函数第二章高三数学复习课件 新课标 人教

第1节函数与反函数 第二章函数 要点 疑点 考点 1 映射设A B是两个集合 如果按照某种对应法则f 对于集合A中的任何一个元素 在集合B中都有惟一的元素和它对应 那么这样的对应叫做集合A到集合B的映射 记作f A B 给定一个集合A到B的映射 且a A b B 如果元素a和元素b对应 那么 我们把元素b叫做元素a的象 元素a叫做元素b的原象设f A B是集合A到集合B的一个映射 如果在这个映射下 对于集合A中的不同元素 在集合B中有不同的象 而且B中每一个元素都有原象 那么这个映射就叫做A到B上的一一映射 2 函数 1 传统定义 如果在某个变化过程中有两个变量x y 并且对于x在某个范围内的每一个确定的值 按照某个对应法则f y都有惟一确定的值和它对应 那么y就是x的函数 记作y f x 2 近代定义 函数是由一个非空数集到另一个非空数集的映射 3 函数的三要素函数是由定义域 值域以及从定义域到值域的对应法则三部分组成的特殊映射 4 函数的表示法 解析式法 列表法 图象法 5 反函数 设函数y f x 的定义域 值域分别为A C 如果用y表示x 得到x y 且对于y在C中的任何一个值 通过x y x在A中都有惟一确定的值和它对应 那么就称函数x y y C 叫做函数y f x x A 的反函数 记作x f 1 y 一般改写为y f 1 x 答案 1 D 2 y log3 x 1 x 0 3 1 课前热身 1 设函数 则x0的取值范围是 A 1 1 B 1 C 2 0 D 1 1 2 函数y 3 x 1 x 0 的反函数是 3 已知函数y f x 的反函数f 1 x x 1 x 0 那么函数y f x 的定义域是 答案 4 B 5 C 4 定义域为 2 1 0 1 2 的函数f x 满足f 2 1 f 1 2 f 0 0 则 A f x 无最值 B f x 是偶函数 C f x 是增函数 D f x 有反函数5 已知函数y f x 的反函数为f 1 x 2x 1 则f 1 等于 A 0 B 1 C 1 D 4 能力 思维 方法 解题回顾 如果f A B是一一映射 则其对应法则f如何 若card A 3 card B 2 映射f A B所有可能的对应法则f共有多少个 1 设集合A a b B 0 1 试列出映射f A B的所有可能的对应法则f 解题回顾 由函数y f x 求它的反函数y f 1 x 的一般步骤是 1 判断y f x 是否存在反函数 但书写时 此步骤可以省略 2 若存在反函数 由y f x 解出x f 1 y 3 根据习惯 对换x y 改写为y f x 4 根据y f x 的值域确定反函数的定义域 2 求下列函数的反函数 1 y 1 2 ln x 5 1 x 5 2 y x2 2x x 0 解题回顾 求f 1 a 的值 解一是先求函数f x 的反函数f 1 x 再求f 1 a 的值 解二是根据原函数f x 与它的反函数f 1 x 的定义域与值域间的关系 转化为求方程f x a解的问题 解一是常规解法 解二较简便 3 已知函数f x 2x 1 2x x R 求f 1 1 3 的值 解题回顾 若函数f x 存在反函数f 1 x 则f a b f 1 b a 4 若函数f x ax k的图象过点A 1 3 且它的反函数y f 1 x 的图象过点B 2 0 求f x 的表达式 解题回顾 类似地可以证明 若原函数为奇函数 且存在反函数 则反函数也为奇函数 5 证明 原函数y f x 与其反函数y f 1 x 在相应的定义域具有相同的单调性 解题回顾 函数和反函数的图象的画法是描点法 先根据解析式及定义域 值域 函数的特征取若干点画出一个比较易画的函数的图象 然后再利用它们的图象关于直线y x的对称性画出另一个函数的图象 6 已知函数 求它的反函数 并作出反函数的图象 延伸 拓展 1 在判断几个函数是否为同一函数时 一看函数定义域 二看函数对应法则 当且仅当函数定义域与对应法则都相同时它们才是同一函数 误解分析 2 在涉及到反函数问题时 要特别注意原函数与反函数的定义域与值域之间的关系 以及它们图象间的关系 第2节函数的解析式 要点 疑点 考点 1 函数的解析式是函数的一种表示方法 要求两个变量之间的函数关系时 