得cosc 因为0 c 180 所以 c 120 又由 abc为等腰三角形得a 180 120 30 答案 30 题型1三角形的面积问题 例1已知 abc的三个内角a b c的对边分别为a b c 1 若当 a 时 cosa 2cos取到最大值 求 的值 2 设 a的对边长a 1 当cosa 2cos取到最大值时 求 abc面积的最大值 其最值 这样变形的方向就明确了 而当cosa 2cos取得最大值时 三角形的边只有一个确定 因此要对另二边求其最值 解析 1 因为cosa 2cos cosa 2sin 1 2sin2 2sin 2 sin 2 故当sin 时 原式取到最大值 即三角形的内角 a 分析 将cosa 2cos变换为角a的三角函数才好研究 时 最大值为 2 由 1 结论可得 a 此时cosa b2 c2 1 bc 又b2 c2 2bc 因此1 b2 c2 bc bc bc 1 当且仅当b c时等号成立 所以s abc bcsina 1 故 abc面积的最大值为 点评 求函数的最值首先关注哪些量是确定的 哪些是不确定的 尤其是在三角形中 边与角有6个量 明确变量是什么 然后利用三角函数的有界性或其他函数求最值的方法来求最值 变式训练1已知a b c为 abc的三内角 且其对边分别为a b c 若cosbcosc sinbsinc 1 求a 2 若a 2 b c 4 求 abc的面积 解析 1 cosbcosc sinbsinc cos b c 又 0 b c b c a b c a 2 由余弦定理a2 b2 c2 2bc cosa得 2 2 b c 2 2bc 2bc cos 即12 16 2bc 2bc bc 4 s abc bc sina 4 题型2判断三角形的形状 例2在 abc中 角a b c所对的边分别为a b c 若 b 60 2b a c 判断 abc的形状 分析 判断三角形的形状 可从角或边的角度去思考 于是可通过正弦定理将边转化为角 或通过余弦定理转化为边 这样可有两种基本解法 解析 法一 2b a c 2sinb sina sinc b 60 a c 120 代入 得 2sin60 sin 120 c sinc 展开整理得 sinc cosc 1 sin c 30 1 c 60 所以 a 60 故 abc为正三角形 法二 由余弦定理可得 b2 a2 c2 2accosb b 60 b 2 a2 c2 2accos60 a c 2 0 a c b 故 abc为正三角形 的转化 如果转化为角之间的关系 把内角和定理融入 就可判断三角形的形状 如果转化为边之间的关系 可建立有关边的方程 求解之 也可判断三角形的形状 在研究三角形时 灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案 但有些过程较繁杂 如何找到最优的方法 最主要的还是分析两个定理的特点 结合题目条件来选择最佳的计算方式 判断三角形的形状特征 必须深入研究角与边的大小关系 是否两边相等 是否三边相等 是否符合勾股定理 还要研究角与角的大小 点评 等价转化思想制约着三角形中边角之间数量关系 关系 是否两角相等 是否三个角相等 有无直角 有无钝角 变式训练2在 abc中 角a b c所对的边分别为a b c c 2acosb r 1 当 1时 判断三角形的形状 2 若 b 60 2b2 3ac 求 的值 等腰三角形 2 c 2acosb a 又2b2 3ac得a2 c2 b2 2accosb ac 所以 2c2 c2 c2 化简得2 2 5 2 0 解得 2或 解析 1 c 2acosb r 当 1时 c 2acosb 由正弦定理知 sinc 2sinacosb 所以sin a b 2sinacosb 即sin a b 0 a b 所以三角形为 题型3解三角形的综合应用 例3在 abc中 a b c分别是角a b c的对边 c 2a cosa 1 求cosc cosb的值 2 若 求边ac的长 分析 第 1 问是解三角形题 因此由c 2a及cosa 可利用和 差角公式 求出cosc与cosb 而第 2 问利用数量积可 得accosb 结合正弦 余弦定理可求出ac 解析 1 cosc cos2a 2cos2a 1 2 2 1 sinc sina cosb cos a c sinasinc cosacosc 2 accosb 即ac 24 又 c 2a c 2acosa a 由 解得a 4 c 6 b2 a2 c2 2accosb 16 36 2 4 6 25 b 5 即边ac的长为5 点评 平面向量知识是解决有关长度 或距离 角度的工具 是近几年高考中的重要考点 