2018学年湖南省长沙一中高三（下）第七次月考数学试卷（理科）（含解析）

2017-2018学年湖南省长沙一中高三（下）第七次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合，则ABC，D2（5分）已知复数，则复数的共轭复数ABCD3（5分）已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点个数的估计值为附：若随机变量，则，A4772B5228C1359D34134（5分）已知等差数列中，是函数的两个零点，则的前8项和等于AB8C16D5（5分）定义在上的偶函数在，上为增函数，若（1），则不等式的解集为ABC，D6（5分）已知关于的二项式展开式的二项式系数之和为32，常数项为270，则的值为A2BC3D7（5分）已知四棱锥的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是边长为2的正方形，则该四棱锥的外接球体积是ABCD8（5分）若图程序框图在输入时运行的结果为，点为抛物线上的一个动点，设点到此抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是ABC2D9（5分）已知函数，均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是A（1）B（1）C（1）D（1）10（5分）过抛物线的焦点的直线（倾斜角为锐角）交抛物线于，两点，若为线段的中点，连接并延长交抛物线于点，已知，则直线的斜率是AB1CD211（5分）已知，若关于的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数的取值范围为ABCD12（5分）已知正偶数数列按照蛇形排列，形成如图所示矩形数表，在数表中位于第行，第列的数记为，比如，若，则A41B42C45D46二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）若命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为 14（5分）已知，若，则的最小值为15（5分）已知不等式组表示的平面区域为，若直线与平面区域有公共点，则实数的取值范围是 16（5分）已知，为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的一条渐近线垂直，与双曲线的左右两支分别交于，两点，且点恰在的中垂线上，则双曲线的渐近线方程为三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）在中，内角、的对边分别为、已知，（1）求的大小；（2）若，求边、的值18（12分）2017年某市政府为了有效改善市区道路交通拥堵状况出台了一系列的改善措施，其中市区公交站点重新布局和建设作为重点项目市政府相关部门根据交通拥堵情况制订了“市区公交站点重新布局方案”，现准备对该“方案”进行调查，并根据调查结果决定是否启用该“方案”调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该“方案”进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图相关规则为：调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；采用百分制评分，内认定为满意，不低于80分认定为非常满意；市民对公交站点布局的满意率不低于即可启用该“方案”；用样本的频率代替概率（）从该市800万人的市民中随机抽取5人，求恰有2人非常满意该“方案”的概率；并根据所学统计学知识判断该市是否启用该“方案”，说明理由（）已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占，现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因，并从中抽取3人担任群众督查员，记为群众督查员中的老人的人数，求随机变量的分布列及其数学期望19（12分）如图，三棱柱中，已知四边形是菱形，与交于点，且，（1）连接，证明：直线平面（2）求平面和平面所成的角（锐角）的余弦值20（12分）已知椭圆以，为左右焦点，且与直线相切于点（1）求椭圆的方程及点的坐标；（2）若直线与椭圆交于，两点，且交于点（异于点，求证：线段长，成等比数列21（12分）已知函数，（1）已知函数有两个极值点，求的取值范围；（2）设和是函数的两个极值点（其中若，求的最大值请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所f（n）-f（m）做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为（1）设为参数，若，求直线参数方程；（2）已知直线与曲线交于，设，且，求实数的值选修4-5：不等式选讲23已知函数，且的解集为，（1）求的值；（2）若，为正数，且，求证2017-2018学年湖南省长沙一中高三（下）第七次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合，则ABC，D【考点】：交集及其运算【专题】11：计算题；37：集合思想；：定义法；：集合【分析】先分别求出集合和，由此能求出【解答】解：集合，故选：【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2（5分）已知复数，则复数的共轭复数ABCD【考点】：复数的运算【专题】38：对应思想；：定义法；：数系的扩充和复数【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：，故选：【