高考数学 8.3 圆 的 方 程课件.ppt

第三节圆的方程 知识梳理 1 必会知识教材回扣填一填圆的定义 方程 定点 定长 a b r d2 e2 4f 0 2 必备结论教材提炼记一记圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2 点m x0 y0 则 1 x0 a 2 y0 b 2 r2 点在圆上 2 x0 a 2 y0 b 2 r2 点在圆外 3 x0 a 2 y0 b 2 r2 点在圆内 3 必用技法核心总结看一看 1 常用方法 待定系数法 直接法 定义法 几何法 代入法 2 数学思想 数形结合思想 转化与化归思想 小题快练 1 思考辨析静心思考判一判 1 方程 x a 2 y b 2 t2 t r 表示圆心为 a b 半径为t的一个圆 2 方程x2 y2 ax 2ay 2a2 a 1 0表示圆心为半径为的圆 3 方程ax2 bxy cy2 dx ey f 0表示圆的充要条件是a c 0 b 0 d2 e2 4af 0 4 若点m x0 y0 在圆x2 y2 dx ey f 0外 则x02 y02 dx0 ey0 f 0 5 已知点a x1 y1 b x2 y2 则以ab为直径的圆的方程是 x x1 x x2 y y1 y y2 0 解析 1 错误 当t 0时 方程表示圆心为 a b 半径为 t 的圆 2 错误 当a2 2a 2 4 2a2 a 1 0即 20得方程ax2 bxy cy2 dx ey f 0表示圆 反之也成立 4 正确 因为点m x0 y0 在圆外 所以即x02 y02 dx0 ey0 f 0 5 正确 设m x y 是圆上异于直径端点a b的点 由 1 得 x x1 x x2 y y1 y y2 0 显然a b也满足上式 所以以ab为直径的圆的方程为 x x1 x x2 y y1 y y2 0 答案 1 2 3 4 5 2 教材改编链接教材练一练 1 必修2p124t1 2 改编 圆x2 y2 2x 4y 1 0的圆心坐标是 半径是 解析 由x2 y2 2x 4y 1 0得 x 1 2 y 2 2 6 所以该圆的圆心坐标为 1 2 半径为 答案 1 2 2 必修2p124t4改编 已知圆c经过a 5 2 b 1 4 两点 圆心在x轴上 则圆c的方程为 解析 因为圆心在x轴上 设圆心为 a 0 所以圆的方程为 x a 2 y2 r2 又因为a 5 2 b 1 4 在圆上 所以解得a 1 r2 20 所以圆的方程为 x 1 2 y2 20 答案 x 1 2 y2 20 3 真题小试感悟考题试一试 1 2015 益阳模拟 若曲线c x2 y2 2ax 4ay 5a2 4 0上所有的点均在第二象限内 则a的取值范围为 a 2 b 1 c 2 d 1 解析 选c 曲线c是圆心为 a 2a 半径为2的圆 因为曲线c上所有的点均在第二象限内 所以得a 0 且圆与x轴 y轴相离 所以把y 0或x 0代入圆的方程 由判别式小于零 得a的取值范围是 2 2 2014 陕西高考 若圆c的半径为1 其圆心与点 1 0 关于直线y x对称 则圆c的标准方程为 解析 因为圆c的圆心与点p 1 0 关于直线y x对称 所以圆c的圆心坐标为 0 1 且圆c的半径为1 所以所求圆的标准方程为x2 y 1 2 1 答案 x2 y 1 2 1 3 2014 山东高考 圆心在直线x 2y 0上的圆c与y轴的正半轴相切 圆c截x轴所得的弦的长为2 则圆c的标准方程为 解析 设圆心 a a 0 半径为a 由勾股定理 a2 解得 a 2 所以圆心为 2 1 半径为2 所以圆c的标准方程为 x 2 2 y 1 2 4 答案 x 2 2 y 1 2 4 考点1确定圆的方程 典例1 1 若圆心在x轴上 半径为的圆o 位于y轴左侧 且与直线x 2y 0相切 则圆o 的方程是 a x 5 2 y2 