2019_2020学年高中数学第1章导数及其应用阶段复习课学案苏教版.docx

第1章 导数及其应用第一课导数及其应用导数的几何意义及其应用【例1】已知曲线yx3.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求斜率为4的曲线的切线方程解(1)P(2,4)在曲线yx3上，且yx2，在点P(2,4)处的切线的斜率ky|x24.曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.(2)设曲线yx3与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率ky|xx0x.切线方程为yx(xx0)，即yxxx.点P(2,4)在切线上，42xx，即x3x40，xx4x40.x(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得x01或x02，故所求的切线方程为4xy40或xy20.(3)设切点为(x0，y0)，则切线的斜率kx4，x02.切点为(2,4)或.斜率为4的曲线的切线方程为y44(x2)和y4(x2)，即4xy40和12x3y200.利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数(2)如果已知点不是切点，则应先求出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解注意：曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，例如，yx3在(1,1)处的切线l与yx3的图象还有一个交点(2，8)1(1)曲线yxex1在点(1,1)处切线的斜率等于_(2)已知函数yf(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数yf(x)的图象如图所示，则该函数的图象是_(填序号)(1)2(2)(1)yex1xex1(x1)ex1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为y2.(2)从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x0时最大，所以函数f(x)的图象的变化率也先增大后减小，在x0时变化率最大中，在x0时变化率最小，故错误；中，变化率是越来越大的，故错误；中，变化率是越来越小的，故错误；正确函数的单调性与导数【例2】已知函数f(x)x3ax1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(1,1)内单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由思路探究研究函数的单调性可通过判断导数的符号来解决因为涉及参数a，所以要分类讨论解(1)由已知，得f(x)3x2a.因为f(x)在(，)上单调递增，所以f(x)3x2a0在(，)上恒成立，即a3x2对xR恒成立因为3x20，所以只需a0.又因为当a0时，f(x)3x20，f(x)x31在R上单调递增，所以a0.故实数a的取值范围是a0.(2)由f(x)3x2a0在(1,1)内恒成立，得a3x2在x(1,1)内恒成立因为1x1，所以3x23，所以只需a3.因为当a3时，f(x)3(x21)，在x(1,1)上，f(x)0，得到函数f(x)的递增区间；解不等式f(x)0，得到函数f(x)的递减区间注意：求函数单调区间一定要先确定函数定义域，往往因忽视函数定义域而导致错误2设函数f(x)aln x(a0)，讨论函数f(x)的单调性解函数f(x)的定义域为(0，)f(x).当a0时，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递增当a0时，令g(x)ax2(2a2)xa，由于(2a2)24a24(2a1)，当a时，0，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减当a时，0，g(x)0，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减当a0时，0.设x1，x2(x1x2)是函数g(x)的两个零点，则x1，x2.因为x10，所以，x(0，x1)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减，x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递增，x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减综上可得，当a0时，函数f(x)在(0，)上单调递增；当a时，函数f(x)在(0，)上单调递减；当a0时，f(x)在，上单调递减，在，上单调递增函数的极值、最值与导数【例3】已知函数f(x)x3ax2b的图象上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3xy0平行(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间0，t(0t3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)c在区间1,3上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围思路探究(1)由求出a，b即可(2)对t分0t2与2t3两种情况求最值(3)构造函数g(x)f(x)c转化为g(x)在1,3上有实根求解解(1)因为f(x)3x22ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为：f(1)32a，即32a3，a3.又函数过(1,0)点，即2b0，b2.所以a3，b2，f(x)x33x22.(2)由f(x)x33x22，得f(x)3x26x.由f(x)0，得x0或x2.当0t2时，在区间(0，t)上f(x)0，f(x)在0，t上是减函数，所以f(x)最大值f(0)2，f(x)最小值f(t)t33t22.当2t3时，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x0(0,2)2(2，t)tf(x)00f(x)2极小值2t33t22f(x)最小值f(2)2，f(x)最大值为f(0)与f(t)中较大的一个f(t)f(0)t33t2t2(t3)0.所以f(x)最大值f(0)2.(3)令g(x)f(x)cx33x22c，g(x)3x26x3x(x2)在x1,2)上，g(x)0.要使g(x)0在1,3上恰有两个相异的实根，则解得20，又由h0可得r0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时，V(r)0，故V(r)在(5,5)上为减函数由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8.即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大1优化问题的常见类型关于生活中的优化问题涉及面极广，常见的有：(1)几何体的面积、体积问题；(2)最低成本与最大效益问题；(3)生产分配与投资理财问题；(4)下料设计与厂址选点问题2解决优化问题的注意点(1)利用导数解决优化问题，往往归结为函数的最大(小)值，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在解决优化问题时，将问题中涉及的变量关系用函数关系表示出来的同时，还要确定函数关系中自变量的定义域(3)有些优化问题除用导数法求解外，有时还可用配方法、基本不等式法等，解题时要注意方法的灵活选用4书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库存费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分_次进货、每次进_册，可使所付的手续费与库存费之和最少1015 000设每次进书x千册(0x150)，手续费与库存费之和为y元，由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量一半，即，故有y3040，y20，当0x15时，y0，当15x0.故当x15时，y取得最小值，此时进货次数为10(次)即该书店分10次进货，每次进15 000册书，所付手续费与库存费之和最少函数方程思想【例5】设函数f(x)x36x5，xR.(1)求f(x)的极值点；(2)若关于x的方程f(x)a有3个不同实根，求实数a的取值范围；(3)已知当x(1，)时，f(x)k(x1)恒成立，求实数k的取值范围解(1)f(x)3(x22)，令f(x)0，得x1，x2.当x(，)(，)时，f(x)0，当x(，) 时，f(x)0，因此x1，x2分别为f(x)的极大值点、极小值点(2)由(1)的分析可知yf(x)图象的大致形状及走向如图所示要使直线ya与yf(x)的图象有3个不同交点，需54f()af()54.则方程f(x)a有3个不同实根时，所求实数a的取值范围为(54，54)(3)法一：f(x)k(x1)，即(x1)(x2x5)k(x1)，因为x1，所以kx2x5在(1，)上恒成立，令g(x)x2x5，由二次函数的性质得g(x)在(1，)上是增函数，所以g(x)g(1)3，所以所求k的取值范围为(，3法二：直线yk(x1)过定点(1,0)且f(1)0，曲线f(x)在点(1,0)处切线斜率f(1)3，由(2)中草图知要使x(1，)时，f(x)k(x1)恒成立需k3.故实数k的取值范围为(，3讨论方程根的个数，研究函数图象与x轴或某直线的交点个数、不等式恒成立问题的实质就是函数的单调性与函数极(最)值的应用问题破解的方法是根据题目的要求，借助导数将函数的单调性与极(最)值列出，然后再借助单调性和极(最)值情况，画出函数图象的草图，数形结合求解5已知函数f(x)ex，aR，试讨论函数f(x)的零点个数解函数f(x)的定义域为x|xa(1)当xa时，ex0，xa0，f(x)0，即f(x)在(a，)上无零点(2)当x