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3（5分）已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点个数的估计值为附：若随机变量，则，A4772B5228C1359D3413【考点】：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【专题】35：转化思想；：转化法；：概率与统计【分析】由题意，即可【解答】解：由题意，则落入阴影部分点的个数的估计值为，故选：【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题4（5分）已知等差数列中，是函数的两个零点，则的前8项和等于AB8C16D【考点】：数列与函数的综合【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列【分析】由韦达定理得，从而的前8项和，由此能求出结果【解答】解：等差数列中，是函数的两个零点，的前8项和故选：【点评】本题考查等差数列的前8项和公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用5（5分）定义在上的偶函数在，上为增函数，若（1），则不等式的解集为ABC，D【考点】：抽象函数及其应用【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；51：函数的性质及应用【分析】根据题意，由函数的奇偶性与单调性可得原不等式等价于（1）即，解可得的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，定义在上的偶函数在，上为增函数，且（1），则（1）（1），解可得：或，即不等式的解集为，；故选：【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，涉及抽象函数不等式的解法，属于基础题6（5分）已知关于的二项式展开式的二项式系数之和为32，常数项为270，则的值为A2BC3D【考点】：二项式定理【专题】35：转化思想；49：综合法；：二项式定理【分析】由题意利用二项式系数的性质，求得，在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于零，求得的值，可得常数项，再根据常数项为270，求得的值【解答】解：关于的二项式展开式的二项式系数之和为，它的通项公式为，令，求得，可得常数项为，故选：【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题7（5分）已知四棱锥的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是边长为2的正方形，则该四棱锥的外接球体积是ABCD【考点】：由三视图求面积、体积【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；：空间位置关系与距离【分析】判断几何体的形状，利用几何体的外接球即为正方体的外接球，由此能求出此四面体的外接球的体积【解答】解：由于四棱锥三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是边长为2的正方形，所以此四棱锥是正方体的一部分，所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球，由题意可知，正方体的棱长为2，所以外接球的半径为，所以此四面体的外接球的体积故选：【点评】本题的考点是由三视图求几何体的体积，需要由三视图判断空间几何体的结构特征，并根据三视图求出每个几何体中几何元素的长度，代入对应的体积公式分别求解，考查了空间想象能力8（5分）若图程序框图在输入时运行的结果为，点为抛物线上的一个动点，设点到此抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是ABC2D【考点】：程序框图【专题】38：对应思想；49：综合法；：圆锥曲线的定义、性质与方程；：算法和程序框图【分析】根据程序运行过程，求出输入时输出的值，写出抛物线的方程；由点到此抛物线的准线的距离和到直线的距离的和最小，知此时是过焦点作直线的垂线，从而求出的最小值【解答】解：根据程序运行过程知，输入时，输出的，则；抛物线方程为；点到此抛物线的准线距离为，到直线的距离为，过焦点作直线的垂线，此时最小，则故选：【点评】本题考查了程序框图与抛物线的应用问题，是综合题9（5分）已知函数，均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是A（1）B（1）C（1）D（1）【考点】：三角函数的周期性【专题】33：函数思想；：定义法；57：三角函数的图象与性质【分析】由题意求得的值，再得出和的值，从而比较、（1）和的大小【解答】解：函数的最小正周期为，；当时，函数取得最小值，可取，；令，则，（1），（1）故选：【点评】本题考查了三角函数的单调性与周期性应用问题，是基础题10（5分）过抛物线的焦点的直线（倾斜角为锐角）交抛物线于，两点，若为线段的中点，连接并延长交抛物线于点，已知，则直线的斜率是AB1CD2【考点】：抛物线的性质【专题】34：方程思想；49：综合法；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设直线的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及中点坐标公式，即可求得点坐标，求得的方程，代入抛物线方程，即可求得点坐标，由即可求得值【解答】解：抛物线的焦点，由题意知，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，联立，消去，整理得：，设，则，则，则直线的方