《从梯子的倾斜程度谈起》北师大九年级数学下册教学设计(8)

解直角三角形之正切与余切一. 本周教学内容： 解直角三角形 正切与余切 1. 直角三角形中各元素间的关系 （1）边与边之间的关系： a. 任意两边之和都大于第三边及任意两边之差都小于第三边。 b. 由勾股定理得a2b2c2 （2）角与角之间的关系： a. 三个内角之和等于180，即ABC180。 b. RtABC中，两个锐角互余，即AB90。 （3）角与边之间的关系： （tgA也记作tanA，ctgA也记作cotA） （4）直角三角形的面积公式： 2. 解直角三角形的定义及其分类 由直角三角形中的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 解直角三角形基本上可分为两大类问题：一类是已知一条边和一个锐角，另一类是已知两条边。 3. 有关解直角三角形的应用题。二. 重点和难点： 重点是解直角三角形，难点是解直角三角形的应用题。正切和余切的知识要点 1. 用类比的方法引入锐角的正切、余切概念，及互余两角的正切、余切间的关系；同一个角的正切与余切间的关系。 2. 掌握正切值、余切值随锐角角度变化的变化规律。 3. 掌握0，30，45，60，90角的正切值和余切值，并进行有关的计算。 4. 会查表求一个锐角的正切、余切值；同时，已知一锐角的正切或余切值，会利用三角函数表，求出锐角。 5. 会利用学过的四个三角函数定义进行有关的计算和证明，会用有关锐角三角函数的知识解决一些求直角三角形中某个未知元素的简单问题。【例题分析】 例1. 对比锐角的正弦与余弦的学习，谈一下你对正切、余切学习的认识。 解：(1)同正弦与余弦的定义一样，正切与余切也是在直角三角形中定义的。C90时， 它们与角度也有一一对应的关系。 (2)它们也具有类似于正弦、余弦值的变化规律，随着锐角的增大，tan的值也增大，而cot的值反而减小，不同的是tan是从0增大到不存在，它可以取到无穷大；而cot则从不存在减少到0；因此在查表时要特别注意cot的修正值的运用。 (3)从定义不难看出tan与cot互为倒数： tancot1 而当90时也有：tancot，cossin； 思考与探索：学了这四个三角函数后，我们知道当一个锐角确定后，它所在的直角三角形中任两条边的比值就确定了。我们规定了那么对于sinA、cosA我们是否也可以对它们的倒数进行规定呢？事实上，它们也是两个三角函数，我们将在今后的学习中见到它们。 分析：所给条件是，也就是知道了两条直角边的比值，凡已知比值的题，我们都可设一份为k，从而表达出各边的长度，从而完成解答。 解法一：设一份为k， 解法二： 解法二不如解法一简单、直接，但它运用了互余两角的正、余切关系及同一角的三角函数间的关系，有助于我们对它们的理解和巩固。用多种方法解题，能开扩我们的思路。 分析：要求sinB的值，我们只要知道b与c间的关系，或B的度数。从已知可知，我们可根据定义转化已知条件为三角形的三边关系，再加上勾股定理，就可得出三边间关系，或者运用互余两角间关系，及同角三角函数间关系也可以求出sinB。 解法一： 解法二： 正切和余切知识小结 1. 锐角的四个三角函数体现了三角形中边的比值与角的大小的一种对应关系，直角三角形中的边、角关系中，三者之中（角、两边）知二便可求。 2. 0，30，45，60，90角的四个三角函数都要掌握好，在计算或化简中，要分清运算，分清大小，选择算法，准确求值。 3. 弄清三角函数的增减性问题，是查表、比较大小、确定角或函数值的取值范围的关键。 4. 本节所学为锐角的四个三角函数，故它们的值都为正数，解题时不要忘记限定的条件是锐角。解直角三角形知识要点 1. 熟练掌握直角三角形中三边的关系、两个锐角间的关系及边与锐角间的关系。并能根据直角三角形中给出的一些元素正确地选用这些关系，准确、迅速地求出其他元素。 2. 理解什么叫解直角三角形，并熟练掌握直角三角形的解法，并能按照题中条件画出符合条件的图形，写出正确的解题过程。 3. 任意三角形的高能把斜三角形中的边角关系转化到n个直角三角形之中，因此，要求我们会解有特殊角的斜三角形中的有关计算题。 4. 通过学习理解并学会“转化的思想”，“方程的思想”，提高分析能力、计算能力。【例题分析】 例1. 如图，在RtABC中，C90。 （1）如果已知A和c，写出解ABC求未知元素的过程； （2）如果已知a，b，写出解ABC求未知元素的过程； （3）如果已知b，A，写出解ABC求未知元素的过程； （4）如果已知a，B，写出解ABC求未知元素的过程。 解： 说明： （1）从题中可见直角三角形中除直角以外的五个元素中，只要知道两个（其中至少有一个是边），我们就可以解这个三角形。 （2）在求某个元素时，可用方法不止一种时，最好用已知条件可直接求出的那种，这时算出的准确性高。