一是要求出它们之间的对应法则 二是要求出函数的定义域 2 求函数的解析式的主要方法有 待定系数法 换元法 消参法等 如果已知函数解析式的构造时 可用待定系数法 已知复合函数f g x 的表达式时 可用换元法 这时要注意元的取值范围 当已知表达式较简单时 也可用凑配法 若已知抽象函数表达式 则常用解方程组消参的方法求出f x C A B 7 2 5 若一次函数y f x 在区间 1 2 上的最小值为1 最大值为3 则f x 的解析式为 6 在一定的范围内 某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系 如果购买1000吨 每吨为800元 购买2000吨 每吨为700元 一客户购买400吨单价应该是 A 820元 B 840元 C 860元 D 880元 C 能力 思维 方法 解题回顾 解二是配凑法 解一是换元法 如果已知复合函数f g x 的表达式且g x 存在反函数时 可以用换元法来求f x 的解析式 它的一般步骤为 1 设g x t 并求出t的取值范围 即g x 的值域 2 解出x t 3 将g x t x t 同时代入函数f g x 并简化 4 以x代t且写出x的取值范围 即t的取值范围 1 设 求f x 的解析式 解题回顾 根据对f x 2 f x 2 的不同理解 可设不同形式的二次函数 一般地 若函数f x 满足f a x f a x 则函数f x 关于直线x a对称 这里应和周期函数定义区别开来 2 设二次函数f x 满足f x 2 f x 2 且图象在y轴上的截距为1 被x轴截得的线段长为 求f x 的解析式 解题回顾 求与已知函数y f x 的图象关于点P a b 对称的函数解析式y g x 时 可用代对称点法 3 已知函数y x2 x与y g x 的图象关于点 2 3 对称 求g x 的解析式 解题回顾 数形结合 是一种重要的数学思想方法 灵活应用数形结合这一思想方法 往往能准确迅速地解答问题 它尤其适合解答客观性试题 4 甲乙两车同时沿着某条公路从A地驶往300km外的B地 甲车先以75km h的速度行驶 在到达AB中点C处停留2h后 再以100km h的速度驶往B地 乙车始终以速度v行驶 I 请将甲车离A地路程x km 表示为离开A地时间t h 的函数 并画出这个函数的图象 II 若两车在途中恰好相遇两次 不包括A B两地 试确定乙车行驶速度v的取值范围 5 依法纳税是每个公民应尽的义务 国家征收个人所得税是分段计算的 总收入不超过800元 免征个人所得税 超过800元部分需征税 设全月纳税所得额为x x 全月总收入 800元 税率见下表 延伸 拓展 1 若应纳税额为f x 试用分段函数表示1 3级纳税额f x 的计算公式 2 某人2002年10月份总收入3000元 试计算该人此月份应缴纳个人所得税多少元 3 某人一月份应缴纳此项税款26 78元 则他当月工资总收入介于 A 800 900元 B 900 1200元 C 1200 1500元 D 1500 2800元 解题回顾 建立函数的解析式是解决实际问题的关键一步 必须熟练掌握 特别要注意求出函数的解析式后 必须写出其定义域 处理分段函数问题 除要用到分类讨论的思想外 还要注意其中整体和局部的关系 局部的和就是整体 1 在用换元法解题时 要特别注意所设元的范围 如已知f 1 cosx sin2x 求f x 时 设t 1 cosx 则0 t 2即为函数f x 的定义域 丢掉0 t 2是错解该题的根本原因 误解分析 2 求由实际问题确定的函数解析式时 一定要注意自变量在实际问题中的取值范围 第3节函数的定义域和值域 要点 疑点 考点 1 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域 求函数的定义域的主要依据是 1 分式的分母不等于零 2 偶次方根的被开方数不小于零 3 对数式的真数必须大于零 4 指数 对数式的底必须大于零且不等于1 2 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 那么 它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合 3 已知f x 的定义域为A 