程为，由，解得：，由，则，即倾斜角为锐角，故选：【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及中点坐标公式的应用，考查计算能力，属于中档题11（5分）已知，若关于的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数的取值范围为ABCD【考点】57：函数与方程的综合运用【专题】35：转化思想；44：数形结合法；51：函数的性质及应用【分析】求函数的导数，判断函数的取值情况，设，利用换元法，将方程转化为一元二次方程，利用根的分布结合的图象即可得到所求范围【解答】解：化简可得，当时，在单调递增；当时，可得在递增，递减，函数在处取得极大值，作出函数的草图如图：设，则恰好有4个不相等的实数解，即有和共有4个不等实根，由的图象可得，且有三个根，有一个根，则且，可得故选：【点评】本题考查根的存在性及根的个数的判断，考查利用函数的导函数分析函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，利用换元法转化为一元二次方程，是解决本题的关键12（5分）已知正偶数数列按照蛇形排列，形成如图所示矩形数表，在数表中位于第行，第列的数记为，比如，若，则A41B42C45D46【考点】：归纳推理【专题】29：规律型；38：对应思想；：归纳法；：推理和证明【分析】由题意正偶数为等差数列，由图摆放找每一斜链所放的数，及每一斜链的数字总数与本斜链的每一项的关系即可发现规律【解答】解：由图可知，第1斜链为数2，第1斜链为数4，6，第1斜链为数8，10，12，第3斜链为数14，16，18，20，以此类推正偶数列，解得，即2018位等1009分偶数，按照蛇形排列，第1斜链到第斜链共有个正偶数，第1斜链到第44斜链共有990个正偶数，第1斜链到第45斜链共有1035个正偶数，则2018位于第45斜链，而第45斜链，是从右上到左下依次递增，且共有45个正偶数，故2018位于第45斜链，从右上到左下第19个数，则，则故选：【点评】本题考查等差数列的通项公式，任意两项之间及项与项数之间的关系，考查学生的观察与分析能力，考查简单的合理推理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，属于中档题二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）若命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为， 【考点】：存在量词和特称命题【专题】11：计算题；35：转化思想；51：函数的性质及应用；：简易逻辑【分析】先求出命题的否定，再用恒成立来求解【解答】解：命题“，使”的否定是：“，使”且是真命题，所以有，整理得，解得，所以，故答案为，【点评】本题通过逻辑用语来考查函数中的恒成立问题14（5分）已知，若，则的最小值为【考点】：平面向量的基本定理【专题】11：计算题；：平面向量及应用【分析】由得到点在上，进而容易求解【解答】解：由原式化为：，可知点在直线上，又，当时，故答案为：【点评】此题考查了向量与三点共线的关系，属容易题15（5分）已知不等式组表示的平面区域为，若直线与平面区域有公共点，则实数的取值范围是，【考点】：简单线性规划【专题】11：计算题；31：数形结合；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；：不等式【分析】画出满足不等式组的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入中，求出对应的的端点值即可【解答】解：满足不等式组的平面区域如图示：因为直线过定点所以当过点时，找到；当过点时，对应又因为直线与平面区域有公共点所以故答案为：，【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解16（5分）已知，为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的一条渐近线垂直，与双曲线的左右两支分别交于，两点，且点恰在的中垂线上，则双曲线的渐近线方程为【考点】：直线与双曲线的综合【专题】15：综合题；38：对应思想；44：数形结合法；：圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】根据双曲线的定义和点恰在的中垂线上，可得，再设，求出，在中，由余弦定理整理化简可得，即可求出【解答】解：，为双曲线的左、右焦点，其中一条渐近线方程为，点到直线的距离，设，点恰在的中垂线上，在中，由余弦定理可得，即，即，解得，双曲线的渐近线方程为，故答案为：【点评】本题考查了双曲线的定义与性质，余弦定理，考查了运算能力和转化能力，属于中档题三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）在中，内角、的对边分别为、已知，（1）求的大小；（2）若，求边、的值【考点】：平面向量数量积的性质及其运算；：余弦定理【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形；：平面向量及应用【分析】（1）由同角三角函数基本关系式可求的值，由已知进而可求，结合的范围即可求得的值（2）由（1）可知，由正弦定理得，利用平面向量数量积的运算可求，联立即可解得，的值【解答】解：（1）在中，由，知：，由，可得：（2）由（1）可知，由正弦定理得，联立方程，解得，【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，平面向量数量积的运算在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18（12分）2017年某市政府为了有效改善市区道路交通拥堵状况出台了一