概率论第一章习题解答

概率论第一章习题解3（1）设A，B，C是三个事件，且，求A，B，C至少有一个发生的概率。（2）， ，求；的概率。（3）已知，（）若A，B互不相容，求，（）若，求解因为 事件“A，B，C至少有一个发生” 而，所以故（2）()；()；() ；() ；() 因为且 () 因为已知，故；（3），（）若A，B互不相容，求，（）若，求（）因为若A，B互不相容，所以，；（）因为，且，所以，代入已知条件，得，即。4设A，B是两个事件。（1）已知，验证；（2）验证A与B恰有一个发生的概率为。解（1）因为，已知，所以（2）因为事件“A与B恰有一个发生” 所以“A与B恰有一个发生”的概率为而，且，故510片药片中有5片是安慰剂，（1）从中任意取5片，其中至少有2片是安慰剂的概率。（2）从中每次取1片，作不放回抽样，求前3次都取到安慰剂的概率。解（1）设“所取的5片药片中至少有2片安慰剂”设Ai“5片中有i片是安慰剂”，（i=1，2，3，4，5），则样本空间所饮食的基本事件数：含有的基本事件数：；。（2）设C“前3次取到的都是安慰剂” 样本空间所饮食的基本事件数：1098720事件C所包含的基本事件数为：543606在房间里有10个人，分别佩带从1号到10号的徽章，任选3人记录其徽章的号码。（1）求最小号码为5的概率；（2）求最大号码为5的概率。解A“最小号码为5”，B“最大号码为5”样本空间所包含的基本事件数：；事件A所包含基本事件数（即5固定，再从6，7，8，9，10这5个数中任选2个）：事件B所包含的基本事件数（即5固定，再从1,2，3,4这4个数中任选2个）：故；7某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶，黑漆4桶，红漆3桶，在搬运的过程中所有标签脱落，交货人随意将这些油漆发给顾客，问一个订货为4桶白漆，3桶黑漆，2桶红漆的顾客，能按所订颜色得到订货的概率是多少？解设A“顾客能按所订的颜色如数拿到订货”，则样本空间所包含的基本事件数：事件A所包含的基本事件数：所以。8在1500件产品中有400件次品，1100件正品，任取200件：（1）求恰有90件次品的概率；（2）至少有2件次品的概率。解设A“所取的200件产品中有90件次品”，B“所取的200件产品中恰有2件次品”样本空间包含的基本事件数：，事件A所包含的基本事件数：，事件所包含的基本事件数：（1）（2） 9 从5双不同的鞋中任取4只，问这4只鞋至少能配成一双的概率是多少？解设A“4只鞋不能配成双”，则 “4只鞋至少能配成一双”样本空间所包含的基本事件数：事件A包含的基本事件数：（即：先从5双鞋中任取4双，然后从所取的4双鞋中各任取一只，这样取得的4只鞋，都不能配成双。）于是，说明：本题有多种解法，总的思路是从5双鞋中任取一只后，再取时不考虑与已经取了的那一只能配成双的哪一只。如考虑4只鞋了是有次序的一只一只取出的：从10只鞋中任取4只共有种取法，即样本空间所包含的基本事件数：；现在来求：第一只鞋可以从10只鞋中任意取，有10种不同的取法，第二只鞋只能从剩下的9只中且除去与已取的第一只配对的8只鞋中去取，有8种取法，同理，第三只、第四只各有6种取法、4种取法。从而。于是；。10在11张卡片上写有probability这11个字母，从中任意抽7张，求其排列结果为ability概率。解设A“抽到7张卡片能排列成ability”， 则样本空间所包含的基本事件数：事件A所包含的基本事件数：（即在11个字母中只有1个a，2个b，2个i,1个l，已经取了一个i，只剩下1个i，同样t、y也只有1个可取。）于是。11将3只球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1,2，3的概率。解设“放入杯子中球的最大个数”，（ ）由于每个球可以任意地放入4个杯子中的任何1个中，且每个杯子可以放入的球的个数没有限制，于是“将3只球随机地放入4个杯子中去”共有种放法，即。 ：只有3个球都放入一个杯子中才能发生，且有4全杯子可任意选择，则；：只有当每个杯子最多放入1个球时才能发生，因而又，且，（）故从而。1250只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3只铆钉强度太弱，每个部件用3只铆钉。若将3只强度太弱有铆钉都装在一个部件上，则这个部件的强度就太弱。问发生一个部件强度太弱的概率是多少？