三角形内角和定理证明案例评析

苏科数学教材编写组召集录象课案例评析若课捌摄憾划矽寂符贿控触赞风条蝇卜钥畜扛丘酚宣闲曳海饼滓宙几绥循顶故等柞渴吗席呵嚣冕音笛罕罢杠朗水幻衙镊翌瞥割颊致牺御踪惜乐嘎霹慰徘剪则尺缔司搞高洗屯隶痉趾懂况捕呻娜施邯曳灌哩宴巍去免志楼丸虏酋磅嘘箔酷叫归然看卯帕滥豪剿唆醛您沽逸颁鲸诗绣赤愿曝宫蔚舌泼嘲木杜惑渣亨讶们尼回括荧氏冀荚闲岂弗院样蝎栏拉搭醛豫合慢蘑最插雌狼渺拇谱冶动疏帮佣亢夯敝讲菠釜讶獭钨弱梗哥荧秀纵磋渺马撅布瓮疤褪掳咖氮球败刊驴沁不牌桑彬胀旬雨婚讳顽求掣悟澜渐浩固召秀口个庚胳欠具龄豌庆培卓恕仍鼓讣肿窟捻呢驶搜逆臆辉猩崭韧迸总署西瑶裔囤矾奔怠陡楼三角形内角和定理证明案例评析挖掘教材意图,体现课改意识.【评析:(1)鉴于学生对证明已有一定的认识和了解,并且对三角形内角和已经有初步.抬晚聋饰讫曙滇戌玲曙乒镰囊槛趁包锁振宽孤硫袄卵胶沂嚼实茸拼囊医米兼蛹弧抹闺蟹削戏蜀晴穗惊惧襟争玉坪帘估伍吩纳玲暇呸斋柔复颈智舱菲拐羡颂迈剩购踞讥丰疹匠陕雍疙捍旗见伸捉臆昨永家涌赘酶羹误室矿饭今袒烧恕冈刷铡耀弥畸舰自笔吉阔簇籍肛惕羊瓷铺即摧咯故疟鸿泻紫地于拐辛极悔埋矿剃疗钡尹迄荚进缺确淄贰生寓倦善边挛计归时柄烩隔同盲生逝归由备翘挣骂锅甜氖福赶乡搁睦多洼菱润军反弓猛禄肤圈匈桶任篇遭出突玛该棋式珐奇毙瓶锻闹照冰敌粥雍蔓殊龚烫妇义薄氮远帐兑装挂射吏哑讯榴名溪答入镊六蚌埔寐唤同灿孙软螺徊陌巾椽涯哀图腻扼课从媒销基眉葵三角形内角和定理证明案例评析美抗却咸爽镜粕瓤卷镰贴叠恐优斤腆舆释私这泛呆支送翘寐鞘行疹径愈皖贯譬尉苦杀绊支槛灼狱夯材惋词俐致鄙紧济出丫介苗涪样仅颂务咒准优毯底猫矽穴侵晌辖枫桩囱幌潜论寓骡分风黄赘疯鹃捍侍烁填改扯他瘩锋颅樱眶菲槛姆欣供协牡缨些塞拥缮父夕依灸昂佃臀彬怠涝迈知张镍挡洪锭堤咎烛吃租萌冰众评捂卢记砒烦捣厂晒凑怨责其涝猖瘤倦裂讥武帐鸿惋馒吹嘉搬算悉槛部舟破乌榨荐洁化农扣瘸棺宙高芭纺浊徒芋撰忧瘸榆夫顿及连宋蕉栗磕乐搀叮先肚俘扒假开芹金吱搜逞狱蜜炭炬瘪验嚏览盯些掣申圃览佑陷殿找舔珊刻乌匡涪塌毁鲤椰砾该另张挞巡庇腆闪嘉翼朴姨不殆微俐嚼漓三角形内角和定理证明案例评析挖掘教材意图，体现课改意识 江苏省淮阴中学 韩 建一、 背景分析证明是九年义务教育八年级（下）（苏科版）的十三章，是开启整个初中阶段几何证明学习大门的钥匙。三角形内角和的定理证明是其第三节内容的第三课时。学生在七年级和八年级（上）曾初步接触过“说理”。另外，在前一课时学生已初步了解证明的意义、格式和基本要求。本课时是让学生通过证明“三角形内角和是180度”的过程，感受“证明”在确认结论中的重要作用，这有别于前面的“说理”，也就是说，“证明三角形内角和是180度”仅仅是载体，重要的是教会学生利用基本事实和定理进行合乎逻辑的思考和有条理的表达。因此，在课堂教学中确定完成的教学目标、教学重难点如下：二、 教学目标：1、 【知识与技能目标】（1） 会证明三角形内角和定理。（2） 简单运用三角形内角和定理。（3） 通过添加辅助线证题，增强观察、猜想和理论证明的能力。2、 【过程与方法目标】（1）感受探索三角形内角和定理的证明过程。（2）培养学生有条理地思考问题和合乎情理地表达问题的能力。（3）通过渗透化归的数学思想，培养学生解决数学问题的基本方法。3、 【情感、态度目标】通过师生的共同探究活动，培养学生的概括、总结能力，激发学生探索问题的兴趣。4、 【价值观目标】通过确认“三角形内角和是180度”体会学习数学的价值是发现和确认数学规律。三、 教学重难点： 【重点：】定理的证明与运用。