5或 x 5 2 y2 5b x 2 y2 5c x 5 2 y2 5d x 5 2 y2 5 2 如果一个三角形的三边所在的直线方程分别为x 2y 5 0 y 2 0 x y 4 0 则该三角形的外接圆方程为 解题提示 1 先设圆心的坐标 依据圆与直线相切 可得到圆心到直线的距离等于半径 进而得到圆的方程 2 可依据条件求出三角形的三个顶点坐标 再求圆心坐标 半径或利用待定系数法直接求解 规范解答 1 选d 设圆心坐标为 a 0 a 0 因为圆与直线x 2y 0相切 所以解得a 5 因此圆的方程为 x 5 2 y2 5 2 因为三角形的三边所在的直线方程分别为x 2y 5 0 y 2 0 x y 4 0 解方程组可得三个顶点的坐标 分别设为a 1 2 b 2 2 c 3 1 因为ab的垂直平分线方程为x bc的垂直平分线方程为 x y 1 0 解方程组即圆心坐标为半径因此 所求圆的方程为即x2 y2 3x y 0 答案 x2 y2 3x y 0 一题多解 解答本题还有如下解法 设圆的方程为x2 y2 dx ey f 0 因为圆过点a 1 2 b 2 2 c 3 1 所以12 22 d 2e f 0 22 22 2d 2e f 0 32 12 3d e f 0 联立 得 d 3 e 1 f 0 因此所求圆的方程为 x2 y2 3x y 0 答案 x2 y2 3x y 0 易错警示 解答本例 1 易出现以下两点错误 1 忽略圆o 位于y轴左侧 设圆心时忽略a 0 2 利用点到直线的距离公式时 忽略绝对值号而出错 互动探究 若题 2 中的条件不变 求能覆盖此三角形且面积最小的圆的方程 解析 由原题可知 三角形的三个顶点的坐标分别为a 1 2 b 2 2 c 3 1 易得该三角形为钝角三角形 而能够覆盖三角形且面积最小的圆是以钝角的对边 最长边 为直径的圆 而最长边的两个端点坐标分别为a 1 2 c 3 1 即圆的直径为 圆心坐标为因此所求圆的方程为 x 2 2 规律方法 1 求圆的方程的两种方法 1 直接法 根据圆的几何性质 直接求出圆心坐标和半径 进而写出方程 2 待定系数法 若已知条件与圆心 a b 和半径r有关 则设圆的标准方程 依据已知条件列出关于a b r的方程组 从而求出a b r的值 若已知条件没有明确给出圆心或半径 则选择圆的一般方程 依据已知条件列出关于d e f的方程组 进而求出d e f的值 2 确定圆心位置的方法 1 圆心在过切点且与切线垂直的直线上 2 圆心在圆的任意弦的垂直平分线上 3 两圆相切时 切点与两圆圆心共线 提醒 解答圆的有关问题 应注意数形结合 充分运用圆的几何性质 变式训练 1 圆心在y轴上且过点 3 1 的圆与x轴相切 则该圆的方程是 a x2 y2 10y 0b x2 y2 10y 0c x2 y2 10 x 0d x2 y2 10 x 0 解析 选b 由题意 设圆心为 0 b 半径为r 则r b 所以圆的方程为x2 y b 2 b2 因为点 3 1 在圆上 所以9 1 b 2 b2 解得b 5 所以圆的方程为x2 y2 10y 0 2 2015 淄博模拟 过直线2x y 4 0和圆 x 1 2 y 2 2 4的交点 并且面积最小的圆的方程为 解析 选a 设所求圆的方程为 x 1 2 y 2 2 4 k 2x y 4 0 即x2 y2 2 k 1 x k 4 y 1 4k 0 化为圆的标准方程得 x k 1 2 y k 4 2 k 1 2 k 4 2 4k 1 由 k 1 2 k 4 2 1 4k 0 得5k2 16k 16 0 此时 所求圆的半径r 显然 当k 即k 时 5k2 16k 16有最小值 此时 圆的半径最小 从而面积最小 故所求的圆的方程为 加固训练 1 圆心在y轴上 半径为1 且过点 1 2 的圆的方程为 a x2 y 2 2 1b x2 y 2 2 1c x 1 2 y 3 