解将10部件自1至10编号。则随机试验E：随机地取铆钉，各部件都装3个铆钉。“第号部件强度太弱”，（ ）由题设知，只有当3只强度太弱的铆钉同时装在第号部件上时，才能发生。由于从50只铆钉中任取3只装在第号部件上共有种取法，强度太弱的铆钉仅有3只，它们都装在第号部件上，只有种取法。故，（ ）。又两两互不相容，因此，10个部件中有一个强度太弱的概率为。13一个俱乐部有5名一年级的学生，2名二年级的学生，3名三年级的学生，2名四年级的学生。（1）在其中任选4名学生，求一、二、三、四年级各有一名学生的概率；（2）在其中任选5名学生，求一、二、三、四年级的学生都包含在内的概率。解（1）设A“4名学生中，一、二、三、四年级各有一名学生”；样本空间所包含的基本事件数：事件A所包含的基本事件数为：（2）设B“5名学生中，一、二、三、四年级的学生都包含在内”。 样本空间所包含的基本事件数：事件A所包含的基本事件数为：，（即先从每个年级任选一人，再从4个年级中1个，就可保证5名学生中包括每个年级的学生在内）。14（1）已知，求条件概率。（2）已知，求。解（1）因为，所以，0.2故（2）因为，由乘法公式得，又，得，即所以。15掷两颗骰子，已知两颗骰子的点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率（用两种方法）。解设A“两颗骰子的点数之和为7”，B“一颗点数为1”解方法一（用条件概率公式计算）样本空间所包含的基本事件数：36事件A所包含的基本事件数：6，即（1,6），（6,1），（5，2），（5,2），（3,4）（4,3）事件AB所包含的基本事件数：2即（1,6），（6,1）则，故。方法二（在缩减的样本空间计算）以A为缩减的样本空间，则A所包含的基本事件数：6事件B在缩减的样本空间所包含的基本事件数：2故。16据以往资料表明，某3口之家，患有某种传染病的概率有以下规律：P孩子得病0.5，P母亲得病孩子得病0.5，P父亲得病母亲及孩子得病0.4求母亲及孩子得病而父亲未得病的概率。解设A“孩子得病”，B“母亲得病”，C“父亲得病”，则 “母亲及孩子得病而父亲未得病”已知，由乘法公式：又，且所以，。17已知在10件产品中有2件次品，在其中取两次，每次任取一件，作不放回抽样，求下列事件的概率：（1）两件都是正品；（2）两件都是次品；（3）1件正品，1件次品；（4）第二次取出的是次品。解设“第次取得的是正品”（ ）。因为是不放回抽样，故样本空间所包含的基本事件数：，（1）事件所包含的基本事件数：，；（2）事件所包含的基本事件数：；（3）事件 “1件正品，1件次品”所包含的基本事件数：（可能是第一次取得正品，也可能是第二次取得正品），解法二：因为，又，所以，由乘法公式，得。解法三：利用（1）与（2）的结果，因为，且，两两互不相容，故。（4）因为，事件“第二次取出的是次品”， 。18某人忘记电话号码的最后一位数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过3次而接通所需电话的概率；若已知最后一位数字是奇数，那么此概率是多少？解“第次所能电话”，（ ），“电话所能”则（1）第一次拨通电话：；第2次拨通电话，即是，由乘法公式，得第3次拨通电话，即是，由乘法公式。或（2）当已知最后一个数字是奇数时，与（1）有同样的思路和解法：；或19（1）设甲袋中装有只白球，只红球；乙袋中装有N只白球，M只红球，今从甲袋中任意取一球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一球，问取到白球的概率是多少？（2）设第一只盒子中装有5只红球，4只白球；第二个盒子中装有4只红球，5只白球，先从第一个盒子中任意取2球放入第二个盒子中，然后从第二个盒子中任意取一只球，求取到白球的概率是多少？解（1）R“从甲袋中取到红球”，W“从乙袋中取到白球”，则，且，；（2）设“从第一个盒子中取得的球中有只红球。”（）“从第二个盒子中取得一只白球。”则由乘法公式，得而；。（注意到从第二个盒子中取球时，它里面装有11只球。）（此时第三个盒子中有7只白球。）（此时第二个盒子中有6只白球，5只红球。）（此时第二个盒子中有5只白球,6只红球。）于是。20某种产品的商标为“MAXAM”，其中有2个字母脱落，有人捡起随意放回，求放回后仍为“MAXAM”的概率。