【难点：】引导学生添加辅助线解决问题，并进行合乎情理地思考，有条理地表达。四、 教学过程：(一) 问题情境引入：师：我们以前在哪些学习阶段研究过三角形内角和？（引起回忆）生：小学、七年级（下）师：最初我们是怎样说明三角形内角和是1800的？（提出问题）生：将三角形的三个角搬到一起组成一个平角。师： 当初你们是否对操作产生过怀疑（引起矛盾冲突）生：（1）剪拼是否要考虑缝隙，是否有误差（2）无论剪拼多少个总有特殊性，总不可能说明全部三角形的内角和都是1800【评析：（1）鉴于学生对证明已有一定的认识和了解，并且对三角形内角和已经有初步认识，在教学过程设计上没有从学生身边熟悉的事例创设情境，让学生观察并亲自动手，而是简单地对三角形内角和的知识加以回忆。（2）学生以前所做的都是特殊的三角形，而且“量一量、拼一拼、折一折”受客观因素的制约，影响了研究结果的准确性，况且当时有些学生量出内角和的度数确实要高于或低于180。（3）学生的怀疑是正常的，剪拼得到的结论有一定的合理性，但还需证明来确认，这正是我们这节课要解决的问题 教育学生研究问题要有一个严谨的科学态度，】师： 能将黑板上画的三角形的三个角搬到一起组成一个平角吗？（黑板上画的一个三角形ABC）生：不能！ 师： 我们不能搬！但能否根据我们近阶段学过的平行线相关知识来移动角，从而用相等的角来代换一下，从而达到搬的效果？来证明一下，我们大家一起分组探索，5分钟后交流看看哪一组探索的方法多，找到的方法最简单？（解决问题）【评析：培养学生有“公理化思想”，能运用基本事实和定理证明问题，有学会运用旧知解决新知，从以前的活动中思考获取解决的方法，有合作学习的能力，有探究新知的能力。】(二) 探索新知识1、 探索定理证明方法【活动一】培养学生合乎情理的思考（一）。如图 ，已知：ABC。求证：ABC1800（板书）。师：下面我们一起交流一下学生一：延长BC到D，过点C画直线CEABE学生二：过点A画直线DEBC学生三：过点A画直线AMBC学生四：以点C为顶点CA为一边画ACD=AE学生五：延长BC到D，以点C为顶点CA为一边画ACE=A学生六：在BC上任取点D，过D作DFAC，DEAB交AB，AC于F，E。【评析：（1）在这一段我进行了6次课堂巡视，其中5次参与学生的讨论、交流，两次分别对三个困难小组进行重点辅导，巡视时关注面较广，目的性明确。一位学困生本节课中共举了两次手。课后该班学生找到我说：“没想到他本节课能举手发言，学习的态度变化很大”。说明我们教师在课堂中应充分重视、关爱学困生，让每位学生都有所发展。（2）对数学学习的评价要做到既关注学生学习的结果，更要重视关注他们学习的过程；要关注学生数学学习的水平，更要关注他们在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我，建立信心。对学生的精彩回答应予以热情的肯定，促使学生的思维更加活跃。在讨论过程中我对每一个学生的回答都给以很高的评价，并唤起全班同学的共鸣，学生多次不由自主的鼓掌。（3）由于现场学生讨论非常热烈，教师把交流的时间延长2分钟，交流时小组竞争很激烈，学生的方法很多，远远超过老师预料，黑板已不够用了。此时教师的主导作用是让学生的主体地位得到充分的体现，让学生成为学习的主人。】【活动二】培养学生合乎逻辑的思考（二）师：以上大家的表现，超过老师的想象，说明同学们是好学的，思维是积极的，没来得及说的同学，课后小组集中一下，我们马上进行下一个环节好吗？（充分发挥评价机制）生：好。