求函数f g x 的定义域 实际上是已知中间变量u g x 的取值范围 即u A 即g x A 求自变量x的取值范围 4 函数的值域取决于定义域和对应法则 不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域 5 应熟悉掌握一次函数 二次函数 指数 对数函数及各三角函数的值域 它是求解复杂函数值域的基础 6 求函数值域的常用方法有 直接法 反函数法 换元法 配方法 均值不等式法 判别式法 单调性法等 答案 1 1 2 5 3 C 课前热身 1 函数的定义域是 2 的值域是 3 定义域为R的函数y f x 的值域为 a b 则函数y f x a 的值域为 A 2a a b B 0 b a C a b D a a b 4 函数的定义域为 A 2 B 1 C 1 2 D 1 2 5 若函数的值域是 1 1 则函数f 1 x 的值域是 A B C D D A 能力 思维 方法 解题回顾 复合函数y f g x 的定义域的求法是 根据f x 的定义域列出g x 的不等式 解该不等式即可求出f g x 的定义域 1 已知函数f x 的定义域为 a b 且a b 0 求f x2 的定义域 2 求下列函数的值域 1 2 3 4 解题回顾 第 1 题是通过求原函数的反函数的定义域 求原函数的值域 也可将原函数式化为 可利用指数函数的性质3x 0得 第 3 题用换元法求函数的值域 要特别注意换元后新变量的取值范围 第 4 题利用基本不等式求函数的值域时 必须注意公式使用的条件 本题也可分x 0 x 0两类情况利用基本不等式求函数的值域 利用判别式法求函数值域的关键是构造自变量x的二次方程 第 2 题采用了 部分分式法 求解 即将原分式分解成两项 其中一项为常数 另一项容易求出值域 形如 a 0 c 0 的函数均可使用这种方法 本题也可化为 利用 sinx 1 得 求函数的值域 解题回顾 对于x R时ax2 bx c 0恒成立 一定要分a 0与a 0两种情况来讨论 这样才能避免错误 延伸 拓展 解题回顾 含有参变数字母的二次函数的最值问题 主要体现在顶点的变化和区间的变化 当然还有抛物线的开口方向问题 当抛物线开口方向确定时 可能会出现三种情形 1 顶点 对称轴 不动 而区间变化 移动 2 顶点 对称轴 可移动 而区间不动 3 顶点 对称轴 和区间都可移动 无论哪种情形都结合图象 顶点 对称轴 与区间的位置关系对种种可能的情形进行讨论 4 设f x x2 2ax 0 x 1 的最大值为M a 最小值为m a 试求M a 及m a 的表达式 1 凡涉及二次三项式恒成立问题 一定要注意讨论二次项系数是否为零 误解分析 2 用基本不等式求函数值时 要注意等号成立的充要条件 3 不可将f x 中的 x 和f g x 的 x 混为一谈 应搞清它们 范围 之间的关系 第4节函数的奇偶性 要点 疑点 考点 1 如果对于函数f x 定义域内任意一个x 都有f x f x 那么函数f x 就叫做偶函数 2 如果对于函数f x 定义域内任意一个x 都有f x f x 那么函数f x 就叫做奇函数如果函数f x 是奇函数或偶函数 那么我们就说函数f x 具有奇偶性 1 函数的奇偶性 一般地 奇函数的图象关于原点对称 反过来 如果一个函数的图象关于原点对称 那么这个函数是奇函数 偶函数的图象关于y轴对称 反过来 如果一个函数的图象关于y轴对称 那么这个函数是偶函数 2 具有奇偶性的函数图象特点 2 利用定理 借助函数的图象判定 3 函数奇偶性的判定方法 1 根据定义判定 首先看函数的定义域是否关于原点对称 若不对称则函数是非奇非偶函数 若对称 再判定f x f x 或f x f x 有时判定f x f x 比较困难 可考虑判定f x f x 0或判定f x f x 1 3 性质法判定 在定义域的公共部分内 两奇函数之积 商 为偶函数 两偶函数之积 商 也为偶函数 一奇一偶函数之积 商 为奇函数 注意取商时分母不为零 偶函数在区间 a b 上递增 减 则在区间 b a 上递减 增 奇函数在区间 a b 与 b a 上的增减性相同 课前热身 1 已知函数f x ax2 bx c 2a 3 x 1 是偶函数 则a b c 2 设f x x R 是以3为周期的奇函数 