向量与三角的结合更是体现了知识之间的交汇性 解决此类问题时注意向量数量积 正弦定理 余弦定理及面积公式的综合应用 解题中还要注意向量的夹角与线线夹角之间的相等或互补关系的转化 变式训练3已知向量a 2cos2x b 1 sin2x 函数f x a b g x b2 1 求函数g x 的最小正周期 2 在 abc中 a b c分别是角a b c的对边 若f c 3 c 1 ab 2 且a b 求a b的值 cos4x 函数g x 的最小正周期t 2 f x a b 2cos2x 1 sin2x 2cos2x sin2x cos2x 1 sin2x 2sin 2x 1 解析 1 g x b2 1 sin22x 1 f c 2sin 2c 1 3 sin 2c 1 c是 abc的内角 2c 2c 即c cosc 即a2 b2 7 将ab 2代入可得a2 7 解得a2 3或4 a 或2 b 2或 a b a 2 b 题型4三角函数在实际中的应用 例4小易在 瓜渚湖 里划船 开始时看到 鉴湖明珠电视塔 在正西方 他沿南偏西60 方向 以2 5米 秒速度划了75秒后 加快了速度 以4 5米 秒划了25秒 此时看到塔在东北方 若沿途测得塔的最大仰角为60 求塔高 精确到米 分析 根据题设条件画出示意图 然后分别计算出三角形中的各边长 条件 沿途测得塔的最大仰角为60 的转化是一个障碍点 发现ab为定值 从而转化为寻找b到cd的最 小值 即b到cd的距离问题 解析 如图 设塔为ab 小易开始在c处 c 30 fbd 45 dbc 180 45 135 d 15 cd 2 5 75 4 5 25 300 在 dbc中 由正弦定理可得 db 150 设小船划到e处 仰角最大 即 aeb最大 而tan aeb ab为定值 要使 aeb最大 be应为b到dc的最短距离 be dc 在rt dbe中 be dbsin15 75 1 在rt aeb中 ab betan60 75 3 95米 生可以借助于类比推理 将课堂上所学的数学思维方法类比到所遇到的生活情境中去 问题中 沿途测得塔的最大仰角为60 设计最佳 点评 这是一道根据实际情景而设计的数学应用问题 学 变式训练4在海岸a处 发现北偏东45 方向 距离a处 1 海里的b处有一艘走私船 在a处北偏西75 的方向距离a处2海里的c处的缉私船奉命以10海里 小时的速度追截走私船 此时 走私船正以10海里 小时的速度从b处向北偏东30 方向逃窜 问缉私船沿什么方向才能最快追上走私船 解析 如图所示 注意到最快追上走私船且两船所用时间相等 若在d处相遇 则可先在 abc中求出bc 再在 bcd中求 bcd 设缉私船用t小时在d处追上走私船 则有cd 10t bd 10t 在 abc中 ab 1 ac 2 bac 120 由余弦定理 得bc2 ab2 ac2 2ab ac cos bac 1 2 22 2 1 2 cos120 6 bc cbd 90 30 120 在 bcd中 由正弦定理 得sin bcd bcd 30 即缉私船沿北偏东60 方向能最快追上走私船 1 解斜三角形的常规思维方法是 1 已知两角和一边 如a b c 由a b c 求出c 由正弦定理求出a b 2 已知两边和夹角 如a b c 应用余弦定理求c边 再应用正弦定理先求较短边所对的角 然后利用a b c 求另一角 3 已知两边和其中一边的对角 如a b a 应用正弦定理 求b 由a b c 求c 再由正弦定理或余弦定理求c边 要注意解可能有多种情况 4 已知三边a b c 应用余弦定理求a b 再由a b c 求角c 2 三角形内切圆的半径 r 特别地 直角三角形中 r 其中c为斜边 3 三角形中的射影定理 在 abc中 b a cosc c cosa 4 两内角与其正弦值的大小比较 在 abc中 a b sina sinb 5 解三角形问题可能出现一解 两解或无解的情况 这时应结合 三角形中大边对大角 定理及几何作图来帮助理解 例 12分 如图 a b c d都在同一个与水平面垂直的平面内 b d为两岛上的两座灯塔的塔顶 测量船于水面a处测得b点和d点的仰角分别为75 30 于水面c处测得b点和d点的仰角均为60 ac 0 1km 试探究图中b d间距离与另外哪两点间距离相等 然后求b d间的距离 计算结果精确到0 01km 1 414 2 449 所以cd ac 0 1 又 bcd 180 60 60 60 故cb是 cad底边ad的中垂线 所以bd ba 4分 在 abc中 6分 所以ab 所以bd 0 33 km 10分 故b d的距离约为0 33km 12分 解析 在 acd中 dac 30 