高中数学 1.1.2弧度制课件 新人教A版必修4.ppt

1 1 2弧度制 一 角度制 弧度制及其计算1 角度制 1 定义 用度作为单位来度量角的单位制 2 1度的角 周角的2 弧度制 1 定义 以弧度作为单位来度量角的单位制 2 1弧度的角 长度等于 的弧所对的圆心角 半径长 3 弧度数 1 正角的弧度数是一个 2 负角的弧度数是一个 3 零角的弧度数是 正数 负数 0 4 弧度数的计算 如图 思考 角 6这种表达方式正确吗 提示 正确 角 6表示6弧度的角 这里将 弧度 省去了 二 角度制与弧度制的换算 判断 正确的打 错误的打 1 度 与 弧度 是相同的 都是用来度量角的单位 2 终边落在x轴非正半轴上的角可表示为 k 360 k z 3 1rad的角和1 的角大小一样 4 用圆心角所对的弧长与半径的比来度量圆心角是合理的 提示 1 错误 度 与 弧度 是度量角的两种不同的度量单位 2 错误 同一个式子角度和弧度不能混合使用 3 错误 1rad 57 30 1 4 正确 当圆心角一定时 圆心角所对的弧长与半径成正比 与所取半径无关 答案 1 2 3 4 知识点拨 1 有关 角度 与 弧度 概念的理解 2 解析弧度制下弧长公式 扇形的面积公式在弧度制下 弧长公式和扇形的面积公式分别为 其中 为圆心角的弧度数 r为扇形的半径 要把握好上述公式 需注意以下三个方面 1 由上述公式可知 由 l r s中的两个量可以求出另外的两个量 即知二求二 2 运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多 但要注意它的前提是 为弧度制 3 在运用公式时 还应熟练地掌握这两个公式的变形应用 类型一有关角度与弧度概念的理解 典型例题 1 下列说法正确的是 a 1弧度就是一度的圆心角所对的弧b 一弧度是长度为半径的弧c 1弧度是一度的弧与一度的角之和d 一弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角 2 在半径不等的两个圆内 1弧度的圆心角所对的弧长 填 相等 或 不相等 解题探究 1 1弧度的角是如何定义的 2 1弧度的圆心角所对的弧长与哪个量有关 探究提示 1 长度等于半径长的弧所对的圆心角就是1弧度的角 2 1弧度的圆心角所对的弧长与圆的半径有关 大小等于圆的半径 解析 1 选d 由1弧度的定义可知d正确 2 由于1弧度的圆心角所对的弧长等于圆的半径 而两个圆的半径不等 故在两个圆中 1弧度的圆心角所对的弧长不相等 答案 不相等 拓展提升 角度与弧度的理解 1 引入弧度制后 角的集合与实数集建立了一一对应关系 2 用角度制和弧度制来度量零角 单位不同 但数量相同 都是0 用角度制和弧度制度量任意非零角 单位不同 数量也不同 3 牢记180 rad 充分利用其进行角度制与弧度制互化 4 角度的单位 不可省略 而弧度的单位 rad 可以省略 5 在同一个式子中 角度 弧度不能混合使用 互动探究 若题2改为在半径较大的圆内 1弧度的圆心角与半径较小圆内的1弧度的圆心角 填 相等 或 不等 解析 由于1弧度的角是长度等于半径的弧所对的圆心角 是和弧长与半径的比值有关 而与半径的大小无关 故填 相等 答案 相等 类型二角度制与弧度制的互化 典型例题 1 1 将92 30 化成弧度为 2 将化成度为 2 将下列各角化成0 2 范围内的角加上2k k z 的形式 解题探究 1 角度与弧度存在怎样的换算关系 2 把一个不在0 2 范围内的角化成0 2 范围内的角加上2k k z 的形式 如何确定k的值 探究提示 1 2 常使用待定系数法去找一个k和 化为2k 的形式 解析 1 1 2 答案 2 1 2 拓展提升 1 角度制与弧度制互化的策略 1 原则 牢记180 rad 充分利用进行换算 