像（2）、（3）、（4）小题中括号中结果都用到了解题过程中求出的数据，万一有错则直接影响到最后结果的正确性。 例2. 如图，在RtABC中，C90，AC16，AC边上中线BD17，解三角形ABC。（保留2个有效数字） 解：AC16，BD为AC边上中线 在RtDBC中，由勾股定理得： 在RtABC中，由勾股定理得： 例3. 如图，已知ABC中，AB4，AC6，ABC45，求BC长及tanC。 分析：ABC不是直角三角形，我们应借助直角三角形来完成，要求tanC，又知ABC45，故应作BC边上的高AD，在RtADB和RtADC中，可分别求出BD、CD，问题就解决了。 解：过点A作ADBC于D 探讨：解决斜三角形边角的问题，一定要借助直角三角形才能解决。因此作三角形一边上的高是常作的辅助线，要熟练。 这道题我们充分利用了45角的特殊性，除此以外，还可以过C点作CEBA，交BA延长线于E，如图。 则RtBEC为等腰直角三角形，若设BEECx tanC则可在求出DC后求出。 例4. 如图，ABC中，BAC45，ADBC于D，AD8，BD4，求DC和tanACD。 分析：条件中给了BAC45，而这个角不在直角三角形内，因此要设法将它放在直角三角形中，又已知条件中AD8，BD4，AB可求出。因此过C点作AB的垂线。 解：过C点作CEAB于E 在RtADB中，由勾股定理，AD8，BD4 在RtADC中，由勾股定理： 例5. 已知ABC中，AC4，C30，AD为高，BD1。求BC，AB，A，B。 分析：题目没有给出图形，我们要按照已知条件画图再求解。从条件看，已知一个锐角，这个角的一条边及另一边上的高，还有垂足到第三个顶点B的距离，而没有给出BC的长度，这样我们应该考虑到，D点可能在BC边上，也可能在BC的延长线上，此题应分两种情况求解。 解：如图，此题有两种情况。 在RtADC中，AC4，C30 【模拟试题】（答题时间：80分钟） 模拟练习一：一. 选择题（每小题6分，共30分） 1. 若锐角有，则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则角的取值范围（ ） A. B. C. D. 3. 若的两条直角边AC、BC分别为一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，如果各边的长度都扩大两倍，那么锐角A的各三角函数（ ） A. 都扩大两倍B. 都缩小一半C. 没有变化D. 不能确定 5. 下列各命题中正确的是（ ） A. 若为锐角，则 B. C. 若锐角，则 D. 等腰三角形周长15cm，底边长7cm，则底角的余切值为二. 填空题（每小题6分，共30分） 1. （1）_ （2）_ 2. 已知中，则tanB=_ 3. 已知：为锐角 （1）若，则； （2）若，则。（填“”或“”） 4. 已知为锐角 （1）若，则的取值_。 （2）若，则的取值范围_。 5. 中，则_度。三. 解答题（每题10分，共40分） 1. 计算： （1） （2） 2. 化简： （1） （2） 3. 在中，若cosA，cosB为关于x的一元二次方程的两个根，求m的值。 4. 为锐角，试证明： 模拟练习二：一. 选择题： 1. 在中，若已知a、A，则求b的式子正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，那么的值为（ ） A. B. C. D. 3. 等腰三角形底角的余弦值为，腰长为10，则腰上的高为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，则a、b、c分别为（ ） A. B. 3，4，5 C. 8，10，D. 8，6，10 5. 在中，于D，若，则tanB的值为（ ） A. B. C. 或D. 3二. 填空题：（每小题6分，共30分） 1. 如图，中，若，则AC=_，_，AD=_。 2. 在中，如果，则_，_。 3. 在中，则_度，_。 4. 如图，中，D为AC上一点，AD:DC2:1，则_，_。 5. 已知，中，则_，AB=_。三. 解答题（每小题10分，共40分） 1. 如图，在锐角中，于D，求AD、AB、AC的长。 2. 如图，中，AD平分，求AB。 3. 如图，钝角中，求。 4. 如图，中，于D，求k的值及各边的长。解直角三角形知识小结 1. 在直角三角形中，除了三边关系、三角关系、边角关系外，还有一些重要的定理（如斜边上的中线等于斜边的一半等），在解直角三角形中也常用到，通过这一节的学习，对直角三角形的有关性质应做一个系统的总结。 2. 斜三角形中的边角计算，要借助直角三角形来解决，因此按需要做高是常用的辅助线。我们常利用勾股定理或三角函数，将已知量和未知量间的关系表示出来，列出方程或方程组来解决问题。【试题答案】 模拟练习一：一. 选择题： 1.