系列的改善措施，其中市区公交站点重新布局和建设作为重点项目市政府相关部门根据交通拥堵情况制订了“市区公交站点重新布局方案”，现准备对该“方案”进行调查，并根据调查结果决定是否启用该“方案”调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该“方案”进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图相关规则为：调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；采用百分制评分，内认定为满意，不低于80分认定为非常满意；市民对公交站点布局的满意率不低于即可启用该“方案”；用样本的频率代替概率（）从该市800万人的市民中随机抽取5人，求恰有2人非常满意该“方案”的概率；并根据所学统计学知识判断该市是否启用该“方案”，说明理由（）已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占，现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因，并从中抽取3人担任群众督查员，记为群众督查员中的老人的人数，求随机变量的分布列及其数学期望【考点】：频率分布直方图；：离散型随机变量及其分布列；：离散型随机变量的期望与方差【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；：概率与统计【分析】（）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是，用样本的频率代替概率，从该市的全体市民中随机抽取1人，该人非常满意该项目的概率为，由此能求出从中抽取5人恰有2人非常满意该“方案”的概率，根据题意：60分或以上被认定为满意或非常满意，在频率分布直方图中，评分在，的频率为，根据相关规则该市应启用该“方案”（）评分低于60分的被调查者中，老年人占，又从被调查者中按年龄分层抽取9人，这9人中，老年人有3人，非老年人6人，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望【解答】（本题满分12分）解：（）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是，（1分）用样本的频率代替概率，从该市的全体市民中随机抽取1人，该人非常满意该项目的概率为，（2分）现从中抽取5人恰有2人非常满意该“方案”的概率为：；（4分）根据题意：60分或以上被认定为满意或非常满意，在频率分布直方图中，评分在，的频率为：根据相关规则该市应启用该“方案” （6分）（）评分低于60分的被调查者中，老年人占，又从被调查者中按年龄分层抽取9人，这9人中，老年人有3人，非老年人6人，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3 （7分），（11分）的分布列为：0123的数学期望（12分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组织知识的合理运用19（12分）如图，三棱柱中，已知四边形是菱形，与交于点，且，（1）连接，证明：直线平面（2）求平面和平面所成的角（锐角）的余弦值【考点】：直线与平面垂直；：二面角的平面角及求法【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；：空间位置关系与距离；：空间角【分析】（1）证明，得到，两两垂直即可证明平面（2）以为坐标原点，所在直线分别为，轴建立，求出平面的一个法向量；平面的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可【解答】（1）证明：因为平行四边形是菱形，所以，且是的中点又因为，所以且又因为，为公共边，所以，所以，故，从而，两两垂直所以平面（2）解：由（1）可知，以为坐标原点，所在直线分别为，轴建立，如图空间直角坐标系，则，0，1，因为，两两垂直，所以平面，所以是平面的一个法向量；设是平面的一个法向量，则，即，令，得，所以所以所以平面和平面所成的角（锐角）的余弦值为【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力20（12分）已知椭圆以，为左右焦点，且与直线相切于点（1）求椭圆的方程及点的坐标；（2）若直线与椭圆交于，两点，且交于点（异于点，求证：线段长，成等比数列【考点】：直线与圆锥曲线的综合；：直线与椭圆的综合【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）设椭圆方程为，利用直线与椭圆联立，通过韦达定理，转化求解即可（2）联立直线与的方程解得点为，利用弦长公式，设，联立椭圆与直线的方程，转化求解即可【解答】解：（1）由题意，设椭圆方程为，联立椭圆和直线的方程消去得，所以，化简得，由知，所以椭圆方程为将代回原方程组，解得切点的坐标为（2）联立直线与的方程解得点为，又因为，由弦长公式得，所以设，联立椭圆与直线的方程，消去得，得则，又因为，所以，所以，又，所以线段长，成等比数列【点评】本题直线与椭圆的位置关系的综合应用的应用，考查最值思想以及计算能力，考查数列的应用21（12分）已知函数，（1）已知函数有两个极值点，求的取值范围；（2）设和是函数的两个极值点（其中若，求的最大值【考点】：利用导数研究函数的极值；：利用导数研究函数的最值【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用【分析】（1）函数的定义域为，取得函数的导数，利用函数有两个极值点，列出不等式，转化求解即可；（2）由（1）知，和是方程的两根，推出，得到解析式，设，令，利用导数求解即可【解答】解：（1）函数的定义域为，因为，所以由题意得方程有两个不相等的