且f 1 1 f 2 a 则 A a 2 B a 2 C a 1 D a 13 已知奇函数f x 在x 0时的表达式为f x 2x 1 2 则当x 1 4时 有 A f x 0 B f x 0 C f x f x 0 D f x f x 0 1 0 R D B 4 函数的奇偶性是 A 奇函数 B 偶函数 C 既是奇函数又是偶函数 D 非奇非偶5 已知y f x 1 是偶函数 则y f x 的图象关于 A 直线x 1 0对称B 直线x 1 0对称C 直线x 1 2 0对称D y轴对称 D A 能力 思维 方法 1 判断下列函数的奇偶性 解题回顾 本题还可利用f x f x 0求解较简便 解题回顾 本题应先化简f x 再判断f x 的奇偶性 若直接判断f x 的奇偶性 即 f x 为偶函数 这样就遗漏f x 也是奇函数 解题回顾 判断函数的奇偶性时 应首先注意其定义域是否关于原点对称 2 1 设函数f x 的定义域关于原点对称 判断下列函数的奇偶性 F x f x f x 2 G x f x f x 2 2 试将函数y 2x表示为一个奇函数与一个偶函数的和 解题回顾 本题的结论揭示了这样一个事实 任意一个定义在关于原点对称的区间上的函数 总可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和 解题回顾 本题应注意充分挖掘已知条件 即将 x代x得到关于f x 和g x 的二元一次方程组 3 设f x 与g x 分别为奇函数和偶函数 若f x g x 1 2 x 比较f 1 g 0 g 2 的大小 4 已知 1 判断f x 的奇偶性 2 求证f x 0 解题回顾 1 判断的奇偶性要比直接判断f x 的奇偶性要简洁 2 因为f x 是偶函数 所以求证f x 0的关键是证当x 0时 f x 0 变题1 已知g x 为奇函数 且 判断f x 的奇偶性 变题2已知函数是偶函数 试求a的值 延伸 拓展 解题回顾 数学解题的过程就是充分利用已知条件实施由条件向结论的转化过程 当条件不能直接推出结论时就要想方设法创造使用条件的氛围 采用逐步逼近的手法达到解题目的 5 设函数f x 的定义域关于原点对称 且满足 存在正常数a 使f a 1求证 1 f x 是奇函数 2 f x 是周期函数 并且有一个周期为4a 1 判断函数是否具有奇偶性 首先要看函数的定义域是否关于原点对称 即函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 误解分析 第5节函数的单调性 要点 疑点 考点 1 函数的单调性一般地 设函数f x 的定义域为I 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说f x 在这个区间上是增函数 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说f x 在这个区间上是减函数 函数是增函数还是减函数 是对定义域内某个区间而言的 有的函数在一些区间上是增函数 而在另一些区间上可能是减函数 例如函数y x2 当x 0 时是增函数 当x 0 时是减函数 2 单调区间如果函数y f x 在某个区间是增函数或减函数 那么就说函数y f x 在这一区间上具有 严格的 单调性 这一区间叫做y f x 的单调区间 在单调区间上增函数的图象是上升的 减函数的图象是下降的 3 用定义证明函数单调性的步骤证明函数f x 在区间M上具有单调性的步骤 1 取值 对任意x1 x2 M 且x1 x2 2 作差 f x1 f x2 3 判定差的正负 4 根据判定的结果作出相应的结论 4 复合函数的单调性复合函数f g x 的单调性与构成它的函数u g x y f u 的单调性密切相关 其规律如下 注意 函数的单调区间只能是其定义域的子区间 课前热身 1 下列函数中 在区间 0 上是增函数的是 A f x x2 4x 8 B g x ax 3 a 0 C h x 2 x 1 D s x log 1 2 x 2 定义在区间 的奇函数f x 为增函数 偶函数g x 在区间 0 的图象与f x 的图象重合 设a b 0 给出下列不等式 f b f a g a g b f b f a g a g