2019_2020学年高中数学第3章圆锥曲线与方程44.1曲线与方程学案北师大版.docx

4.1曲线与方程学习目标：1.能够结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想(重点).掌握求曲线方程的一般方法，进一步体会曲线与方程的关系，感受解析几何的思想方法(难点)1方程与曲线的定义一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么，这条曲线叫作方程的曲线，这个方程叫作曲线的方程只有同时具备了上述两个性质，才能称为“方程的曲线”和“曲线的方程”思考：曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解，能否说f(x，y)0是曲线C的方程？试举例说明提示不能还要验证以方程f(x，y)0的解为坐标的点是否都在曲线上例如曲线C为“以原点为圆心，以2为半径的圆的上半部分”与“方程x2y24”，曲线上的点都满足方程，但曲线的方程不是x2y24.2方程与曲线的关系3求曲线的方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件p的点M的集合PM|p(M)；(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)0；(4)化方程f(x，y)0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上思考：求曲线的方程的某些步骤是否可以省略？提示可以省略如果化简前后方程的解集是相同的，可以省略步骤说明，如有特殊情况，可以适当说明另外，也可以根据情况省略步骤“写集合”，直接列出曲线方程1.判断正误(1)过点P(x0，y0)斜率为k的直线的方程是k()(2)若点P(x0，y0)在曲线C上，则有f(x0，y0)0()(3)方程yx与y表示同一条曲线()答案(1)(2)(3) 2下列点中，在曲线x0上的是()A(4，3) B(3，4)C(4，3) D(5，0)C经检验，只有(4，3)满足方程x0.3方程x2xyx表示的图形是()A一个点 B一个点和一条直线C一条直线 D两条直线D由x2xyx变形得x(xy1)0，x0或xy10，故选D.4在平面直角坐标系内，到原点距离为3的点M的轨迹方程为_x2y29设M(x，y)，则3，x2y29.曲线与方程的关系判断【例1】(1)判断点A(4，3)，B(3，4)，C(，2)是否在方程x2y225(x0)所表示的曲线上；(2)方程x2(x21)y2(y21)所表示的曲线是C，若点M(m，)与点N在曲线C上，求m，n的值解(1)把点A(4，3)的坐标代入方程x2y225中，满足方程，且点A的横坐标满足x0，则点A在方程x2y225(x0)所表示的曲线上把点B(3，4)的坐标代入x2y225，因为(3)2(4)23425，所以点B不在方程x2y225(x0)所表示的曲线上把点C(，2)的坐标代入x2y225，得()2(2)225，满足方程，但因为横坐标不满足x0的条件，所以点C不在方程x2y225(x0)所表示的曲线上(2)因为点M(m，)，N在曲线C上，所以它们的坐标都是方程的解，所以m2(m21)21，n2(n21)，解得m，n或.1判断点与曲线的位置关系要从曲线与方程的定义入手(1)要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满足方程即可；(2)若所给点在已知曲线上，则点的坐标适合已知曲线的方程，由此可求点或方程中的参数2判断方程是否是曲线的方程，要从两个方面着手，一是检验点的坐标是否都适合方程，二是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上1下列图形的方程与图中曲线的方程对应正确的是()D方程x2y21表示的曲线是图(1)；方程x2y20表示的曲线是图(2)；方程lg xlg y1表示的曲线是图(3)；故选D.由方程确定曲线【例2】下列方程分别表示什么曲线：(1)(xy1)0；(2)2x2y24x2y30；解(1)由方程(xy1)0可得或x10，即xy10(x1)或x1.故方程表示一条射线xy10(x1)和一条直线x1.