解设B“放回的结果正确”，字母脱落的五种情况记为：“M，X”， “A，X”， “M，A”， “ A，A”， “M，M”，则，样本空间所包含的基本事件数即脱落的总数：事件所包含的基本事件数：，（2个M，1个X）事件所包含的基本事件数：，（2个A，1个X）事件所包含的基本事件数：，（2个M，2个A）事件所包含的基本事件数：事件所包含的基本事件数：于是；。，（），（）根据全概率公式，有。21已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机地选1人，恰好是色盲，此人是男性的概率是多少？解设A“色盲患者”，B“男性”则事件“随机地选1人，恰好是色盲，此人是男性” 于是所求概率为：由贝叶斯公式已知（从男女人数相等的人群中随机选取1人。），于是。22一学生接连参加同一课程的两次考试，每一次及格的概率为p，若第一次及格第二次也及格的概率为p。若第一次不及格第二次及格的概率为p/2。（1）若至少有一次及格，他就能够获得某种资格，求他获得资格的概率。（2）若知道他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。解设“第次及格”，（ ）。B“获得资格”（1）已知，显然，故。（2）（贝叶斯公式）。23将两信息分别编码为A和B传送出去，接收站收到时，A误作B的概率为0.02，B误作为A的概率为0.01。信息A与B传送的频繁程度为2：1。若接收站收到的信息为A，原发信息为A的概率是多少？解设“发出的信息为A”， “发出的信息为B”， “收到的信息为A”则“接收站收到的信息为A，原发信息为A” 24有两箱同类的零件，每第一箱装有50只，其中10只一等品，第二箱装30只，其中8只一等品。今从两箱中任意挑选出一箱，然后从该箱中取零件两次，作不放回抽样。求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。（2）在第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的零件也是一等品的概率。解设“从第一箱中取零件”，“从第二箱中取零件”。“第次从箱中取得的是一等品（不放回抽样）”（）则。（1）由已知条件，故。（2）要求的是“在第一次取到一等品的条件下第二次取一等品的概率”，即因为，而由条件概率的含义，表示从第一箱中取两次，每次取一只零件，作不放回抽样且两次取得的都是一等品的概率，因第一箱中有50只零件，其中有10只一等品，于是，同理，。故。25某人下午5：00下班，他所积累的资料表明，到家时间5:355:39 5:405:44 5:455:49 5:505:54 迟于5:54乘地铁的概率 0.100.250.450.150.05乘汽车的概率0.300.350.200.100.05某日，他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是5：47到家，试求他是乘地铁回家的概率。解设“乘地铁回家”， “乘汽车回家” “5:355:39回家”； “ 5:405:44回家”； “ 5:455:49回家”； “ 5:505:54回家”； “ 迟于5:54回家”因为他到家的时间为5：47，则所求概率为在事件“5:455:49回家”发生条件下发生的条件概率：（由贝叶斯公式）。26病树的主人钻出，委托邻居浇水，设已知如果不浇水，树死去的概率为0.8，若浇水，则树死去的概率为0.15。有0.9的把握确定邻居会记得给树浇水。（1）求主人回来树还活着的概率。（2）若主人回来，树已死去，求邻居忘记浇水的概率。解（1）设“树活着”，“邻居给树浇水”。（2）。27设本题涉及的事件都有意义。设A，B都是事件，（1）已知，证明。（2）若，则。（3）若C也是事件，且有，证明：。证明：（1）因为所等式左边，右边而，所以。（2）因为，即。（）于是因为，故。（3）已知，则由条件概率公式，得，即（）同样，由，有（）由（）式，或由（），得知，即。28有两种花籽的发芽率分别为0.8和0.9，从中各取一颗做出芽试验，设各花籽出芽与否是相互独立的，求（1）这两颗花籽都发芽的概率。（2）至少有一颗发芽的概率。（3）恰有一颗花籽能发芽的概率。解设A“第一种花籽抽取的一颗花籽发芽”， B“第二种花籽抽取的一颗花籽发芽”（1）因为A与B相互独立，则AB“两颗花籽都发芽”，故 （2）由于AB “至少有一颗花籽发芽”； 故。