b f a f b g b g a f a f b g b g a 其中成立的是 A 与 B 与 C 与 D 与 D B 答案 3 B 4 1 1 1 1 5 C 3 如果函数f x x2 2 a 1 x 2在区间 4 上是减函数 那么实数a的取值范围是 A 3 B 3 C 3 D 3 4 函数的减区间是 函数的减区间是 5 函数f x log 1 2 x2 3x 2 的减区间是 A 1 B 2 C 1 32 D 32 2 能力 思维 方法 1 讨论函数f x x a x a 0 的单调性 解题回顾 含参数函数单调性的判定 往往对参数要分类讨论 本题的结论十分重要 在一些问题的求解中十分有用 应予重视 2 已知y f x 是奇函数 它在 0 上是增函数 且f x 0 试问F x 1 f x 在 0 上是增函数还是减函数 解题回顾 本题最容易发生的错误 是受已知条件的影响 一开始在 0 内任取x1 x2 展开证明 这样就不能保证 x1 x2在 0 上的任意性而导致错误 解题回顾 原函数及其反函数的单调性是一致的 函数的单调性有着多方面的应用 如求函数的值域 最值 解不等式等 但在利用单调性时 不可忽略函数的定义域 3 设 试判断函数f x 的单调性并给出证明 若f x 的反函数为f 1 x 证明方程f 1 x 0有惟一解 解关于x的不等式f x x 1 2 1 2 解题回顾 本题主要是考查复合函数的单调性 当内外函数的增减性一致时 为增函数 当内外函数的增减性相异时 为减函数 另外 复合函数的单调区间一定是定义域的子区间 在解题时 要注意这一点 4 是否存在实数a 使函数f x loga ax2 x 在区间 2 4 上是增函数 延伸 拓展 解题回顾 抽象函数是高考考查函数的目标之一 几种常见的抽象函数在做小题时 可与具体函数相对应如 f x g f x f y f x f y f x g f x y f x f y 等分别与一次函数 指数函数 对数函数相对应 本题第四问在前三个问题的基础上给出则水到渠成 5 定义在 1 1 上的函数f x 满足以下两个条件 对任意x y 1 1 都有 当x 1 0 时 有f x 0 1 判定f x 在 1 1 上的奇偶性 并说明理由 2 判定f x 在 1 0 上的单调性 并给出证明 3 求证 4 求证 1 对抽象函数单调性及奇偶性的判定仍以定义为中心 结合抽象函数关系式对变量进行适当的赋值不以定义为主线则一切变形会失去目标 误解分析 2 后一问题的解决 注意联系前一问题 看能否找到办法 第6节函数的图象 要点 疑点 考点 1 函数的图象在平面直角坐标系中 以函数y f x 中的x为横坐标 函数值y为纵坐标的点 x y 的集合 就是函数y f x 的图象 图象上每一点的坐标 x y 均满足函数关系y f x 反过来 满足y f x 的每一组对应值x y为坐标的点 x y 均在其图象上 2 函数图象的画法函数图象的画法有两种常见的方法 一是描点法 二是图象变换法描点法 描点法作函数图象是根据函数解析式 列出函数中x y的一些对应值表 在坐标系内描出点 最后用平滑的曲线将这些点连接起来 利用这种方法作图时 要与研究函数的性质结合起来 图象变换法 常用变换方法有三种 即平移变换 伸缩变换和对称变换 1 平移变换 由y f x 的图象变换获得y f x a b的图象 其步骤是 2 伸缩变换 由y f x 的图象变换获得y Af x A 0 A 1 0 1 的图象 其步骤是 3 对称变换 y f x 与y f x 的图象关于y轴对称 y f x 与y f x 的图象关于x轴对称 y f x 与y f x 的图象关于原点对称 y f x 与y f 1 x 的图象关于直线y x对称 y f x 去掉y轴左边图象 保留y轴右边图象 再作其关于y轴对称图象 得到y f x y f x 保留x轴上方图象 将x轴下方图象翻折上去得到y f x 课前热身 1 要得到函数y log2 x 1 的图象 可将y 2x的图象作如下变换 2 将函数y log 1 2 x的图象沿x轴方向向右平移一个单位 得到图象C 图象C1与C关于原点对称 图象C2与C1关于直线y x对称 那么C2对应的函数解析式是 3 已知函数y f x 的图象如下图所示 则函数y f x 的图象不可能是 