高考数学 第三章 第三节 三角函数的图像与性质课件 文 北师大版.ppt

第三节三角函数的图像与性质 1 周期函数和最小正周期 1 周期函数 一般地 对于函数f x 如果存在 对定义域内的任意一个x值 都有 则称f x 为周期函数 t称为这个函数的周期 2 最小正周期 周期函数 中最小的一个 称为最小正周期 非零实数t f x t f x 正周期 2 正弦函数 余弦函数 正切函数的图像和性质 r r x x r且x k k z 1 1 1 1 r 2k k z 2k k z k 0 k z k 0 k z 0 k z x k k z x k k z 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 常数函数f x a是周期函数 它没有最小正周期 2 y sinx在x 0 上是增加的 3 y cosx在第一 二象限内是减少的 4 y tanx在整个定义域上是增加的 5 函数y sinxcosx是r上的奇函数 6 y tan2x的最小正周期为 解析 1 正确 由周期函数的定义 对任意非零实数b 都有f x b a 故任意非零实数都是f x 的周期 故没有最小正周期 2 正确 由y sinx在x 上是增加的 知y sinx在 0 上是增加的 3 错误 y cosx在 2k 2k k z 上是减少的 但不能说在第一 二象限内是减少的 4 错误 y tanx在 k k k z 上是增加的 但在整个定义域上并不单调 5 正确 f x sin x cos x sinxcosx f x 由奇函数定义可知y f x sinxcosx是r上的奇函数 6 错误 由知y tan2x的最小正周期为答案 1 2 3 4 5 6 1 下列函数中 在上是增加的是 a y sinx b y cosx c y sin2x d y cos2x 解析 选d 由x 得2x 2 又由y cosx在 2k 2k k z 上是增加的 故y cos2x在 上是增加的 2 函数的图像的一条对称轴方程是 解析 选b 方法一 由2x k k z得 时 故选b 方法二 排除法 在函数的对称轴上 函数取最大或最小值 而当时 此时函数取得最大值 故是函数的一条对称轴 3 函数f x tan x 0 的图像与直线y a相交的相邻两交点间距离是 则的值是 解析 选b 由相邻两交点间距离是 知f x 的周期是 由得 2 f x tan2x 4 函数y sin x 的递减区间是 解析 由得故函数的递减区间是答案 5 函数的定义域是 解析 由题意知即即答案 考向1三角函数的定义域和值域 典例1 1 已知函数y sinx的定义域为 a b 值域为则b a的值不可能是 2 当时 函数y 3 sinx 2cos2x的最小值是 最大值是 3 2013 宣城模拟 函数的定义域为 思路点拨 1 作出函数图像数形结合求解 2 利用同角三角函数关系式转化为关于sinx的二次函数求解 3 利用三角函数线或正弦函数图像解不等式即可 规范解答 1 选a 画出函数y sinx的草图 由图像知 当定义域为时 当定义域为或时 所以b a的取值范围为 2 因为所以又y 3 sinx 2cos2x 2sin2x sinx 1故当时 当sinx 1或时 ymax 2 答案 2 3 由1 2sinx 0 得结合图像得 函数的定义域为答案 互动探究 本例题 2 中若将cosx用sinx代替 sinx用cosx代替 又将如何求解 解析 由所以y 3 cosx 2sin2x 2cos2x cosx 1 当时 当cosx 1时 ymax 4 拓展提升 三角函数值域的不同求法 1 利用sinx和cosx的值域直接求 2 把所给的三角函数式变换成y asin x 的形式求值域 3 把sinx或cosx看作一个整体 转换成二次函数求值域 4 利用sinx cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域 变式备选 1 函数的定义域为 2 求函数y sinx cosx sinxcosx x 0 的最大值和最小值 解析 1 由2sinx 1 0得又sinx 1 答案 2 设得当t 1时 ymax 1 当t 1时 ymin 1 考向2三角函数的单调性 典例2 1 2013 上饶模拟 下列函数中 周期为 且在上是减少的是 a y sin 2x b y cos 2x c y sin x d y cos x 2 函数的递增区间为 递减区间为 3 函数y tanx 的递增区间为 递减区间为 思路点拨 1 根据周期和的范围逐一判断 2 利用诱导公式将x的系数化成正值 再利用正弦函数的单调区间求解 3 利用数形结合法求解 规范解答 1 选a c d中函数周期为2 所以错误 当时 是减少的 函数是减少的 而函数是增加的 所以选a 2 原函数可化为故所求函数的递增区间是的减区间 由得所求函数的递减区间是的递增区间 由得故所求函数的递增区间为 递减区间为答案 