（3）因为“恰有一颗花籽发芽”，又与相互独立，与相互独立，故29根据报导，美国人的血型分布近似的为：A型为37%，O型的为44%，B型为13%，AB型为6%。夫妻的血型是相互独立的。（1）B型的人只有输入B型和O型的血才安全。若妻为B型，夫为何种血型未知，求夫是妻的安全输血者的概率。（2）随机地取一对夫妇，求妻为B型夫为A型的概率。（3）随机地取一对夫妇，求其中一人为A型，另一人为B型的概率。（4）随机地取一对夫妇，求其中至少有一人是O型的概率。解（1）由题意知，夫血型为B、O都是安全输血者，因为两种血型是相互独立的，故所求概率为。（2）因为夫妇所有的血型相互独立，故所求概率为：。（3）。（4）有三种可能：即夫为O，妻为非O；妻为O，夫为非O；夫妻均为O。30（1）给出事件A，B的例子，使得（）；（）；（）（2）设A，B，C相互独立，证明（）C与AB相互独立；（）与相互独立。（3）设A的概率，证明任意另一事件B，有A与B相互独立。（4）证明事件A与B相互独立的充分必要条件是。解（1）（）设随机试验为抛一枚骰子，A“点数为2”，B“点数为奇数”显然，而，从而。（）设A，B是任意两个满足条件：，的随机事件，则有。（）设随机试验为抛一枚骰子，A“点数为3”，B“点数为奇数”，则，而，即（2）（）因为A，B，C相互独立，所以， ， 而（）因为。即C与AB相互独立。（3）因为，对于任意的事件B，又，所以，即A与B相互独立。（4）若A与B相互独立，则，于是。即若，则即有由随机事件相互独立的等价定义（教材P21的定理一）知A与B相互独立。31设事件A，B的概率都大于零，说明以下叙述（1）必然对，（2）必然错，（3）可能对，并说明理由。（1）若A，B互不相容，则它们相互独立。（2）若A与B相互独立，则它们互不相容。（3），且A与B互不相容。（4），且A与B相互独立。解（1）必然错。因为A与B互不相容，而，所以，即A与B不是相互独立的。（2）必然错。因为A与B相互独立，所以。（3）必然错。若A与B互不相容，则，而。（4）可能对。A与B相互独立时，。32有一种检验艾滋病毒的检验法，其结果有0.005报道为假阳性（即不带艾滋病毒者，经此检验法有0.005的概率被认为带有艾滋病毒）。今有140名不带艾滋病毒的正常人接受此种检验，被报道至少有1人带艾滋病毒者的概率。解设“用此方法检，有人验呈阳性”，（ ），由于（ ）是相互独立的。所以被报道至少有1人带艾滋病毒的概率为33盒中有编号为1,2，3,4的4只球，随机地从盒子中任取一球，事件A为“取得的是1号球或2号球”，事件B“取得的是1号球或3号球”，事件C“取得的是1号或4号”球。验证：；，但。解设“取到号球”（ ），则，又已知，两两互不相容。故，且，从而，但，即A，B，C不是相互独立的。34试分别求以下两个系统的可靠性：（1）设有4个独立工作的元件1,2，3,4。它们的可靠性分别为，将它们按34题图（1）的方式连接（称为并串联系统）。 1324图34（1）12345图34（2）（2）设有5个独立工作的元件1,2，3,4，5，它们的可靠性均为，将它们按题图34（2）的方式连接（称为桥式系统）。解（1）设“元件正常工作/”（ ），该并串联系统的可靠性即。（2）（1）设“元件正常工作/”（ ），该桥式系统的可靠性即35如果一危险情况C发生时，一电路闭合并发出警告报，我们可以人借用两个或多个开关并联以改善可靠性。在C发生时，这些开关每一个都应闭合，且若至少有一个开关闭合了，警报就发出。如果两个这样的开关并联连接，它们每个具有0.96的可靠性（即在情况C发生时闭合的概率），问这时系统的可靠性（即电路闭合的概率）是多少？如果需要一个可靠性至少为0.9999的系统，则至少需要用多少只这样的开关并联？设各个开关闭合与否是相互独立的。解设“第只开关闭合”（ ）（1）如果两个这样的开关并联连接，它们每个具有0.96的可靠性，系统的可靠性多少？已知，因为各开关闭合与否是相互独立的，故两只这样的开关并联而电路闭合的概率为（2）如果需要一个可靠性至少为0.9999的系统，则至少需要用多少只这样的开关并联？设需要只这样的开关并联，此时系统的可靠性，因为，且相互独立，故要使，即要使，亦即要使。应有 36三个人独立的去破译一份密码，已知各人能破译的概率为，。问三人中至少有一人能将密码破译出的概率是多少？解设事件“第一人能破译密码”，事件“第二人能破译密码”，事件“第三人能破译密码”，则事件“三人中至少有一人能破译出密码”为，又三人破译密码是相互独立的，所以或由于三人能否译出是相互独立