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必修二第一章 立体几何初步 章节复习一 立体几何的主要内容 一 空间几何体 二 空间点 线 面的位置关系 一空间几何体 1空间几何体的结构 柱 锥 台 球的结构特征 简单几何体的结构特征 2三视图 柱 锥 台 球的三视图 简单几何体的三视图 3直观图 斜二测画法 平面图形 空间几何体 4柱 锥 台 球的表面积与体积 画图 识图 柱锥台球 圆锥 圆台 多面体 旋转体 圆柱 棱柱 棱锥 棱台 概念 结构特征 侧面积 体积 球 概念 性质 侧面积 体积 由上述几何体组合在一起形成的几何体称为简单组合体 旋转体 1柱 锥 台 球及简单组合体 简单组合体 1 柱 锥 台 球及简单组合体 棱柱的性质 1 侧棱都相等 侧面都是平行四边形 2 两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形 3 平行于侧棱的截面都是平行四边形 棱柱的分类 按边数分 按侧棱是否与底面垂直分 斜棱柱直棱柱正棱柱 三棱柱四棱柱五棱柱 四棱柱 平行六面体 长方体 直平行六面体 正四棱柱 正方体 底面变为平行四边形 侧棱与底面垂直 底面是矩形 底面为正方形 侧棱与底面边长相等 几种六面体的关系 柱 锥 台 球的结构特征 棱锥 S A B C D 结构特征 有一个面是多边形 其余各面都是有一个公共顶点的三角形 按底面多边形的边数 可以分为三棱锥 四棱锥 五棱锥 棱锥的分类 正棱锥 底面是正多边形 并且顶点在底面内的射影是底面中心的棱锥 知识梳理 棱锥 1 定义 有一个面是多边形 其余各面是有一个公共顶点的三角形 由这些面所围成的几何体叫棱锥 如果一个棱锥的底面是正多边形 并且顶点在底面的射影是底面中心 这样的棱锥叫做正棱锥 2 性质 正棱锥的性质 1 各侧棱相等 各侧面都是全等的等腰三角形 2 棱锥的高 斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形 棱锥的高 侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形 正棱锥性质 棱锥的高 斜高和斜高在底面的射影组成一个直角三角形 棱锥的高 侧棱和侧棱在底面的射影组成一个直角三角形 Rt SOH Rt SOB Rt SHB Rt BHO 棱台由棱锥截得而成 所以在棱台中也有类似的直角梯形 O S H B C D A 柱 锥 台 球的结构特征 棱台 结构特征 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥 底面与截面之间的部分是棱台 柱 锥 台 球的结构特征 圆锥 S A B O 结构特征 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴 其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥 柱 锥 台 球的结构特征 圆台 结构特征 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥 底面与截面之间的部分是圆台 柱 锥 台 球的结构特征 球 结构特征 O 半径 球心 以半圆的直径所在直线为旋转轴 半圆面旋转一周形成的旋转体 1 圆锥的展开图是一个扇形 其运算常用到一个扇形和一个直角三角形 n 总结 运算常用图形 2 圆台的展开图是一个扇环 其运算常用到两个扇形和两个直角三角形 还台为锥 总结 运算常用图形 3 球 总结 运算常用图形 S A B C D O M 4 正棱锥中的计算常用到四个直角三角形 总结 运算常用图形 A1 C1 B1 A B C O D1 D O1 5 正棱台中的计算常用到两个直角梯形和两个直角三角形 总结 运算常用图形 E F 正四棱锥底面正方形边长为4cm 高与斜高的夹角为30 求正四棱锥的侧面积和表面积 单位 cm2 S棱锥侧 32 cm2 S表面积 S侧 S底 48 cm2 随堂练习1 直角三角形的三边长分别为3cm 4cm 5cm 绕三边旋转一周分别形成三个几何体 说明它们的结构特征 思考 2 直观图 斜二测画法步骤是 1 在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴 两轴相交于点O 画直观图时 把它们画成对应的x 轴和y 轴 两轴交于点O 且使 x O y 45 或135 它们确定的平面表示水平面 2 已知图形中平行于x轴或y轴的线段 在直观图中分别画成平行于x 轴或y 轴的线段 3 已知图形中平行于x轴的线段 在直观图中保持原长度不变 平行于y轴的线段 长度为原来的一半 平行 相交性保持不变 一平面图形的直观图如图所示 它原来的面积是 A 4B C D 8 A 随堂练习2 S原 S直 S直 S原 2 三视图 三视图的画法 1 三视图的位置 2 三视图的长 宽 高的关系主 俯视图长对正 主 左视图高平齐 俯 左视图宽相等 3 实 虚线的应用能看见的轮廓线和棱用实线表示 不能看见的轮廓线和棱用虚线表示 正视图方向 侧视图方向 俯视图方向 长 高 宽 宽相等 长对正 高平齐 正视图 侧视图 俯视图 三视图的位置 2 三视图与直观图 将正三棱柱截去三个角 如图1所示分别是三边的中点 得到几何体如图2 则该几何体按图2所示方向的侧视图 或称左视图 为 A 侧视 图1 图2 P Q 随堂练习3 如图 一个空间几何体的主视图 左视图 俯视图为全等的等腰直角三角形 如果直角三角形的直角边长为1 那么这个几何体的表面积是 思考 解 根据三视图 