2 1d x2 y 3 2 1 解析 选a 由题意 设圆心坐标为 0 b 则 1 解得b 2 故圆的方程为x2 y 2 2 1 2 圆心在直线2x y 3 0上 且过点 5 2 和 3 2 的圆的方程为 解析 方法一 设所求圆的圆心为 a b 半径长为r 由题意得解方程组得a 2 b 1 r2 10 所以所求圆的方程为 x 2 2 y 1 2 10 方法二 因点 5 2 和 3 2 在圆上 故圆心在这两点所连线段的垂直平分线上 可求得垂直平分线的方程为x 2y 4 0 又圆心在直线2x y 3 0上 故圆心为两直线的交点 由求得两直线交点坐标为 2 1 由两点间的距离公式可求得半径长为 故所求圆的方程为 x 2 2 y 1 2 10 答案 x 2 2 y 1 2 10 考点2与圆有关的轨迹问题 典例2 1 2015 福州模拟 已知点a 1 0 点b 2 0 动点c满足 ac ab 则点c与点p 1 4 所连线段的中点m的轨迹方程为 2 2014 新课标全国卷 已知点p 2 2 圆c x2 y2 8y 0 过点p的动直线l与圆c交于a b两点 线段ab的中点为m o为坐标原点 求m的轨迹方程 当 op om 时 求l的方程及 pom的面积 本题源于教材必修2p122例子 解题提示 1 先求出点c的轨迹方程 再用相关点法求m的轨迹方程 2 利用圆的几何性质转化为求解 利用 op om 转化求解 规范解答 1 由题意可知 动点c的轨迹是以 1 0 为圆心 3为半径长的圆 方程为 x 1 2 y2 9 设m x0 y0 则由中点坐标公式可求得c 2x0 1 2y0 4 代入点c的轨迹方程得4x02 4 y0 2 2 9 化简得x02 y0 2 2 故点m的轨迹方程为x2 y 2 2 答案 x2 y 2 2 2 圆c的方程可化为x2 y 4 2 16 所以圆心为c 0 4 半径为4 设m x y 则 x y 4 2 x 2 y 由题设知故x 2 x y 4 2 y 0 即 x 1 2 y 3 2 2 由于点p在圆c的内部 所以m的轨迹方程是 x 1 2 y 3 2 2 由 可知m的轨迹是以点n 1 3 为圆心 为半径的圆 由于 op om 故o在线段pm的垂直平分线上 又p在圆n上 从而on pm 因为on的斜率为3 所以l的斜率为 直线l的方程为 又 om op o到l的距离为 pm 所以 pom的面积为 规律方法 求与圆有关的轨迹问题的四种方法 变式训练 2015 郑州模拟 若圆x2 y2 ax 2y 1 0与圆x2 y2 1关于直线y x 1对称 过点c a a 的圆p与y轴相切 则圆心p的轨迹方程为 a y2 4x 4y 8 0b y2 2x 2y 2 0c y2 4x 4y 8 0d y2 2x y 1 0 解析 选c 由圆x2 y2 ax 2y 1 0与圆x2 y2 1关于直线y x 1对称可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y x 1上 故可得a 2 即点c 2 2 所以过点c 2 2 且与y轴相切的圆的圆心的轨迹方程为 x 2 2 y 2 2 x2 整理得 y2 4x 4y 8 0 加固训练 1 点p 4 2 与圆x2 y2 4上任一点连线的中点轨迹方程是 a x 2 2 y 1 2 1b x 2 2 y 1 2 4c x 4 2 y 2 2 1d x 2 2 y 1 2 1 解析 选a 设圆上任意一点的坐标为 x1 y1 其与点p 4 2 所连线段的中点坐标为 x y 则代入x2 y2 4 得 2x 4 2 2y 2 2 4 化简得 x 2 2 y 1 2 1 2 设定点m 3 4 动点n在圆x2 y2 4上运动 以om on为邻边作平行四边形monp 求点p的轨迹 解析 如图所示 设p x y n x0 y0 则线段op的中点坐标为则线段mn的中点坐标为因为平行四边形的对角线互相平分 