云南师大附中2015届高三上学期第一次月考数学(理)试卷.doc

2014-2015学年云南师大附中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知全集U和集合A，B如图所示，则（UA）B=( )A5，6B3，5，6C3D0，4，5，6，7，82设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，z1=1+i，则z1z2=( )A2iB2iC2D23已知向量，满足|=，=1，则|+|=( )AB2CD104曲线y=eax+在点（0，2）处的切线与直线y=x+3平行，则a=( )A1B2C3D45在ABC中，已知sinC=2sinAcosB，那么ABC一定是( )A等腰直角三角形B等腰三角形C直角三角形D等边三角形6函数在区间上的最大值是( )A1BCD1+7已知实数x，y满足约束条件，则z=x+3y的取值范围是( )A1，9B2，9C3，7D3，98如图，网格纸上小方格的边长为1（表示1cm），图中粗线和虚线是某零件的三视图，该零件是由一个底面半径为4cm，高为3cm的圆锥毛坯切割得到，则毛坯表面积与切削得的零件表面积的比值为( )ABCD9若任取x，y0，1，则点P（x，y）满足yx2的概率为( )ABCD10已知椭圆+=1（ab0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BFx轴，直线AB交y轴于点P若=2，则椭圆的离心率是( )ABCD11把边长为2的正三角形ABC沿BC边上的高AD折成直二面角，设折叠后BC中点为M，则AC与DM所成角的余弦值为( )ABCD12函数f（x）=x+x3（xR）当0时，f（asin）+f（1a）0恒成立，则实数a的取值范围是( )A（，1B（，1）C（1，+）D（1，+）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13定义一种新运算“”：S=ab，其运算原理如图3的程序框图所示，则3654=_14等比数列an的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列若a1=1，则S4=_15关于sinx的二项式（1+sinx）n的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为，当x0，时，x=_16已知三次函数f（x）=x3+x2+cx+d（ab）在R上单调递增，则的最小值为_三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17一个口袋内有5个大小相同的球，其中有3个红球和2个白球（1）若有放回的从口袋中连续的取3次球（每次只取一个球），求在3次摸球中恰好取到两次红球的概率；（2）若不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数的分布列和数学期望E（）18如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，点O是A1C1的中点，AO平面A1B1C1已知BCA=90，AA1=AC=BC=2（1）求证：AB1AlC；（2）求A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值19设数列an满足a1=0且an+1=nN*（1）求证数列是等差数列，并求数列an的通项公式；（2）设bn=，Sn为数列bn的前n项和，证明：Sn120已知函数f（x）=ax1lnx（aR）（）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；（）已知函数f（x）在x=1处取得极值，且对x（0，+），f（x）bx2恒成立，求实数b的取值范围21如图，已知抛物线C：y2=2px（p0）和圆M：（x4）2+y2=1，过抛物线C上一点H（x0，y0）（y01）作两条直线与圆M相切于A，B两点，圆心M到抛物线准线的距离为（1）求抛物线C的方程；（2）若直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）22如图，直线AB经过O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，O交直线OB于E、D，连接EC、CD（1）求证：直线AB是O的切线；（2）若tanCED=，O的半径为3，求OA的长【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）23在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为（）求圆C的圆心到直线l的距离；（）设圆C与直线l交于点A、B若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）24已知一次函数f（x）=ax2（1）解关于x的不等式|f（x）|4；（2）若不等式|f（x）|3对任意的x0，1恒成立，求实数a的范围2014-2015学年云南师大附中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知全集U和集合A，B如图所示，则（UA）B=( )A5，6B3，5，6C3D0，4，5，6，7，8【考点】交、并、补集的混合运算 【专题】计算题【分析】先由文氏图求出集合U，A，B，再由集合的运算法则求出（CUA）B【解答】解：由图可知，U=0，1，2，3，4，5，6，7，8，A=1，2，3，B=3，5，6，（CUA）B=0，4，5，6，7，83，5，6=5，6故选A【点评】本题考查集合的运算和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意文氏图的合理运用2设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，z1=1+i，则z1z2=( )A2iB2iC2D2【考点】复数代数形式的乘除运算 