3 作出函数y tanx 的图像如图 可知所求函数的递增区间是递减区间是答案 拓展提升 三角函数单调区间的求法 1 代换法就是将比较复杂的三角函数化为y asin x 或y acos x 的形式 然后将 x 看作一个角 利用基本三角函数的单调性来求所求的三角函数的单调区间 2 图像法从图像上看 从左到右 图像呈上升趋势的区间为单调递增区间 图像呈下降趋势的区间为单调递减区间 画出三角函数的图像 结合图像易求它的单调区间 提醒 求解形如y asin x 的函数的单调区间时 若 0时 则应先化为 0的形式 另外还应注意考虑函数自身的定义域 变式训练 已知函数y sin x在区间上是减少的 则 的取值范围是 a 0 b 3 0 c 0 d 0 3 解析 选a 方法一 由题意可知 0 由得 又 函数在区间上是减少的 解得 方法二 特值验证法 当时 函数是增加的 当 3时 x 函数不单调 当 3时 x 函数不单调 故排除b c d 选a 考向3三角函数的奇偶性 周期性及对称性 典例3 1 2013 开封模拟 若函数则f x 是 a 最小正周期为的奇函数 b 最小正周期为 的奇函数 c 最小正周期为2 的偶函数 d 最小正周期为 的偶函数 2 已知函数f x 2sin x 对于任意x都有则f 等于 a 2或0 b 2或2 c 0 d 2或0 3 2013 宜春模拟 如果函数y 3cos 2x 的图像关于点中心对称 那么 的最小值为 思路点拨 1 先求周期 化简所给函数解析式 再判断奇偶性 2 由题意得函数图像的对称轴方程 根据函数在对称轴处取得最大 小 值求解 3 由对称中心得到关于 的表达式 然后求 的最小值 规范解答 1 选b 故f x 是最小正周期为 的奇函数 2 选b 由得是f x 的一条对称轴 故是函数的最大值或最小值 即为2或 2 3 选a 由函数y 3cos 2x 的图像关于点对称知 所以故 故当k 2时 取得最小值且 互动探究 本例题 2 中若再增加条件则 的值如何求解 解析 由得 4 故又即又k z k 0 拓展提升 1 三角函数奇偶性的判断技巧首先要掌握基本三角函数的奇偶性 再根据题目去判断所求三角函数的奇偶性 另外也可以根据图像做出判断 2 求三角函数周期的方法 1 利用周期函数的定义 2 利用公式 即函数y asin x 和y acos x 的最小正周期为函数y tan x 的最小正周期为 3 利用图像判断 3 三角函数的对称性正 余弦函数的图像既是中心对称图形 又是轴对称图形 正切函数的图像只是中心对称图形 要熟记它们的对称轴和对称中心 解题时要注意数形结合思想的应用 提醒 判断函数的奇偶性时 必须先分析函数定义域是否是关于原点对称的区间 变式备选 设函数给出以下四个论断 它的最小正周期为 它的图像关于直线成轴对称图形 它的图像关于点成中心对称图形 在区间上是增加的 以其中两个论断作为条件 另两个论断作为结论 写出你认为正确的一个命题 用序号表示即可 解析 若 成立 则令且故k 0 此时当时 f x 的图像关于成中心对称图形 又f x 在上是增加的 f x 在上也是增加的 因此 用类似的分析可得 因此填 或 答案 也可填 易错误区 三角函数中整体思想不清致误 典例 2012 山东高考 函数的最大值与最小值之和为 a b 0 c 1 d 误区警示 本题易出现的错误是不能把看作一个整体来处理 另外不知运用正弦函数的图像确定最值也是常出现的错误 规范解答 选a 因为0 x 9 所以所以所以所以所以函数的最大值与最小值之和为 思考点评 求值域或最值的关键点已知自变量的范围求三角函数的值域 解题的关键是整体代换思想的应用 因此对整体角的范围求解成为重中之重 解题中要正确利用不等式的性质 求出整体角的范围后 再利用三角函数图像即可求值域或最值 1 2013 铜川模拟 函数的定义域为 d r 解析 选c 若函数有意义 则即解得故选c 2 2013 汉中模拟 同时具有性质 最小正周期是 图像关于直线对称 在区间上增加的一个函数是 a y sin b y cos c y cos d y sin 解析 选d 根据最小正周期是 排除a 根据图像关于直线x 对称 排除c 根据在区间上增加 排除b 故选d 3 2013 上饶模拟 设函数f x x3cosx sinx 1 若f a 11 则f a 解析 由条件知f a a3cosa sina 1 11 所以a3cosa sina 10 故f a a 3cos a sin a 1 a3cosa sina 1 10 1 9 答案 9 4 2013 芜湖模拟 关于函数有下列命题 由f x1 f x2 0可得x1 x2必是 的整数倍 y f x 的表达式可改为 y f x 的图像关于点对称 y f x 的图像关于直线对称 其中正确的命题的序号是 解析 对于 由题意知 x1 x2应为半个周期的整数倍或一个周期的整数倍 即为的整数倍或 的整数倍 故不正确 对于 故 正确 对于 当时 故正确 对于 当时 故不