2 方法 设一个角的弧度数为 角度数为n 则 2 角度制与弧度制互化的注意事项 1 用 弧度 为单位度量角时 弧度 二字或 rad 可以省略不写 2 用 弧度 为单位度量角时 常常把弧度数写成多少 的形式 如无特别要求 不必把 写成小数 3 度化弧度时 应先将分 秒化成度 再化成弧度 变式训练 用弧度制表示终边落在x轴上方的角的集合为 解题指南 角 的终边落在x轴上方 即角的终边落在第一象限 第二象限以及y轴的非负半轴上 解析 若角 的终边落在x轴上方 则2k 2k k z 答案 2k 2k k z 类型三扇形的弧长及面积公式 典型例题 1 若圆的半径变为原来的2倍 弧长也变为原来的2倍 则 a 扇形的圆心角变为原来的2倍b 扇形的圆心角变为原来的4倍c 扇形的面积变为原来的2倍d 扇形的面积变为原来的4倍 2 已知扇形的周长为40cm 当扇形的面积最大时 圆心角为 3 如图所示 扇形aob的面积是4cm2 它的周长是10cm 求扇形的圆心角 的弧度数及弦ab的长 解题探究 1 扇形的半径 弧长以及圆心角存在怎样的关系 2 题2中扇形的周长指的是什么 3 扇形的面积和相应的弧长存在怎样的关系 探究提示 1 2 扇形的周长等于相应的弧长与2个半径之和 3 解析 1 选d 由公式可知圆的半径变为原来的2倍 弧长也变为原来的2倍时 圆心角大小不变 但扇形面积故面积变为原来的4倍 2 设扇形的弧长为l 半径为r 则l 2r 40 则所以r 10时 扇形面积最大 此时l 40 2r 20 圆心角的弧度数答案 2 3 设弧ab的长为l cm 扇形半径为r cm 由题意得故 弧度 拓展提升 1 弧度制下有关弧长 扇形面积问题的解题优势及注意点 1 解题优势 弧度制的引入使相关的弧长公式 扇形面积公式均得到简化 所以在解决这些问题时通常采用弧度制 一般地说 在几何图形中研究的角 其范围是 0 2 2 注意点 在弧度制中的弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负 看清角的度量制 选用相应的公式 扇形的周长等于弧长加两个半径长 2 扇形周长及面积的最值 1 当扇形周长一定时 扇形的面积有最大值 其求法是把面积s转化为关于r的二次函数 但要注意r的取值范围 特别注意一个扇形的弧长必须满足0 l 2 r 2 当扇形面积一定时 扇形的周长有最小值 其求法是把扇形周长l转化为关于r的函数 但要注意r的取值范围 变式训练 在单位圆中 面积为1的扇形所对圆心角的弧度数为 a 1b 2c 3d 4 解析 选b 设扇形的弧长为l 由题意所以l 2 圆心角的弧度数 规范解答 有关弧长 扇形面积问题的解答 典例 条件分析 规范解答 设扇形的圆心角为 半径为r 1分则2r r 20 故 3分所以 5分 7分 所以当r 5时 扇形的面积最大 即s扇形max 25 9分此时 11分综上可知 当半径为5 圆心角为2时 能使扇形的面积最大 最大面积为25 12分 失分警示 防范措施 1 准确记忆公式对于弧长和扇形面积公式 把握好表达形式 记准各个量的不同含义 如本例中其中 为圆心角 r为半径 2 明确变量的范围在求函数的最值时 要结合实际意义 确定出变量的范围 如本例中半径的取值范围为 0 10 类题试解 已知扇形的面积为4 当扇形的圆心角为多少弧度时 扇形的周长最小 并求出此最小值 解析 设扇形的弧长为l 半径为r 由所以扇形周长因为时 为减函数 r 2 时 为增函数 故r 2时扇形的周长最小为8 此时l 4 圆心角 2 1 已知扇形的半径为r 面积为r2 那么这个扇形圆心角的弧度数是 解析 选c 由可得 所以 2 2 把 495 表示成2k k z 的形式 且使 最小 则 解析 495 135 360 它的终边在第三象限 使 最小 则答案 3 半径为 cm