缺图 沿y轴方向向上平移一个单位 再作关于直线y x的对称变换 y 1 2x B 4 已知f x ax a 0且a 1 f 1 1 2 0 则y f x 1 的图象是 5 将函数y f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的1 3 纵坐标不变 再将此图象沿x轴方向向左平移2个单位 则与所得图象所对应的函数是 A y f 3x 6 B y f 3x 2 C y f x 3 2 3 D y f x 3 2 B A 能力 思维 方法 解题回顾 虽然我们没有研究过函数f x ax3 bx2 cx d a 0 的图象和性质 但通过图象提供的信息 运用函数与方程的思想方法还是能够正确地解答该题 1 设f x ax3 bx2 cx d的图象如下图 则b属于 A 0 B 0 1 C 1 2 D 2 2 作出下列各个函数的示意图 1 y 2 2x 2 y log 1 3 3 x 2 3 y log 1 2 x 解题回顾 变换后的函数图象要标出特殊的线 如渐近线 和特殊的点 以显示图象的主要特征 处理这类问题的关键是找出基本函数 将函数的解析式分解为只有单一变换的函数链 然后依次进行单一变换 最终得到所要的函数图象 解题回顾 运用函数图象变换及数形结合的思想方法求解 1 2 两题较简便直观 用图象法解题时 图象间的交点坐标应通过方程组求解 用图象法求变量的取值范围时 要特别注意端点值的取舍和特殊情形 3 1 已知0 a 1 方程a x logax 的实根个数是 A 1个 B 2个 C 3个 D 1个或2个或3个 解题回顾 若注意到f a 和g a 都是根式 也可以比较f2 a 与g2 a 的大小 本题第 2 小题的实质是比较 A A C C 2与B B的大小 显然 A A C C 2是梯形AA C C的中位线 且这个中位线在线段B B上 因此有 A A C C 2 B B 这只是本题的一个几何解释 不能代替证明 延伸 拓展 解题回顾 将函数式转化为解析几何中的曲线标准方程 有助于我们识别函数的图象 这也是常用的化归技巧 误解分析 2 在运用数形结合解答主观性问题时 要将图形的位置关系 尤其是反映数的特征的地方要说明清楚 3 注意平移 伸缩变换的先后次序对变换的影响 可结合具体问题阐述如何进行平移 伸缩变换 第7节二次函数 要点 疑点 考点 1 二次函数的解析表达式有 一般式f x ax2 bx c a 0 顶点式f x a x k 2 m a 0 零点式f x a x x1 x x2 a 0 3 二次函数f x ax2 bx c a 0 在区间 p q 上的最值问题 一般情况下 需要分 b 2a p p b 2a q和 b 2a q三种情况讨论解决 4 二次方程f x ax2 bx c 0的区间根问题 一般情况下 需要从三个方面考虑 判别式 区间端点函数值的正负 对称轴x b 2a与区间端点的关系 一般地对于含有字母的一元二次方程ax2 bx c 0的实数根的分布问题 有如下结论 令f x ax2 bx c 不妨设a 0 若两根都小于实数 则有 若两根都大于实数 则有 若两根在区间 内 则有 若一根小于 另一根小于 则有 若两根中只有一根在区间 内 则有 答案 1 6 2 19 3 C 课前热身 1 二次函数f x 满足f 3 x f 3 x 且f x 0有两个实根x1 x2 则x1 x2等于 2 函数f x 2x2 mx 3 当x 1 时是减函数 当x 1 时是增函数 则f 2 3 关于x的方程x2 a2 1 x a 2 0的一根比1大 另一根比1小 则有 A 1 a 1 B a 2或a 1 C 2 a 1 D a 1或a 2 4 设x y是关于m的方程m2 2am a 6 0的两个实根 则 x 1 2 y 1 2的最小值是 A B 18 C 8 D 345 设函数f x x x bx c 给出下列命题 b 0 c 0时 f x 0只有一个实数根 c 0时 y f x 是奇函数 y f x 的图象关于点 0 c 对称 方程f x 0至多有2个实数根 上述命题中的所有正确命题序号是 C 能力 思维 方法 解题回顾 对x R而言 y ax2 bx c a 0 的极值就是最值 若x只在某区间内取值 最值与极值便不可混淆了 