所以整理得又因为点n x 3 y 4 在圆x2 y2 4上 所以 x 3 2 y 4 2 4 直线om 与 x 3 2 y 4 2 4联立组成方程组 考点3与圆有关的最值问题知 考情与圆有关的最值问题是高考及各类考试的一个常考点 多以选择题 填空题的形式出现 考查距离 斜率 函数的最值及数形结合思想 明 角度命题角度1 斜率型最值 典例3 已知实数x y满足方程x2 y2 4x 1 0 则的最大值为 最小值为 解题提示 表示圆上的点 x y 与坐标原点 0 0 的连线的斜率 规范解答 原方程可化为 x 2 2 y2 3 表示以 2 0 为圆心 为半径的圆 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率 所以设 k 即y kx 当直线y kx与圆相切时 斜率k取最大值或最小值 此时解得 如图 所以答案 命题角度2 截距型最值 典例4 2015 郑州模拟 已知实数x y满足x2 y2 4 y 0 则m x y的取值范围是 a 2 4 b 2 4 c 4 4 d 4 2 解题提示 可根据点 x y 在半圆x2 y2 4 y 0 上 利用数形结合的思想转化为直线在y轴上的截距的取值范围求解 规范解答 选b 由于y 0 所以x2 y2 4 y 0 为上半圆 x y m 0是直线 如图 且斜率为 在y轴上截距为m 又当直线过点 2 0 时 m 2 解得m 2 4 选b 命题角度3 距离型最值 典例5 2015 揭阳模拟 设点p是函数的图象上的任意一点 点q 2a a 3 a r 则 pq 的最小值为 解题提示 点q 2a a 3 在直线x 2y 6 0上 可将问题转化为函数的图象上的点到直线x 2y 6 0的最小距离 规范解答 选c 如图所示 点p在半圆c 实线部分 上 且由题意知 c 1 0 点q在直线l x 2y 6 0上 过圆心c作直线l的垂线 垂足为a 则 悟 技法与圆有关的最值问题的常见解法 1 形如 形式的最值问题 可转化为动直线斜率的最值问题 2 形如t ax by形式的最值问题 可转化为动直线截距的最值问题 3 形如 x a 2 y b 2形式的最值问题 可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题 通 一类1 2015 广州模拟 设p x y 是圆 x 2 2 y2 1上的任意点 则 x 5 2 y 4 2的最大值为 a 6b 25c 26d 36 解析 选d 因为圆 x 2 2 y2 1的圆心坐标为 2 0 该圆心到点 5 4 的距离为 5 所以圆 x 2 2 y2 1上的点到 5 4 距离的最大值为6 即 x 5 2 y 4 2的最大值为36 2 2015 金华模拟 已知p是直线l 3x 4y 11 0上的动点 pa pb是圆x2 y2 2x 2y 1 0的两条切线 c是圆心 那么四边形pacb面积的最小值是 解析 选c 圆的标准方程为 x 1 2 y 1 2 1 圆心为c 1 1 半径为r 1 根据对称性可知 四边形pacb的面积为2s apc 2 pa r pa 要使四边形pacb的面积最小 则只需 pc 最小 最小时为圆心到直线l 3x 4y 11 0的距离d 2 所以四边形pacb面积的最小值为 3 2015 怀化模拟 已知圆f的圆心为 4 0 半径为1 且直线y kx 2上至少存在一点 使得以该点为圆心 1为半径的圆与圆f有公共点 则实数k的最大值为 解析 因为圆f的圆心为 4 0 半径为1 所以圆f的方程为 x 4 2 y2 1 设直线y kx 2上存在一点a满足题意 则 fa 2 所以 fa min 2 解得0 k 故实数k的最大值为 答案 加固训练 1 2015 日照模拟 直线y x 1上的点到圆x2 y2 4x 2y 4 0的最近距离为 解析 选c