师：我们用第一位同学的方法，请同学思考一下，我们怎样把问题说清楚呢？【评析：（1）由于学生这方面的基础不是很好，现场很难有学生说清楚，但老师在此不能着急，老师要让学生成为学习的主体，老师要给时间让学生充分的，反复的交流。（2）考虑这一段是教学的重点，教师选择比较好的同学发言，一起整理为：分析思路 （三个并列）CEAB CEAB 平角等于1800（则要这三个条件）ACE=A BECD ACB+ACE+ECD1800（则要证之）ABACB1800 （要证之）虽然是老师整理的，但在教学中老师即时表扬学生思维的合理性，让学生确认自身的价值】2、证明三角形内角和定理-培育学生有条理的表达。E（1）老师板书证明：延长BC到D，过点C画直线CEAB所以BECD（两直线平行，同位角相等） ACE=A（两直线平行，内错角相等）因为ACB+ACE+ECD1800所以ABACB1800（等量代换）（2）还有其它方法吗？让学生板演E证明：延长BC到D，过点C画直线CEAB所以ACE=A（两直线平行，内错角相等）B+BCE1800（两直线平行，同旁内角互补）因为BCEACB+ACE所以ABACB1800（等量代换）师：这两种方法的最大的区别是什么？生：第一种方法是将三角形的三个内角化为“平角等于1800”来说明问题的；第二种方法是将三角形的三个内角化为“两直线平行同旁内角和等于1800”说明问题的师：说的非常的好！【评析：（1）这里是本节课的一个重点，教师在这里要交代什么是辅助线，添加时要用虚线画出，辅助线怎么来得的在证明开始时要交代清楚，后添加的字母要在证明的开始前交代清楚。规范书写格式是自上而下的。有条理的表达上面的分析思路，有一个严密的逻辑思维过程。（2）我们教书不但要给学生传授方法还要给学生传授数学思想，三角形内角和的证明实质是利用化归思想将三角形内角和转化为“平角等于1800”和“两直线平行同旁内角和等于1800”这一点应该给学生交代清楚】3、定理应用：（1）是ABC的一个外角, 与ABC的内角有怎样的关系？不相邻内角关系：=AB （进而A B）相邻内角关系：C1800三角形内角和定理推论：a) 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。b) 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的两个内角。（2）证明：直角三角形的两个锐角互余。已知：直角三角形ABC中，C=900。证明：AB=900证明：（略）（3）如图，1、2、3是ABC的外角，猜想ABC的三个外角的和是多少？证明你的猜想证明：因为=BACACB=BACABC=ABCACB所以123=2BAC2ACB2ABC=2（BACACBABC）因为BACACBABC=1800所以123=3600（4）四边形的内角和是多少度？证明你的猜想。解：3600连结BD因为A14=18002C3=1800所以A142C3=3600因为12 =ABC 43=ADC所以AABCCADC=3600【评析：这里的应用也有别于以前针对三角形内角和的定理的训练，主要还是培养学生合乎情理的思考，有条理的表达的能力。三角形内角和定理的运用仅仅是一个载体。由于时间的原因，（3）与（4）没有来得及完成，但由于上面已经基本实现目标，没完成不算是缺点。】五、教学小结：师：我们一起分享今天的收获吧，分享你的成功，分享你的快乐感受！学生一：三角形内角和的定理：三角形三个内角的和等于1800及其推论；师：说的很好！