1 已知对于x的所有实数值 二次函数的值都非负 求关于x的方程的根的范围 2 已知函数f x mx2 m 3 x 1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧 求实数m的取值范围 解题回顾 在本题解题过程中 容易将f x mx2 m 3 x 1看成是二次函数 从而忽视对m 0的讨论 实系数方程ax2 bx c 0 a 0 的两实根异号的充要条件为 有两正实根的充要条件是 有两负实根的充要条件是 解题回顾 1 含有参数的二次函数的最值问题 因其顶点相对于定义域区间的位置不同 其最值状况也不同 所以要根据二者的相关位置进行分类讨论 2 本题是 定 二次函数 动 区间 依照此法也可以讨论 动 二次函数 定 区间的二次函数问题 3 函数f x x2 4x 4在闭区间 t t 1 t R 上的最小值记为g t 1 试写出g t 的函数表达式 2 作g t 的图象并写出g t 的最小值 解题回顾 此题涉及到一次函数 二次函数的图象 一元二次方程 解不等式 一元二次函数在区间上的取值范围等多个知识点 由于二次函数问题是中学数学的核心问题之一 是考查学生逻辑思维能力的重要题材 也是高考的热点问题 因此要熟练掌握二次函数 图象 与方程 不等式的相互联系与相互转化 4 已知二次函数f x ax2 bx c和一次函数g x bx 其中a b c满足a b c a b c 0 a b c R且a 0 1 求证 两函数的图象交于不同的两点A B 2 求线段AB在x轴上的射影A1B1之长的取值范围 延伸 拓展 解题回顾 f x a x x1 x x2 应用于二次函数和x轴的交点及一元二次方程的根等有关问题时比较方便 5 设二次函数f x ax2 bx c a 0 方程f x x 0的两根满足0 x1 x2 1 a 当x x1 x2 时 证明x1 f x x2 误解分析 2 二次函数 一元二次不等式和一元二次方程是一个有机的整体 要深刻理解它们之间的关系 运用函数方程的思想方法将它们进行相互转化 才是准确迅速答题的关键 1 在讨论方程根的分布情况时 要写出它的充要条件 注意观察方程对应的函数图象是避免将充要条件写成必要条件的有效办法 第8节指数 对数函数 要点 疑点 考点 1 整数指数幂的运算性质 1 am an am n m n Z 2 am an am n a 0 m n Z 3 am n amn m n Z 4 ab n anbn n Z 2 根式一般地 如果一个数的n次方等于a n 1 且n N 那么这个数叫做a的n次方根 也就是 若xn a 则x叫做a的n次方根 其中n 1 且n N 式子na叫做根式 这里n叫做根指数 a叫做被开方数 3 根式的性质 1 当n为奇数时 正数的n次方根是一个正数 负数的n次方根是一个负数 这时 a的n次方根用符号表示 2 当n为偶数时 正数的n次方根有两个 它们互为相反数 这时 正数的正的n次方根用符号表示 负的n次方根用符号表示 正负两个n次方根可以合写为 a 0 3 4 当n为奇数时 当n为偶数时 5 负数没有偶次方根 6 零的任何次方根都是零 4 分数指数幂的意义 5 有理数指数幂的运算性质 1 ar as ar s a 0 r s Q 2 ar as ar s a 0 r s Q 3 ar s ars a 0 r s Q 4 ab r arbr a 0 b 0 r Q 6 指数函数一般地 函数y ax a 0 且a 1 叫做指数函数 其中x是自变量 函数的定义域是R 7 指数函数的图象和性质 见下表 8 对数一般地 如果a a 0 a 1 的b次幂等于N 就是ab N 那么数b叫做以a为底N的对数 记作logaN b 其中a叫做对数的底数 N叫做真数 式子logaN叫做对数式常用对数通常将log10N的对数叫做常用对数 为了简便 N的常用对数记作lgN自然对数通常将使用以无理数e 2 71828 为底的对数叫做自然对数 为了简便 N的自然对数logeN简记作lnN 9 对数恒等式叫做对数恒等式 10 对数的性质 1 负数和零没有对数 2 1的对数是零 即loga1 0 3 底的对数等于1 即logaa 1 12 对数函数 函数y logax a 0 且a 1 叫做对数函数 其定义域为 