高中数学 第二节 证明不等式的基本方法、数学归纳法证明不等式课件 新人教A版选修45.ppt

第二节证明不等式的基本方法 数学归纳法证明不等式 1 比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种 a b 0 a b 0 a b 0 具有多项式 2 综合法和分析法 1 综合法一般地 从 出发 利用 公理 性质等 经过一系列的 而得出命题成立 这种证明方法叫做综合法 综合法又叫 或由因导果法 已知条件 定义 定理 推理 论证 顺推证法 2 分析法证明命题时 从 出发 逐步寻求使它成立的 直至所需条件为 或 定义 公理或已证明的定理 性质等 从而得出要证的命题成立 这种证明方法叫做分析法 这是一种执果索因的思考和证明方法 要证的结论 已知条件 一个明显成立的事实 充分 条件 3 反证法 1 假设要证的命题 以此为出发点 结合已知条件 应用公理 定义 定理 性质等 进行正确的推理 得到和 或已证明的定理 性质 明显成立的事实等 矛盾的结论 以说明假设不正确 从而证明 我们把它称为反证法 2 证明步骤 反设 归谬 肯定原结论 不成立 命题的条件 原命题成立 4 放缩法 1 证明不等式时 通过把不等式中的某些部分的值 或 简化不等式 从而达到证明的目的 我们把这种方法称为放缩法 2 理论依据a b b c a c 放大 缩小 5 数学归纳法 1 数学归纳法的概念一般地 当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时 可以用以下两个步骤 证明当 时命题成立 假设当 时命题成立 证明 时命题也成立 在完成了这两个步骤后 就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立 这种证明方法称为数学归纳法 n n0 n k k n 且k n0 n k 1 2 数学归纳法的基本过程 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 若则x 2y x y 2 已知a b 1 则 3 设 b a 0 则s t 4 证明可用比较法证明 5 数学归纳法的第一步n的初始值一定为1 解析 1 错误 若x yb 1 a 1 b 1 0 3 错误 b a 0 a b0 4 错误 该不等式无论用作差法还是作商法都不好证明 最好用分析法 5 错误 数学归纳法中的第一步n的初始值不一定为1 如证明n边形的内角和为 n 2 180 第1个值n0 3 答案 1 2 3 4 5 考向1比较法证明不等式 典例1 1 设c b a 证明 a2b b2c c2a ab2 bc2 ca2 2 当a b 0 时 aabb 思路点拨 1 不等式两端均为多项式且次数相同时可考虑用作差法证明 2 不等式两端为幂指数型的不等式可考虑用作商比较法证明 规范解答 1 ab2 bc2 ca2 a2b b2c c2a a b2 c2 b c2 a2 c a2 b2 a b2 c2 b c2 b2 b2 a2 c a2 b2 a b2 c2 b c2 b2 b b2 a2 c a2 b2 c2 b2 b a b2 a2 b c b a c b c b b a b a c b c a c b a b a 0 c b 0 c a 0 ab2 bc2 ca2 a2b b2c c2a 即a2b b2c c2a ab2 bc2 ca2 2 当a b时 当a b 0时 当b a 0时 综上可知 当a b 0 时 aabb 成立 互动探究 在本例 2 的条件下 证明 证明 当a b时 当a b 0时 当b a 0时 拓展提升 比较法证明不等式的方法与步骤1 作差比较法 1 作差比较法的一般步骤是 作差 变形 判断符号 得出结论 其中 变形整理是关键 变形的目的是为了判断差的符号 常用的变形方法有 因式分解 配方 通分 拆项 添项等 2 若所证不等式的两边是整式或分式多项式时 常用作差比较法 2 作商比较法 1 作商比较法的一般步骤是 作商 变形 判断与1的大小关系 得出结论 2 利用作商比较法时 要注意分母的符号 提醒 当不等式的两边为对数式时 可用作商比较法证明 另外 要比较的两个解析式均为正值 且不宜用作差比较法时 也常用作商比较法 变式备选 已知p q均为正数 且p q 1 试证明 px qy 2 px2 qy2 证明 px qy 2 px2 qy2 p p 1 x2 q q 1 y2 2pqxy p q 1 p 1 q q 1 p 故 px qy 2 px2 qy2 pq x2 y2 2xy pq x y 2 由于p q为正数 故 pq x y 2 0 故 px qy 2 px2 qy2 当且仅当x y时 不等式中等号成立 考向2综合法或分析法证明不等式 典例2 1 已知a b r 且a b 1 求证 2 已知x 0 y 0 求证 思路点拨 1 分析不等式左边的特点结合已知条件 利用基本不等式及重要不等式的变形证明该不等式 2 待证不等式中含有分数指数幂 不易直接证明 可考虑用分析法证明 