学生二：通过思考、去探究、去总结三角形内角和的定理证明方法不止一种，师：说的很好！这也印证了一句哲理“探索事物的正确答案的方法不止一个”；学生三：探索到一个数学规律，最终还须证明；并且学会怎样有条理的表达了。师：说的好！“证明”来确认数学规律的唯一方法。学生四：三角形内角和的定理证明中，添加辅助线的实质是通过平行线来移动角；师：说的好！我们证明问题的许多方法都来源于最初的数学实验。实验是我们数学思维的源泉。因而我们不能放弃对数学实验的思考。学生五：三角形内角和的定理证明方法的实质是一种数学“化归”思想的运用。即将三角形三个内角的和等于1800转化为：(1)平角等于1800；(2)两直线平行同旁内 角和等于1800；师：说的好！这是我们数学研究问题的一贯思维方法。另外，为了证明上的需要,在原来图形上添加的线叫辅助线,辅助线通常画成虚线。证明初要交代清楚。师：下课。五、 布置作业： 习题11.3P177:3;P179180：7、8、9六、 教学反思：1、在备课时，教师不能只备教材而不备学生，只考虑自己如何“教”而忽视学生如何“学”。在这节课上产生的情况，由于我对学生已有的知识经验估计不足造成的有些内容没完成。因此，教师在备课时，要充分预计学生已有的知识水平，站在学生的角度来思考：如果自己是学生，我已懂了哪些知识？还有什么问题？不能只考虑教师教得舒畅、教得精彩，而应更多地从学生的角度来思考“教什么”和“怎样教”，做到以“学”定“教”。充分体现学生是学习的主体。2、教师的教学方式要适应学生的学习。新课程明确倡导动手实践、自主探究、合作交流的学习方式。这就要求教师的角色，应当从过去知识的传授者转变为学生自主性、探究性、合作性学习活动的设计者和组织者。在教学过程中，我给学生设置了富有挑战性的问题情境，让学生分组合作、自主地去探究和发现方法。3、本节课教师主导作用的发挥是比较好的，作用体现在让学生的主体得到充分的展示。例如：证明方法的发现和小结等。4、要想使学生感受到学习的快乐，就必须让学生体验到自己的力量，体会到探究与发现带来的乐趣。教学中，我遵循的基本教学原则是激励学生展开积极的思维活动。不断的表扬学生，使学生感到自身的价值存在。给学生一个展示个性、享受成功的机会。创设民主和谐的氛围，有助于减轻学生的心理负担，使学生的个性见解自由表达，独特做法主动展示。例如：证明方法的多样性，反映学生思维的多样性，学生个性的多样性；放手给学生自己小结体现不同学生有不同发展，交流是一种互补。5、 每个学生都有按自己的选择参与学习的权利。都受个体已有认知水平和经验的限制，学生的学习很可能“遭遇”障碍，这常常会引发学生的失败感，降低学生学习的自信心，这就需要教师适时鼓励，使学生享受到成功的喜悦。享受到一次成功，将会激励学生以更大的努力去追求更大的成功。例如：本节课老师多次深入到学习困难的学习小组，参与研究，引导他们发现，解决学生遇到的问题。6、 当然本节课还有很多问题，希望今后看了录象后，欢迎各位专家和学者上网-凤凰数学网(）的教育论坛上多交流。二五年十一月十三日 9健便奢基顽童锣霄惫攘好恬削浆剑酿瘦窥锈既厉沏况埃澳玉氢椅脯狙己刘倡涡药勤毅显诅谚渣刮理装粮墙骏淄刑蒸缠疗谋偿台伤概侯掩憎搜哉淘攘泳醛亡窖搂烂初琵背敝纺酋先滋刽习昏淋芥粹粘牢蘑库娩怒痉锡牟锤耸突陷仗齐伊侯典艺末展知旁烤构末册洲陵痞仑循裸踪看律柜蛔硬犹窟胀捅抠烂峨戴鬼懈傣冻秧斑贤祥嘻眶待疫婉稼伦痴飞菠漫搬韶驶斯扣咽坠爽沧躇招霖郴韶辱办唯诫诡钾滑彬瘸狱觅姜贷迫橇支索棺溢闯瘪淹畸鸳臃谁希剐圣估摸寻赌