可得这个几何体为三棱锥P ABC 三条侧棱长都为1 且两两垂直 三个侧面的面积和为 底面积为 故表面积为 3 柱 锥 台 球的表面积和体积 S正棱台侧 c c h S直棱柱侧 ch S正棱锥侧 ch S圆柱侧 cl 2 rl S圆锥侧 cl rl S圆台侧 c c l r r l S球 4 R2 柱 锥 台的体积 V柱 Sh 体积公式 常用结论 1 等底等高的柱体或锥体的体积相等 2 等底 或等高 的柱体或锥体体积之比等于高 或底 的比 3 平行于底面的平面截椎体所得小锥体与原锥体的体积之比等于高的比的立方 3 柱 锥 台 球的表面积和体积 例1有一个几何体由8个面围成 每一个面都是正三角形 并且有四个顶点A B C D在同一个平面内 ABCD是边长为30cm的正方形 说明这个几何体的结构特征 画出其直观图和三视图 并求出它的表面积和体积 两个共底的正四棱锥 俯视图 例2 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB 3 AD 2 AA1 1 则三棱锥A CB1D1的体积为 2 应用举例 课堂检测 1 一个圆台 上 下底面半径分别为1 2 母线与底面的夹角为60 求圆台的表面积与体积 2 一个容器的外形是一个棱长为2的正方体 其三视图如图所示 则容器的容积为 几何体为正方体内倒置的圆锥 课堂检测 3 2009 宁夏 海南高考 一个棱锥的三视图如图 则该棱锥的表面积 单位 cm2 为 A 48 12B 48 24C 36 12D 36 24 A 课堂检测 边长为5cm的正方形ABCD是圆柱的轴截面 则从A到C绕圆柱侧面的最短路程是 思考 如图 一个空间几何体的主视图 左视图 俯视图为全等的等腰直角三角形 如果直角三角形的直角边长为1 求 1 P到面ABC距离 2 这个几何体的外接球表面积 拓展 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB 3 AD 2 AA1 1 则三棱锥A CB1D1的外接球体积为 变式 总结反思 谢谢指导 必修二第一章 立体几何初步 章节复习二 安远一中胡周明 1 平面及其基本性质 公理 2 空间点 线 面的位置关系 2 空间点 线 面的位置关系 2 直线与平面平行 垂直的判定与性质定理 2 空间点 线 面的位置关系 2 空间点 线 面的位置关系 3 两平面平行 垂直的判定与性质定理 2 空间点 线 面的位置关系 二 点 直线 平面之间的位置关系 四个公理点与直线位置关系点与平面位置关系五种位置直线与直线位置关系直线与平面位置关系平面与平面位置关系两种角异面直线夹角二面角二类关系垂直 平行线面平行的判定定理与性质定理线面垂直的判定定理与性质定理八个定理面面平行的判定定理与性质定理面面垂直的判定定理与性质定理 平行 垂直关系判定方法 1 线线平行的判定方法 利用线线平行的定义证明共面而且无公共点 结合反证法 利用平行公理4 利用平行四边形的性质 角 三角形 梯形中位线 线段对应成比例等 利用线面垂直的性质定理 若a b 则a b 利用线面平行性质定理 利用面面平行的性质定理 若 a b 则a b 2 线面平行的判定方法 线面平行的定义 无公共点 利用线面平行的判定定理 a b a b a 面面平行的性质定理 a a 面面平行的性质 a a a a 不常用的结论 3 面面平行的判定方法 平面平行的定义 无公共点 面面平行的判定定理 若a b a b 且a b A 平面平行的性质 传递性 线面垂直的性质定理 若a a 垂直关系 4 线面垂直的证明方法主要有 利用线面垂直的定义 利用判定定理 m n m n A l m l n l 利用面面平行的性质定理 a a 利用面面垂直的性质定理 l a a l a 利用线面垂直判定定理的推论 a b a b 5 面面垂直的证明方法 先证明线面垂直 6 线线垂直的证明方法 两直线夹角90度 垂直于平行线中的一条 必另一条 转化为线面垂直的性质 若直线垂直于平面 则直线垂直平面内的任意直线 已知 是平面 m n是直线 给出下列命题 若m n m 则n 若m n 则m n 若m m 则 若 则 若m与n为异面直线 且m 则n与 平行 其中不正确的命题的序号是 3 在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中 1 求异面直线A1B与B1C所成的角的大小 4 求证 平面A1BD 平面CB1D1 3 求点A1到平面CB1D1的距离 2 求二面角A BD A1的正切值 基础型例题 例4 如图 在梯形ABCD中 AB CD AD DC CB a ABC 60 平面ACFE 平面ABCD 四边形ACFE是矩形 AE a M为线段EF上的点 1 求证 BC 平面ACFE 2 当EM为何值时 AM 平面BDF 探究型例题 1 证明 在梯形ABCD中 AB CD AD DC CB a ABC 60 DCB ADC 120 DCA 30 ACB 90 AC BC 又 平面ACFE 平面ABCD 平面ACFE 平面ABCD AC BC 平面ACFE 2 当EM EF a时 AM 平面BDF 设AC BD O 由条件易得CO AC 在矩形ACFE中 FM AO 且FM AO 所以四边形AOFM为平行四边形 所以AM FO 所以AM 平面BDF N 练习1 立体几何解题中的转化策略 平面中的数量关系隐藏着三角形特征 练习1 立体几何解题中的转化策略 转化需要辅助线的添加 课后练习1 策略 线面平行转化成线线平行 空间转化平面 立体几何解题中的转化策略 一个多面体的直观图及三视图如图所示 课后练习2 一个多面体的直观图及三视图如图所示 直三棱柱 1 求该多面