两边六次方 消去分数指数幂 化为整式不等式后 再进行变形 整理证明即可 规范解答 1 方法一 左边 a2 b2 4 4 a2 b2 4 a2 b2 1 4 a2 b2 2 4 当且仅当a b时 等号成立 即原不等式成立 方法二 a b r 且a b 1 ab 当且仅当a b时 等号成立 a 2 b 2 4 a2 b2 4 a b 2 2ab 2 要证明只需证 x2 y2 3 x3 y3 2 即证x6 3x4y2 3x2y4 y6 x6 2x3y3 y6 即证3x4y2 3x2y4 2x3y3 x 0 y 0 x2y2 0 即证3x2 3y2 2xy 3x2 3y2 x2 y2 2xy 3x2 3y2 2xy成立 拓展提升 1 综合法证明不等式的方法 1 综合法证明不等式 要着力分析已知与求证之间 不等式的左右两端之间的差异与联系 合理进行转换 恰当选择已知不等式 这是证明的关键 2 在用综合法证明不等式时 不等式的性质和基本不等式是最常用的 在运用这些性质时 要注意性质成立的前提条件 2 综合法与分析法的逻辑关系用综合法证明不等式是 由因导果 分析法证明不等式是 执果索因 它们是两种思路截然相反的证明方法 综合法往往是分析法的逆过程 表述简单 条理 清楚 所以在实际应用时 往往用分析法找思路 用综合法写步骤 由此可见 分析法与综合法相互转化 互相渗透 互为前提 充分利用这一辩证关系 可以增加解题思路 开阔视野 3 分析法的应用当所证明的不等式不能使用比较法 且和重要不等式 基本不等式没有直接联系 较难发现条件和结论之间的关系时 可用分析法来寻找证明途径 使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆 变式训练 1 已知a b r 且a b 1 求证 证明 方法一 a b 0 且a b 1 ab 当且仅当a b时 等号成立 方法二 1 ab 当且仅当a b时 等号成立 1 ab 2 1 ab 2 1 又 方法三 2 已知a 0 b 0 2c a b 求证 证明 要证 只需证 只需证 a c a2 ab a 0 只需证2c a b 由题设 上式显然成立 故 考向3用反证法或放缩法证明不等式 典例3 若a3 b3 2 求证 a b 2 思路点拨 直接证明a b 2比较困难 可考虑从反面入手 运用反证法 导出矛盾 从而证得结论 规范解答 方法一 假设a b 2 而a2 ab b2但取等号的条件为a b 0 显然不可能 a2 ab b2 0 则a3 b3 a b a2 ab b2 2 a2 ab b2 而a3 b3 2 故a2 ab b2 1 1 ab a2 b2 2ab 从而ab 1 a2 b2 1 ab 2 a b 2 a2 b2 2ab 2 2ab 4 a b 2 这与假设矛盾 故a b 2 方法二 假设a b 2 则a 2 b 故2 a3 b3 2 b 3 b3 即2 8 12b 6b2 即 b 1 2 0 这不可能 从而a b 2 方法三 假设a b 2 则 a b 3 a3 b3 3ab a b 8 由a3 b3 2 得3ab a b 6 故ab a b 2 又a3 b3 a b a2 ab b2 2 ab a b a b a2 ab b2 a2 ab b2 ab 即 a b 2 0 这不可能 故a b 2 拓展提升 1 适宜用反证法证明的数学命题 1 结论本身是以否定形式出现的一类命题 2 关于唯一性 存在性的命题 3 结论以 至多 至少 等形式出现的命题 4 结论的反面比原结论更具体 更容易研究的命题 2 使用反证法证明问题时 准确地作出反设 即否定结论 是正确运用反证法的前提 常见的 结论词 与 反设词 列表如下 3 放缩法证明不等式的技巧放缩法证明不等式 就是利用不等式的传递性证明不等关系 即要证a b 只需先证明a p 且p b 其中p的确定是最重要 也是最困难的 要凭借对题意的深刻分析 对式子巧妙变形的能力以及一定的解题经验 变式训练 若n是大于1的自然数 求证 证明 考向4数学归纳法的应用 典例4 已知f n 当n 1 n n时 求证 f 2n 思路点拨 解答本题可先验证n 2时不等式成立 再假设n k时不等式成立 推出n k 1时不等式成立 规范解答 1 当n 2时 f 22 成立 2 假设当n k k n且k 2 时不等式成立 即f 2k 成立 则当n k 1时 f 2k 1 即当n k 1时不等式成立 由 1 2 知 对于任意的n 1 n n 不等式成立 拓展提升 数学归纳法的应用数学归纳法是用来证明与正整数n有关的数学命题的一种常用方法 应用时应注意以下三点 1 验证是基础数学归纳法的原理表明 第一个步骤是要找一个数n0 这个n0就是要证明的命题对象的最小正整数 这个正整数并不一定都是 1 因此 找准起点 奠基要稳 是正确运用数学归纳法第一个要注意的问题 2 递推乃关键数学归纳法的实质在于递推 所以从 k 到 k 1 的过程 必须把归纳假设 n k 作为条件来导出 n k 1 时的命题 在推导过程中 要把归纳假设用上一次或几次 3 寻找递推关系 在第一步验证时 不妨多