(2)对方程左边配方得2(x1)2(y1)20.2(x1)20，(y1)20，解得从而方程表示的图形是一个点(1，1)曲线的方程是曲线的代数体现，判断方程表示什么曲线，可根据方程的特点利用配方、因式分解等方法对已知方程变形，转化为我们熟知的曲线方程，在变形时，应保证变形过程的等价性2方程x(x2y21)0和x2(x2y21)20所表示的图形是()A前后两者都是一条直线和一个圆B前后两者都是两点C前者是一条直线和一个圆，后者是两点D前者是两点，后者是一条直线和一个圆Cx(x2y21)0x0或x2y21，表示直线x0和圆x2y21.x2(x2y21)20表示点(0，1)，(0，1)求曲线的方程探究问题1“轨迹方程”与“轨迹”有什么异同？提示(1)动点的轨迹方程实质上是建立轨迹上的点的坐标间的关系，即动点坐标(x，y)所适合的方程f(x，y)0.有时要在方程后根据需要指明变量的取值范围(2)轨迹是点的集合，是曲线，是几何图形故求点的轨迹时，除了写出方程外，还必须指出这个方程所代表的曲线的形状、位置、范围、大小等2求曲线的方程，其实质就是根据题设条件，把几何关系通过“坐标”转化成代数关系，得到对应的方程求解时需要注意什么？提示(1)求曲线方程的一般步骤是：建系、设点、列式、化简、检验(2)求曲线方程时注意不要把范围扩大或缩小，也就是要检验轨迹的纯粹性和完备性即由曲线求方程时，要注意准确确定范围，应充分挖掘题目中的隐含条件、限制条件，求出方程后要考虑相应的限制条件，避免因考虑不全面致误(3)由于观察的角度不同，因此探求关系的方法也不同，解题时要善于从多角度思考问题【例3】(1)已知点M(2，0)，N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是()Ax2y24(x2)Bx2y24Cx2y216 Dx2y216(x4)(2)动点M在曲线x2y21上移动，M和定点B(3，0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程思路探究(1)直接利用直角三角形的性质建立等量关系；(2)设点P的坐标(x，y)与点M(x0，y0)及点B(3，0)的坐标间满足：x，y，代入曲线x2y21中，化简即可(1)A由直角三角形斜边上中线等于斜边长的一半知|PO|2，即x2y24，但M，N，P不能共线，故P点轨迹方程为x2y24(x2)(2)解：设P(x，y)，M(x0，y0)，因为P为MB的中点，所以即又因为M在曲线x2y21上，所以(2x3)24y21，所以P点的轨迹方程为(2x3)24y21.1.(变条件)把本例(2)中的条件“M和定点B(3，0)连线的中点为P”改为“2”，求动点P的轨迹方程解设点P的坐标(x，y)与点M(x0，y0)由2可知(xx0，yy0)2(3x，y)，即x03x6，y03y.又因为点M在曲线x2y21上，所以(3x6)2 9y21.2.(变条件)把本例(2)中的条件 “M和定点B(3，0)连线的中点为P”改为“一动点P和定点B(3，0)连线的中点为M”，求动点P的轨迹方程解设P(x，y)，M(x0，y0)因为M为PB的中点所以又因为M在曲线x2y21上，所以1，化简得(x3)2y24，所以P点的轨迹方程为(x3)2y24.(1)直接法求动点轨迹的方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明(2)代入法求解轨迹方程的步骤：设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0)利用条件求出两动点坐标之间的关系代入相关动点的轨迹方程化简、整理，得所求轨迹方程提醒：对于此类问题，在解题过程中，最容易出错的环节是求轨迹方程中自变量的取值范围1如果曲线C上的点的坐标满足方程F(x，y)0，则下列说法正确的是()A曲线C的方程是F(x，y)0B方程F(x，y)0的曲线是CC坐标不满足方程F(x，y)0的点都不在曲线C上D坐标满足方程F(x，y)0的点都在曲线C上C原说法写成命题形式即“若点M(x，y)是曲线C上的点，则M点的坐标适合方程F(x，y)0”，其逆否命题是“若M点的坐标不适合方程F(x，y)0，则M点不在曲线C上”，此说法即C.2方程x2y21(xy0)的曲线形状是()A BCDCxy0，x0，y0或x0，y0.3点A(1，2)在曲线x22xyay50上，则a_5由题意可知点(1，2)是方程x22xyay50的一组解，即142a50，解得a5.4已知定点A(0，1)，直线l1：y1，记过点A且与直线l1相切的圆的圆心为点C.则动点C的轨迹E的方程为_x24y