函数的最值复习课

3 7函数的最值 疑难辨析 知识整合 基础训练 技能演练 高考在线 解题规律 知识整和 函数最值定义 一般地 设函数y f x 的定义域为I 如果存在实数M满足 1 对于任意的x I 都有f x M f x M 2 存在x0 I 使得f x0 M那么我们称M是函数y f x 的最大值 最小值 注意 1 最值首先是函数值 2 最值是所有函数值中的最大或最小值 最大值 最小值问题 在生产实践中 为了提高经济效益 必须要考虑在一定的条件下 怎样才能使用料最省 费用最低 效率最高 收益最大等问题 这类问题在数学上统统归结为求函数的最大值或最小值问题 最值问题主要讨论问题的两个方面 最值的存在性 最值的求法 先看下面图像 直观感知最高点最低点以及与极点端点之间的关系 知识整和 步骤 1 求极点 极点可能为导数为0的点也可能是导数不存在的点 2 求极值与端点的函数值 比较大小 那个大那个就是最大值 那个小那个就是最小值 注意 如果区间内只有一个极值 则这个极值就是最值 最大值或最小值 由上面图像看出 函数的最大最小值可能发生在极点处 也可 能发生在区间的端点 因此 函数的最大最小值点应从 极点 端点 中去寻找 这两种点中 函数取最大者为函数的最大点 取最小者为函数的最小值点 因此求 解指定区间上连续函数的最值最大最小点的步骤应为 知识整和 比较函数在稳定点和区间端点处的函数值 函数的最大点是4 最大值是142 函数的最小点是1 最小值是7 3 2 1 0 1 2 3 4 0 50 100 150 知识整和 快速一练 你想学习疑难辨析吗 不 回主页 是 继续 1注意 最值与极值的区别 最值是整体概念而极值是局部概念 5 求最值的步骤 1 建立目标函数 2 求最值 4 思考题 不一定因为最值点不一定是区间内的点 有可能是端点 疑难辨析 求端点的函数值与极值然后比较大小 3 连续函数最值点的可疑点是端点与极点 极点的可疑点是导数为0或导数不存在的点 若目标函数只有一个极点该点函数值一定最大 小 值吗 2 在闭区间上连续的函数一定存在最值 你想学习解题规律吗 不 回主页 是 继续 步骤 1 求最值点点可疑点 可能是导数为0的点或导数不存在的点或端点 2 把可疑值进行比较 然后比较大小 那个大那个就是最大值 那个小的就是最小值 注意 我们可以扩大可疑的范围 把最值点的可疑点认为是导数为0的点 导数不存在的点与端点 所以求出导数为0点 导数不存在的点后 直接把这三种可疑点的函数值求出后然后比较即可 而不再判断是否为极点 这样有时会简单些 指定区间上连续函数的最值的求法 解题规律 例1 解 计算 比较各值 得 9 20 7 128 最大值f 4 128 最小值f 1 7 因 解题规律 解 x 设AD x km y 5k CD 3k DB k是某个正数 B与C间的运费为y 则 DB 100 x 解题规律 其中以y 380k为最小 因此当AD 15km时 运费最省 由于当x 0时 y 400k 当x 15时y 380k 例2工厂C与铁路线的垂直距离AC为20km A点到火车站B的距离为100km 欲修一条从工厂到铁路的公路CD 已知铁路与公路每公里运费之比为3 5 为了使火车站B与工厂C间的运费最省 问D点应选在何处 y 5k CD 3k DB k是某个正数 解 设AD x km B与C间的运费为y 则 解题规律 特殊情况下的最大值与最小值如果f x 在一个区间 有限或无限 开或闭 内可导且只有一个极点x0 那么当f x0 是极大值时 f x0 就是f x 在该区间上的最大值 当f x0 是极小值时 f x0 就是f x 在该区间上的最小值 说明 解题规律 解 把W表示成b的函数 函数在唯一极点b0处一定取得最大值 解题规律 你想通过基础练习巩固一下吗 不 回主页 是 继续 1 求函数在所给区间上的最值 基础练习 基础练习 2求函数的最值 基础练习 你想通过技能演练提高一下吗 不 回主页 是 继续 1 某房地产公司有50套公寓要出租 当租金定为每月180元时 公寓会全部租出去 当月租金每增加10元时 就有一套公寓租不出去 而租出去的房子每月需花费20元修维护费 试问房租定为多少可获得最大收入 解 设房租为每月元 租出去的房子有套 每月总收入为 唯一极点 答 每月每套租金为350元时收入最高 就是最大值点 技能演练 2 解 如图 解得 技能演练 你想进入高考在线吗 不 回主页 是 继续 1 2005 全国卷III 用长为90cm 宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器 先在四角分别截去一个小正方形 然后把四边翻转90 角 再焊接而成 如图 问该容器的高为多少时 容器的容积最大 最大容积是多少 高考在线 解 设容器的高为x 容器的体积为V 则V 90 2x 48 2x x 00 1036时 V 0 所以 当x 10 V有极大值V 10 1960又V 0 0 V 24 0所以当x 10 V有最大值V 10 1960 2 北京卷 已知函数f x x3 3x2 9x a I 求f x 的单调递减区间 II 若f x 在区间 2 2 上的最大值为20 求它在该区间上的最小值 高考在线 解 I f x 3x2 6x 9 令f x 3 所以函数f x 的单调递减区间为 1 3 II 因为f 2 8 12 18 a 2 a f 2 8 12 18 a 22 a 所以f 2 f 2 因为在 1 3 上f x 0 所以f x 在 1 2 上单调递增 又由于f x