adc 60 dac 30 答题流程 解斜三角形应用题的一般步骤为 第一步 分析 理解题意 分清已知与未知 画出示意图 第二步 建模 根据已知条件与求解目标 把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中 建立一个解斜三角形的数学模型 第三步 求解 利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形 求得数学模型的解 第四步 检验 检验上述所求的解是否符合实际意义 从而得出实际问题的解 点评 1 由实际出发 构建数学模型是解应用题的基本思路 如果涉及三角形问题 我们可以把它抽象为解三角形问题 进行解答 之后再还原成实际问题 即利用上述模板答题 2 本题的易错点是不能将已知和待求量转化到同一个三角 形中 无法运用正 余弦定理求解 一 选择题 本大题共5小题 每小题6分 1 基础再现 在 abc中 a b c分别是角a b c的对边 若a b 1 abc的面积为 则a的值为 a 1 b 2 c d 解析 s abc bcsina 1 c sin c 2 又a2 b2 c2 2bccosa 1 4 2 1 2cos 3 a 答案 d 2 视角拓展 在不等边三角形abc中 角a b c所对的边分别为a b c a为最大边 如果sin2 b c sin2b sin2c 则角a的取值范围为 a 0 b c d 为最大边 a 因此得角a的取值范围是 答案 d 解析 由题意得 sin2a0 则cosa 0 0 a 0 a 又a 3 高度提升 若 abc的三边为a b c 面积为 则内角c等于 a 30 b 45 c 60 d 90 解析 s abc absinc 即a2 b2 c2 2absinc 因此2abcosc 2absinc 故tanc 所以内角c等于30 答案 a 4 高度提升 甲船在岛a的正南b处 以4km h的速度向正北航行 ab 10km 同时乙船自岛a出发以6km h的速度向北偏东60 的方向驶去 当甲 乙两船相距最近时 它们所航行的时间为 a min b h c 21 5min d 2 15h 解析 如右图 设t小时甲行驶到d处 ad 10 4t 乙行驶到c处 ac 6t bac 120 dc2 ad2 ac2 2ad ac cos120 10 4t 2 6t 2 2 10 4t 6t cos120 28t2 20t 100 当t h时dc2最小 dc最小 此时t 60 min 答案 a 5 能力综合 abc中 a b c分别为 a b c的对边 如果a b c成等差数列 b 30 abc的面积为 那么b等于 a b 1 c d 2 又 abc的面积为 且 b 30 故由s abc acsinb acsin30 ac 得ac 6 a2 c2 4b2 12 由余弦定理 得cosb 解得b2 4 2 又b为边长 b 1 答案 b 解析 a b c成等差数列 2b a c 平方得a2 c2 4b2 2ac 6 基础再现 在锐角 abc中 若a 3bsina 则cosb 解析 由a 3bsina得 3sina 即 3sina sinb 又b为锐角 cosb 二 填空题 本大题共4小题 每小题7分 答案 7 视角拓展 abc中 ab 2 bc 2 sina cosa 1 则 abc的面积等于 解析 由sina cosa 1得2sin a 1 sin a a a 由 得sinc c b s ab bc sinb 2 2 答案 8 高度提升 有一道解三角形的题目 因纸张破损有一个条件模糊不清 具体如下 在 abc中 角a b c所对的边分别为a b c 已知a b 求角a 经推断 破损处的条件为三角形一边的长度 且答案提示a 试在横线上将条件补充完整 解析 1 若破损处的条件为b边的长度 则由 得b 2 若破损处的条件为c边的长度 由a b c 知c 再用正弦定理 得c 答案 b 或c 9 能力综合 在 abc中 a b c分别为 a b c的对边长 已知a b c成等比数列 且a2 c2 ac bc 则 a abc为 解析 a b c成等比数列 b2 ac 又a2 c2 ac bc b2 c2 a2 bc 在 abc中 由余弦定理得cosa a 60 由b2 ac 即a 代入a2 c2 ac bc 整理得 b c b3 c3 cb2 0 b c 则 abc为正三角形 答案 60 正三角形 10 基础再现 在 abc中 角a b c所对的边为a b c 已知a 2bsina c b 1 求b的值 2 若 abc的面积为2 求a b的值 三 解答题 本大题共3小题 每小题14分 2 由b2