【专题】数系的扩充和复数【分析】通过复数的几何意义先得出z2，再利用复数的代数运算法则进行计算【解答】解：z1=1+i在复平面内的对应点为（1，1），它关于原点对称的点为（1，1），故z2=1i，故选：A【点评】本题复数的运算法则、几何意义，属于基础题3已知向量，满足|=，=1，则|+|=( )AB2CD10【考点】平面向量数量积的运算 【专题】计算题；平面向量及应用【分析】运用向量数量积的性质：向量的平方即为模的平方和完全平方公式，计算即可得到【解答】解：由已知得|2=（）2=2+22=2+22=6，即2+2=8，即有|+|2=（+）2=2+2+2=8+2=10，即故选C【点评】本题考查向量的数量积的性质，主要考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题4曲线y=eax+在点（0，2）处的切线与直线y=x+3平行，则a=( )A1B2C3D4【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】导数的概念及应用【分析】求出原函数的导函数，由曲线y=eax+在点（0，2）处的切线与直线y=x+3平行可得y|x=0=a1=1，由此求得a的值【解答】解：由y=eax+，得，曲线y=eax+在点（0，2）处的切线与直线y=x+3平行，y|x=0=a1=1，a=2故选：B【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题5在ABC中，已知sinC=2sinAcosB，那么ABC一定是( )A等腰直角三角形B等腰三角形C直角三角形D等边三角形【考点】三角形的形状判断 【专题】计算题；解三角形【分析】三角形的内角和为，利用诱导公式可知sinC=sin（A+B），与已知联立，利用两角和与差的正弦即可判断ABC的形状；【解答】解：在ABC中，sinC=sin（A+B）=sin（A+B），sinC=2sinAcosBsin（A+B）=2sinAcosB，即sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，sinAcosBcosAsinB=0，sin（AB）=0，A=BABC一定是等腰三角形故选B【点评】本题考查三角形的形状判断，考查两角和与差的正弦，利用sinC=sin（A+B）是关键，属于中档题6函数在区间上的最大值是( )A1BCD1+【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（x+）的图象变换 【分析】先将函数用二倍角公式进行降幂运算，得到f（x）=，然后再求其在区间上的最大值【解答】解：由，故选C【点评】本题主要考查二倍角公式的应用和三角函数的最值问题二倍角公式一般都是反向考查，一定要会灵活运用7已知实数x，y满足约束条件，则z=x+3y的取值范围是( )A1，9B2，9C3，7D3，9【考点】简单线性规划 【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合即可得到结论【解答】解：根据线性约束条件作出可行域，如图1所示阴影部分作出直线l：x+3y=0，将直线l向上平移至过点M（0，3）和N（2，0）位置时，zmax=0+33=9，zmin=2+30=2故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用本题先正确的作出不等式组表示的平面区域，再结合目标函数的几何意义进行解答是解决本题的关键8如图，网格纸上小方格的边长为1（表示1cm），图中粗线和虚线是某零件的三视图，该零件是由一个底面半径为4cm，高为3cm的圆锥毛坯切割得到，则毛坯表面积与切削得的零件表面积的比值为( )ABCD【考点】由三视图求面积、体积 【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】求出圆锥毛坯的表面积，切削得的零件表面积，即可求出毛坯表面积与切削得的零件表面积的比值【解答】解：圆锥毛坯的底面半径为r=4cm，高为h=3cm，则母线长l=5cm，所以圆锥毛坯的表面积S圆表=rl+r2=45+42=36，切削得的零件表面积S零件表=S圆表+221=40，所以所求比值为=故选D【点评】由三视图求几何体的表面积，关键是正确的分析原几何体的特征9若任取x，y0，1，则点P（x，y）满足yx2的概率为( )ABCD【考点】几何概型 【专题】概率与统计【分析】当总体个数有无限多时的概率问题为几何概型，若事件与两个变量有关时，可归结为面积问题进行解答【解答】解：该题属几何概型，由积分知识易得点P（x，y）满足yx2的面积为，所以所求的概率为故选A【点评】本题考查了几何概型公式的运用以及利用定积分求曲边梯形的面积；当总体个数有无限多时的概率问题为几何概型，若事件与两个变量有关时，可归结为面积问题进行解答10已知椭圆+=1（ab0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BFx轴，直线AB交y轴于点P若=2，则椭圆的离心率是( )ABCD【考点】椭圆的简单性质 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先求出点B的坐标，设出点P的坐标，利用 =2，得到a与c的关系，从而求出离心率【解答】解：如图，由于BFx轴，故xB=c，yB =，设P（0，t），=2，（a，t）=2（c，t）a=2c，e=，故选 D【点评】本题考查椭圆的简单性质以及向量坐标形式的运算法则的应用，体现了数形结合的数学思想11把边长为2的正三角形ABC沿BC边上的高AD折成直二面角，设折叠后BC中点为M，则AC与DM所成角的余弦值为( )ABCD【考点】异面直线及其所成的角 