数学北师大版九年级下册圆的复习.docx

第三章圆系统地归纳总结本章的知识内容.通过系统地归纳总结本章的知识内容,学会整理归纳知识的方法,使其条理化、系统化.通过对圆与各种图形位置关系的复习,认识事物之间是相互联系的,通过运动和变化,知道事物之间可以相互转化.【重点】1.垂径定理的应用,相等的弧、弦、圆心角与圆周角之间的关系应用. 2.掌握切线的性质及判定并能熟练应用其解决与圆有关的问题.【难点】应用圆的有关性质及推论与解直角三角形、相似三角形的知识相结合解决问题.圆一、圆及其相关概念1.概念:圆可以看成是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形,定点就是圆心,定长就是半径.2.相关概念:弦、直径、圆弧(优弧、半圆、劣弧)、等圆、等弧.二、圆的对称性(1) 圆是轴对称图形.对称轴:直径所在的直线;垂径定理及其逆定理:垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.垂径定理逆定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.(2)圆是中心对称图形.对称中心:圆心.性质:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等;如果两个圆心角、两条弦、两条弧中有一组量相等,那么其余各组量都分别相等.三、圆周角与圆心角的关系(1)圆周角概念:顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点的角叫圆周角.(2)圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.(3)圆周角定理推论:同弧或等弧所对的圆周角相等.直径所对的圆周角是直角;90的圆周角所对的弦是直径.(4)圆内接四边形.概念:顶点都在圆上的四边形是圆内接四边形,这个圆叫做四边形的外接圆.性质:圆内接四边形对角互补.四、确定圆的条件(1)不在同一条直线上的三个点确定一个圆.(2)三角形的外接圆.三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆.外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心.它到三角形三个顶点的距离相等.位置:锐角三角形的外心在三角形的内部;直角三角形的外心是斜边中点;钝角三角形的外心在三角形的外部.五、与圆有关的位置关系(1)点和圆的位置关系:点在圆外dr;点在圆上d=r;点在圆内dr.(2)直线和圆的位置关系:相交dr.(3)切线的性质和判定.性质:圆的切线垂直于过切点的半径.判定:过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线. 内切圆和内心的概念:和三角形三边都相切的圆可以作出一个,并且只能作一个,这个圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.它到三角形三边的距离相等.切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等.六、圆内接正多边形(1)概念:顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.(2)作法:把一个圆n等分(n3),依次连接各分点.七、弧长及扇形的面积(1)弧长的计算公式:l=R.(2)扇形的面积公式:S扇形=R2.(3)弧长及扇形的面积S之间的关系:S扇形=lR.专题一圆及其相关概念【专题分析】圆是初中几何图形中的最后一部分知识,圆与其他几何图形,如三角形、四边形及正多边形都有联系,是初中数学考查的热点.涉及圆的概念的知识的理解要注意运用集合思想.此外,弦和弧的概念也是圆的基本概念,是概念知识考查的重点.下列说法正确的是()A.弦是直径B.弧是半圆C.半圆是弧D.过圆心的线段是直径解析A.弦是连接圆上任意两点的线段,只有经过圆心的弦才是直径,不是所有的弦都是直径,故本选项错误.B.弧是圆上任意两点间的部分,只有直径的两个端点把圆分成的两条弧是半圆,不是所有的弧都是半圆,故本选项错误.C.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆,所以半圆是弧是正确的.D.过圆心的弦才是直径,不是所有过圆心的线段都是直径,故本选项错误.故选C.【针对训练1】有下列四个说法:半径确定了,圆就确定了;直径是弦;弦是直径;半圆是弧,但弧不一定是半圆.其中错误说法的个数是()A.1B.2C.3D.4解析圆确定的条件是确定圆心与半径,是假命题,故此说法错误.直径是弦,直径是圆内最长的弦,是真命题,故此说法正确.弦是直径,只有过圆心的弦才是直径,是假命题,故此说法错误.