0 值域为 因为对数函数y logax与指数函数y ax互为反函数 所以y logax的图象与y ax的图象关于直线y x对称 11 对数的运算性质如果a 0 a 1 M 0 N 0 那么 13 对数函数的图象和性质对数函数y logax的图象和性质分a 1及0 a 1两种情况 注意作图时先作y ax的图象 再作y ax的图象关于直线y x的对称曲线 就可以得到y logax的图象 其图象和性质见下表 答案 1 1 2 1 2 13 D 课前热身 1 若函数y log 1 2 a x在R上为减函数 则a 2 lg2 2 lg250 lg5 2 lg40 3 如图中曲线C1 C2 C3 C4分别是函数y ax y bx y cx y dx的图象 则a b c d与1的大小关系是 A a b 1 c d B a b 1 d c C b a 1 c d D b a 1 d c 4 若loga2 logb2 0 则 A 0 a b 1 B 0 b a 1 C 1 b a D 0 b 1 a5 方程loga x 1 x2 2 0 a 1 的解的个数是 A 0 B 1 C 2 D 无法确定 B C 能力 思维 方法 解题回顾 对于第 2 小题 也可以利用对数函数的图象 当底数大于1时 底数越大 在直线x 1左侧图象越靠近x轴而得 1 比较下列各组中两个值的大小 并说明理由 2 设函数f x lg 1 x g x lg 1 x 在f x 和g x 的公共定义域内比较 f x 与 g x 的大小 解题回顾 本题比较 f x 与 g x 的大小 也可转化成比较f2 x 与g2 x 的大小 然后采用作差比较法 也可直接比较与1的大小 解题回顾 求解本题的关键是会分类讨论 既要考虑到k 又要考虑到a 对第四种情形 要强调函数无意义 3 求函数f x log2 ax 2x k a 2 且k为常数 的定义域 解题回顾 求解本题应注意以下三点 1 将y转化为二次函数型 2 确定a的取值范围 3 明确logax的取值范围 4 已知函数y loga a2x loga2 ax 当x 2 4 时 y的取值范围是 1 8 0 求实数a的值 延伸 拓展 解题回顾 本题是一个内涵丰富的综合题 涉及的知识很广 定义域 不等式 单调性 复合函数 方程实根的分布等 解题时应着力于知识的综合应用和对隐含条件的发掘上 5 设的定义域为 s t 值域为 loga at a loga as a 1 求证s 3 2 求a的取值范围 误解分析 2 要充分利用指数函数和对数函数的概念 图象 性质讨论一些复合函数的性质 并进行总结回顾 如求y log2 x2 2x 的单调增区间可转化为求y x2 2x的正值单调增区间 从而总结一般规律 1 研究指数 对数问题时尽量要为同底 另外 对数问题中要重视定义域的限制 第9节函数的综合应用 要点 疑点 考点 1 函数思想就是要用运动和变化的观点 分析和研究具体问题中的数量关系 通过函数的形式 把这种数量关系表示出来并加以研究 从而使问题获得解决 函数思想是对函数概念的本质认识 用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察处理问题 2 方程思想就是在解决数学问题时 先设定一些未知数 然后把它们当成已知数 根据题设各量之间的制约关系 列出方程 求得未知数 或如果变量间的数量关系是用解析式的形式 函数形式 表示出来的 那么可把解析式看作是一个方程 通过解方程或对方程的研究 使问题得到解决 这便是方程的思想 方程思想是对方程概念的本质认识 用于指导解题就是善于利用方程知识或方程观点观察处理问题 函数思想与方程思想是密切相关的 如函数问题 例如 求反函数 求函数的值域等 可以转化为方程问题来解决 方程问题也可以转化为函数问题加以解决 如解方程f x 0 就是求函数y f x 的零点 解不等式f x 0 或f x 0 就是求函数y f x 的正负区间 3 解答数学应用题的关键有两点 一是认真读题 缜密审题 确切理解题意 明确问题的实际背景 然后进行科学的抽象 概括 将实际问题归纳为相应的数学问题 二是要合理选取参变数 设定变元后 就要寻找它们之间的内在联系 选用恰当的代数式表示问题中的关系 建立相应的函数 方程 不等式等数学模型 最终求解数