【专题】空间角【分析】以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，利用向量法能求出AC与DM所成角的余弦值【解答】解：以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，DA为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则M（，0），D（0，0，0），=（0，1，），=（），设AC与DM所成角为，则cos=|cos|=AC与DM所成角的余弦值为故选：B【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用12函数f（x）=x+x3（xR）当0时，f（asin）+f（1a）0恒成立，则实数a的取值范围是( )A（，1B（，1）C（1，+）D（1，+）【考点】函数奇偶性的性质；函数恒成立问题 【专题】函数的性质及应用【分析】先判断函数的奇偶性，然后再结合单调性将给的不等式化归为两个函数值的大小比较问题，从而构造出关于的不等式恒成立，然后分离参数求a的取值范围【解答】解：因为f（x）=1+3x20，故f（x）=x+x3（xR）在R上单调递增，且为奇函数，所以由f（asin）+f（1a）0得f（asin）f（a1），从而asina1，即当时，恒成立，所以a1故选：A【点评】本题可先利用奇函数及函数的单调性进行转化，再把不等式恒成立问题转化为函数的最值问题进行解答二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13定义一种新运算“”：S=ab，其运算原理如图3的程序框图所示，则3654=3【考点】程序框图 【专题】算法和程序框图【分析】由框图可知算法的功能是求从而由新定义可得3654的值【解答】解：由框图可知，从而得：3654=6（31）5（41）=3故答案为：3【点评】本题主要考查了程序框图和算法，读懂程序框图，理解所定义的新运算，即可解答，属于基本知识的考查14等比数列an的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列若a1=1，则S4=15【考点】等差数列的性质；等比数列的前n项和 【专题】计算题【分析】由题意知2a24a1=a32a2，即2q4=q22q，由此可知q=2，a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，于是得到S41+2+4+8=15【解答】解：2a24a1=a32a2，2q4=q22q，q24q+4=0，q=2，a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，S4=1+2+4+8=15答案：15【点评】本题考查数列的应用，解题时要注意公式的灵活运用15关于sinx的二项式（1+sinx）n的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为，当x0，时，x=或【考点】二项式系数的性质 【专题】二项式定理【分析】由题意可得，求得n=6，可得，求得 结合x0，可得x的值【解答】解：由题意可得，故n=6，所以第4项的系数最大，于是，所以，即 又x0，所以或故答案为：或【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式一般遇到二项展开式某项或某项的系数问题，通常结合展开式的通项公式进行解答属于基础题16已知三次函数f（x）=x3+x2+cx+d（ab）在R上单调递增，则的最小值为3【考点】函数的单调性与导数的关系 【专题】导数的综合应用【分析】由题意得f（x）=ax2+bx+c在R上恒大于或等于0，得a0，=b24ac0，将此代入 ，将式子进行放缩，以 为单位建立函数关系式，最后构造出运用基本不等式的模型使问题得到解决【解答】解：由题意f（x）=ax2+bx+c0在R上恒成立，则a0，=b24ac0令，3（当且仅当t=4，即b=c=4a时取“=”）故答案为：3【点评】本题考查了利用导数工具研究三次函数的单调性以及函数与方程的综合应用问题，属于中档题三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17一个口袋内有5个大小相同的球，其中有3个红球和2个白球（1）若有放回的从口袋中连续的取3次球（每次只取一个球），求在3次摸球中恰好取到两次红球的概率；（2）若不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数的分布列和数学期望E（）【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列 【专题】概率与统计【分析】（1）利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出在3次有放回的摸球中恰好取到两次红球的概率（2）白球的个数可取0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出取到白球的个数的分布列和数学期望E（）【解答】解：（1）设在3次有放回的摸球中恰好取到两次红球的概率为P，由题设知，（2）白球的个数可取0，1，2，所以的分布列如下表：012P【点评】本题考查相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算，考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力求离散随机变量的分布列一般先确定随机变量的所有取值，再计算各个取值的概率，最后得分布列并计算期望18如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，点O是A1C1的中点，AO平面A1B1C1已知BCA=90，AA1=AC=BC=2（1）求证：AB1AlC；（2）求A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系 