半圆是弧,但弧不一定是半圆,圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫半圆,所以半圆是弧.但比半圆大的弧是优弧,比半圆小的弧是劣弧,不是所有的弧都是半圆,是真命题,故此说法正确.其中错误说法的是两个.故选B.如图所示,AB是O的直径,D,C在O上,ADOC,DAB=60,连接AC,则DAC等于()A.15B.30C.45D.60解析OA=OC,CAO=ACO,ADOC,DAC=ACO,DAC=CAB,DAB=60,DAC=DAB=30.故选B.【针对训练2】如图所示,O的弦AB、半径OC的延长线交于点D,BD=OA.若AOC=120,则D的度数是.解析连接OB,BD=OA,OB=OA,BD=AO=OB,OBD,OAB都是等腰三角形,设D的度数是x,则BAO=ABO=x+x=2x,则在AOB中,利用三角形的内角得是180度,可得120-x+2x+2x=180,解得x=20.故填20.专题二圆的对称性【专题分析】圆的对称性是圆的基础知识中的重点内容,利用圆的中心对称性可以得到弧、弦、圆心角之间的关系,而利用轴对称性可以得到垂径定理,特别是垂径定理是中考考查的热点,题型单独考查和综合考查的都有,常与等腰三角形、直角三角形以及正多边形综合考查.在同圆或等圆中,下列说法错误的是()A.相等弦所对的弧相等B.相等弦所对的圆心角相等C.相等圆心角所对的弧相等D.相等圆心角所对的弦相等解析A.相等弦所对的弧不一定相等,故本选项错误;B.相等弦所对的圆心角相等,故本选项正确;C.相等圆心角所对的弧相等,故本选项正确;D.相等圆心角所对的弦相等,故本选项正确.故选A.【针对训练3】如图所示,在ABC中,C=90,A=25,以点C为圆心,BC为半径的圆交AB于点D,交AC于点E,则的度数为()A.25B.30C.50D.65解析连接CD,在ABC中,ACB=90,A=25,ABC=90-25=65,BC=CD,CDB=ABC=65,BCD=180-CDB-CBD=180-65-65=50,的度数为50.故选C.如图所示,在O中,点C是的中点,弦AB与半径OC相交于点D,AB=12,CD=2.求O半径的长.解析连接OA,根据垂径定理求出AD=6,ADO=90,根据勾股定理得出方程,求出方程的解即可.解:连接AO, 点C是弧AB的中点,半径OC与AB相交于点D,OCAB,AB=12,AD=BD=6,设O的半径为R,CD=2,OD=R-2,在RtAOD中,由勾股定理得AO2=OD2+AD2,即R2=(R-2)2+62,R=10.答:O的半径长为10.【针对训练4】如图所示,AB是O的直径,弦CDAB于点E,且CD=24,点M在O上,MD经过圆心O,连接MB.(1)若BE=8,求O的半径;(2)若DMB=D,求线段OE的长.解析(1)根据垂径定理求出DE的长,设出半径,根据勾股定理,列出方程求出半径.(2)根据OM=OB,证出M=B,根据M=D求出D的度数,根据锐角三角函数求出OE的长.解:(1)设O的半径为x,则OE=x-8,CD=24,由垂径定理得DE=12,在RtODE中,OD2=DE2+OE2,即x2=(x-8)2+122,解得x=13.(2)OM=OB,M=B,DOE=2M,又M=D,D=30,在RtOED中,DE=12,D=30,OE=4.专题三圆周角和圆心角的关系【专题分析】圆周角和圆心角的关系是圆的内容中有关角度的基础知识,是解决角度之间关系的重要依据.圆周角和圆心角是中考的重要考点,题型多样,选择、填空、解答题均有出现,常与直角三角形、四边形等知识综合考查.如图所示,AB为O的直径,CD为弦,ABCD,如果DOC=140,那么A的度数为()A.70B.35C.30D.20解析直径ABCD,B是的中点,A=BOC=DOC=35.故选B.【针对训练5】如图所示,已知A,B,C是O上的三个点,ACB=110,则AOB=.解析如图所示,在优弧AB上任取一点D,连接AD,BD,根据圆内接四边形的性质可知ACB+ADB=180,又ACB=110,ADB=70,AOB=2ADB=140.故填140.(2015泰州中考)如图所示,O的内接四边形ABCD中,A=115,则BOD等于.解析A=115,C=180-A=65,BOD=2C=130.故填130.【针对训练6】如图所示,圆内接四边形ABCD中,AB=AD,BAD=60,则ACD度数是.解析如图所示,连接BD.AB=AD,BAD=60,ABD为等边三角形,ABD=60,ACD=ABD=60.故填60.专题四确定圆的条件【专题分析】确定圆的条件是圆的尺规作图中的重点内容,而三角形外接圆的知识,特别是利用三角形外接圆的知识解决实际问题是考试的重点.下列命题正确的有()过两点可以作无数个圆;经过三点一定可以作圆;任意一个三角形有一个外接圆,而且只有一个外接圆;任意一个圆有且只有一个内接三角形.A.1个B.2个C.3个D.4个解析过两点可以作无数个圆,正确;经过三点一定可以作圆,错误;任意一个三角形有一个外接圆,而且只有一个外接圆,正确;任意一个圆有且只有一个内接三角形,错误.