椭圆、双曲线综合训练.doc

椭圆、双曲线综合训练1、求以椭圆内的点为中点的弦所在直线方程.2、如图，在直角坐标系中，设椭圆的左右两个焦点分别为. 过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交，其中一个交点为.(1) 求椭圆的方程；(2) 设椭圆的一个顶点为，直线交椭圆于另一点，求的面积.xyBN 3、直线与双曲线相交于A、B两点，当为何值时，A、B在双曲线的同一支上？当为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？4、已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过，两点。（1）求椭圆的离心率；(2)在椭圆上是否存在点到定点(其中)的距离的最小值为1，若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，请给予证明5、已知的顶点在椭圆上，在直线上，且（1）当边通过坐标原点时，求的长及的面积； （2）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程6、已知双曲线的右焦点是F，右顶点是A，虚轴的上端点是B，（1）求双曲线的方程；（2）设Q是双曲线上的一点，且过点F、Q的直线与y轴交于点M，若，求直线的斜率7、已知椭圆C：1(ab0)，O：x2y2b2，点A，F分别是椭圆C的左顶点和左焦点，点P是O上的动点(1) 若P(1，)，PA是O的切线，求椭圆C的方程；(2) 是否存在这样的椭圆C，使得是常数？如果存在，求C的离心率，如果不存在，说明理由8、已知是椭圆上的三点，其中点的坐标为，过椭圆的中心，且（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线（斜率存在时）与椭圆交于两点，设为椭圆与轴负半轴的交点，且.求实数的取值范围9、设、分别是椭圆的左、右焦点.（1）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中 为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.答案1、求以椭圆内的点为中点的弦所在直线方程.1、2、如图，在直角坐标系中，设椭圆的左右两个焦点分别为. 过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交，其中一个交点为.(1) 求椭圆的方程；(2) 设椭圆的一个顶点为，直线交椭圆于另一点，求的面积. 解 解法一 (1)轴， 的坐标为. xyBN 由题意可知 在椭圆上 得 所求椭圆方程为. 解法二由椭圆定义可知. 由题意，. 又由可知 ， ，又，得 椭圆的方程为. 解 (2) 直线的方程为. 由 ,，又，. 3、直线与双曲线相交于A、B两点，当为何值时，A、B在双曲线的同一支上？当为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？解： 把代入 整理得：（1）当时，由0得且时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点若A、B在双曲线的同一支，须0 ，所以或故当或时，A、B两点在同一支上；当时，A、B两点在双曲线的两支上4、已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过，两点。（1）求椭圆的离心率；(2)在椭圆上是否存在点到定点(其中)的距离的最小值为1，若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，请给予证明解：（1）设椭圆方程为 椭圆方程为故椭圆的离心率为 （2）设存在点P满足题设条件，= 又 =，=， 当即，的最小值为 依题意， 当 即，此时， 的最小值为依题意，此时点P的坐标是 故当时，存在这样的点满足条件，点的坐标是5、已知的顶点在椭圆上，在直线上，且（1）当边通过坐标原点时，求的长及的面积； （2）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程解：（）因为，且边通过点，所以所在直线的方程为设两点坐标分别为由得所以又因为边上的高等于原点到直线的距离所以，（）设所在直线的方程为，由得设两点坐标分别为，因为在椭圆上，所以则，所以又因为的长等于点到直线的距离，即所以所以当时，边最长，（这时）此时所在直线的方程为6、已知双曲线的右焦点是F，右顶点是A，虚轴的上端点是B，（1）求双曲线的方程；（2）设Q是双曲线上的一点，且过点F、Q的直线与y轴交于点M，若，求直线的斜率解：（1）由条件知，代入中得，故双曲线的方程为（6分）（2）点F的坐标为，可设直线l的方程为，令，得，即设，则由得，即，即，得，故直线l的斜率为（12分）7、已知椭圆C：1(ab0)，O：x2y2b2，点A，F分别是椭圆C的左顶点和左焦点，点P是O上的动点(1) 若P(1，)，PA是O的切线，求椭圆C的方程；(2) 是否存在这样的椭圆C，使得是常数？如果存在，求C的离心率，如果不存在，说明理由7、解 (1) P(1，)在O：x2y2b2上， b24.(2分)又PA是O的切线，PAOP，0，即(1，)(1a，)0，解得a4. 椭圆C的方程为1.(5分)(2) 设F(c,0)，c2a2b2，设P(x1，y1)，要使得是常数，则有(x1a)2y，是常数即b22ax1a2(b22cx1c2)，(8分)比较两边，b2a2(b2c2)，ac，(10分) 故cb2ca2a(b2c2)，即ca2c3ca2a3，即e32e10，(12分) (e1)(e2e1)0，符合条件的解有e，即这样的椭圆存在，离心率为.(16分)8、已知是椭圆上的三点，其中点的坐标为，过椭圆的中心，且（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线（斜率存在时）与椭圆交于两点，设为椭圆与轴负半轴的交点，且.求实数的取值范围8、解（1）过（0，0） 则OCA=90， 即 2分又 将C点坐标代入得 解得 c2=8，b2=4 椭圆m： 4分（2）由条件D（0，2） M（0，t）1当k=0时，显然2t0 可得 9分设则 11分由 t1 将代入得 1t4 t的范围是（1，4）12分 综上t（2，4） 9、设、分别是椭圆的左、右焦点.（1）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中 为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.解