【专题】空间角【分析】（1）由已知条件推导出四边形A1C1CA为菱形，从而得到A1C平面AB1C1，由此能够证明AB1A1C（）设点C1到平面AA1B1的距离为d，利用等积法求出d=，由此能求出A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值【解答】（1）证明：AO平面A1B1C1，AOB1C1，又A1C1B1C1，且A1C1AO=O，B1C1平面A1C1CA，A1CB1C1，又AA1=AC，四边形A1C1CA为菱形，A1CAC1，且B1C1AC1=C1，A1C平面AB1C1，AB1A1C（）解：设点C1到平面AA1B1的距离为d，=，=，又在AA1B1中，d=，A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值为【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养19设数列an满足a1=0且an+1=nN*（1）求证数列是等差数列，并求数列an的通项公式；（2）设bn=，Sn为数列bn的前n项和，证明：Sn1【考点】数列的求和；数列递推式 【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）把代入，能推导出，由此能证明数列是公差为1的等差数列，从而能求出（2）由，利用裂项求和法能证明Sn1【解答】（1）解：，=1，数列是公差为1的等差数列又，所以（2）证明：由（1）得，Sn1【点评】本题主要考查数列的通项公式、前n项和公式的求法，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查等差数列的证明，证明数列为等差数列通常利用等差数列的定义证明，遇到与数列的和有关的不等式可先考虑能否求和再证明20已知函数f（x）=ax1lnx（aR）（）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；（）已知函数f（x）在x=1处取得极值，且对x（0，+），f（x）bx2恒成立，求实数b的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；函数在某点取得极值的条件 【专题】计算题；综合题【分析】（）由f（x）=ax1lnx可求得f（x）=，对a分a0与a0讨论f（x）的符号，从而确定f（x）在其定义域（0，+）单调性与极值，可得答案；（）函数f（x）在x=1处取得极值，可求得a=1，于是有f（x）bx21+b，构造函数g（x）=1+，g（x）min即为所求的b的值【解答】解：（）f（x）=ax1lnx，f（x）=a=，当a0时，f（x）0在（0，+）上恒成立，函数f（x）在（0，+）单调递减，f（x）在（0，+）上没有极值点；当a0时，f（x）0得 0x，f（x）0得，f（x）在（0，上递减，在，+）上递增，即f（x）在处有极小值当a0时f（x）在（0，+）上没有极值点，当a0时，f（x）在（0，+）上有一个极值点（）函数f（x）在x=1处取得极值，a=1，f（x）bx21+b，令g（x）=1+，则g（x）=（2lnx），由g（x）0得，xe2，由g（x）0得，0xe2，g（x）在（0，e2上递减，在e2，+）上递增，即b1【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查恒成立问题，着重考查分类讨论思想与构造函数思想的应用，体现综合分析问题与解决问题能力，属于难题21如图，已知抛物线C：y2=2px（p0）和圆M：（x4）2+y2=1，过抛物线C上一点H（x0，y0）（y01）作两条直线与圆M相切于A，B两点，圆心M到抛物线准线的距离为（1）求抛物线C的方程；（2）若直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值【考点】抛物线的简单性质 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由圆心M（4，0）到抛物线准线的距离为=，解出即可得出（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，可得，直线HA的方程为（4x1）xy1y+4x115=0，同理可得：直线HB的方程为（4x2）xy2y+4x215=0，把H（x0，y0）（y01）代入可得：直线AB的方程为，令x=0，可得，利用其单调性即可得出【解答】解：（1）点M（4，0）到抛物线准线的距离为=，抛物线C的方程为y2=x（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），可得，直线HA的方程为（4x1）xy1y+4x115=0，同理可得：直线HB的方程为（4x2）xy2y+4x215=0，直线AB的方程为，令x=0，可得，t关于y0的函数在1，+）上单调递增，tmin=11【点评】本题考查了抛物线与圆的定义标准方程及其性质、直线与圆相切问题、切线的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）22如图，直线AB经过O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，O交直线OB于E、D，连接EC、CD（1）求证：直线AB是O的切线；（2）若tanCED=，O的半径为3，求OA的长【考点】圆的切线的性质定理的证明；直线与圆的位置关系；矩阵与矩阵的乘法的意义；简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程 【专题】计算题；证明题【分析】（1）要想证AB是O的切线，只要连接OC，求证ACO=90即可；（2）先由三角形判定定理可知，BCDBEC，得BD与BC的比例关系，最后由切割线定理列出方程求出OA的长【解答】解：（1）如图，连接OC，OA=OB，CA=CB，OCABAB是O的切线；（2）BC是圆O切线，且BE是圆O割线，BC2=BDBE，tanCED=，BCDBEC，设BD=x，BC=2x又BC2=BDBE，（2x）2=x（x+6），解得x1=