正确的有2个,故选B.【针对训练7】如图所示,AB=OA=OB=OC,则ACB的大小是()A.40B.30C.20D.35解析由题意知A,B,C三点在以O为圆心的圆上,AB=OA=OB=OC,AOB=60,ACB=AOB=30.故选B.专题五与圆的位置关系【专题分析】与圆的位置关系包括点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系,直线与圆的位置关系是圆的主要知识点,切线的性质与判定深受命题人的青睐,是各地市中考的热门考点,常与三角形全等、平行、直角三角形等知识综合考查,题型灵活多变.O的半径为7 cm,圆心O到直线l的距离为8 cm,则直线l与O的位置关系是()A.相交B.内含C.相切D.相离解析O的半径为7 cm,圆心O到直线l的距离为8 cm,74,点A在圆O外.故选C.)6.C(解析:如图所示,O是ABC的外心,BOC=80,A=40,A=140,故BAC的度数为40或140.故选C.)7.B(解析:在ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,AC2+BC2=32+42=52=AB2,C=90,如图所示,设切点为D,连接CD,AB是C的切线,CDAB,SABC=ACBC=ABCD,ACBC=ABCD,即CD=,C的半径为.故选B.)8.B(解析:如图所示,过O点作ODAB,则OD=1.O是ABC的内心,OAD=30.在RtOAD中,OAD=30,OD=1,AD=,AB=2AD=2.故选B.)9.B(解析:如图所示,设FC=x,AB的中点为O,连接DO,OE.AD,DE都是O的切线,DA=DE=3.又EF,FB都是O的切线,EF=FB=3-x.在RtDCF中,由勾股定理,得(6-x)2=x2+16,解得x=,则tanCDF=.故选B.)10.A(解析:六边形ABCDEF是正六边形,AOB=60,OAB是等边三角形,OA=OB=AB=2,设OA,OB与O分别交于H,I,点G为AB与O的切点,连接OG,则OGAB,OG=OAsin 60=2= ,S阴影=SOAB-S扇形OHI=2-=-.故选A.)11.40 (解析:ADOC,BOC=DAO=70,又OD=OA,ADO=DAO=70,AOD=180-70-70=40.)12.2 (解析:如图所示,过O作ODAC于D,当O与直线CA相切时,则OD为圆的半径3,即OD=3,ACB=60,sin 60=,CO=2.)13.4 (解析:CD垂直平分AB,AD=8 m.OD=6(m),CD=OC-OD=10-6=4(m).)14.61 (解析:如图所示,连接OD,直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合,点A,B,C,D共圆,点D对应的刻度是58,BOD=58,BCD=BOD=29,ACD=90-BCD=61.)15.(2,0)(解析:根据垂径定理的推论,弦的垂直平分线必过圆心,可以作弦AB和BC的垂直平分线,交点即为圆心.如图所示,则圆心是(2,0).故填(2,0).)16.4- (解析:连接AD,A与BC相切于点D,ADBC,SABC=ADBC,S阴影部分=SABC-S扇形AEF=24-=4-.故填4-.)17.证明:同弧所对的圆周角相等,A=C,D=B.AD=BC,ADECBE(ASA).AE=CE,DE=BE,AE+BE=CE+DE,即AB=CD.18.证明:如图所示,连接AC,DB,=,A=D,又APC=DPB,APCDPB,=,PAPB=PCPD.19.解:四边形ABCD内接于O,ADC+ABC=180,ABC=130,ADC=180-ABC=50,AOC=2ADC=100. OA=OC,OAC=OCA,OAC=(180-AOC)=40.20.解:(1)直径ABCD,=,DCB=CAB=30.(2)直径ABCD,CD=6 cm,CE=3 cm,在RtACE中,A=30,AC=6 cm,AB是直径,ACB=90,在RtACB中,AB=4(cm).21.解:AB是O的直径,ACB=90,BAC=2B,B=30,BAC=60,OA=OC,AOC是等边三角形,AOC=60,AC=OA,PA是O的切线,OAP=90,在RtOAP中,PA=6 cm,AOP=60,OA= =6(cm),AC=OA=6 cm.22.解:(1)ABC外切于O,切点分别为点D,E,F,BF=BD,CE=CD,BF+CE=BD+CD=BC=7.BF+CE的值是7.(2)连接OE,OF,OA,ABC外切于O,切点分别为点D,E,F,OEA=90,OAE=BAC=30,OA=2OE=2,由勾股定理得AE=AF=3,ABC的周长是AB+BC+AC=AF+AE+CE+BF+BC=3+3+7+7=20.23.(1)证明:如图所示,连接OC,OA=OC,BAC=OCA,DA