创新设计高三数学一轮复习 平面向量的概念及线性运算课件 北师大

了解向量的实际背景 理解平面向量的概念 理解两个向量相等的含义 理解向量的几何表示 掌握向量加法 减法的运算 并理解其几何意义 掌握向量数乘的运算及其意义 理解两个向量共线的含义 了解向量线性运算的性质及其几何意义 4 1平面向量的概念及线性运算 1 向量的定义 既有大小又有方向的量叫做向量 2 有向线段的定义 带有方向的线段叫有向线段 有向线段包括 起点 方向 长度 向量可以用有向线段表示 3 模的定义 向量的大小 长度 叫向量的模 记作长度为0的向量叫做零向量 记作0 长度为1个单位长度的向量叫单位向量 4 向量相等定义 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 5 共线向量的定义 如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合 则称这两个向量平行或共线 6 向量的加 减 法 求两向量和 差 的运算叫向量的加 减 法运算 1 这种求向量和的方法叫三角形法则 2 平行四边形法则 由同一点A为起点的两个已知向量a b为邻边作平行四边形ABCD 则以A为起点的向量就是向量a b的和 这种作两个向量和的方法叫做平行四边形法则 如下图 3 相反向量的定义 与向量a的长度相等 方向相反的向量叫做向量a的相反向量 记作 a 规定零向量的相反向量仍是零向量 4 定义a b a b 7 向量的数乘 求实数 与向量a的积是一个向量 记作 a 规定 1 a a 2 当 0时向量 a的方向与a的方向相同 当 0时 向量 a与a的方向相反 当 0时 a 0 8 数乘运算律 1 a a 2 a a a 3 a b a b 1 如右图所示 D是 ABC的边AB上的中点 则向量等于 解析 D是AB的中点 答案 A 2 如上图所示 在平行四边形ABCD中 下列结论中错误的是 解析 A显然正确 由平行四边形法则知B正确 C中所以错误 D中 3 在 ABC中 已知D是AB边上一点 若AD 2DB CD CA CB 则 等于 解析 由图知CD CA AD CD CB BD 且AD 2BD 0 2得 3CD CA 2CB CD 答案 A 4 下列各命题中 真命题的个数为 若 a b 则a b或a b 若AB DC 则A B C D是一个平行四边形的四个顶点 若a b b c 则a c 若a b b c 则a c A 4B 3C 2D 1 解析 由 a b 可知向量a b模长相等但不能确定向量的方向 如在正方形ABCD中 AB AD 但AB与AD既不相等也不互为相反向量 故此命题错误 由AB DC可得 AB DC 且AB DC 由于AB DC可能是A B C D在同一条直线上 故此命题不正确 正确 不正确 当b 0时 a c不一定成立 答案 D 正确理解向量有关概念及运算法则 注意区分向量运算与实数运算的异同是解答该类题型的关键 例1 给出下列六个命题 两个向量相等 则它们的起点相同 终点相同 若 a b 则a b 若AB DC 则ABCD为平行四边形 若m n n p 则m p 若a b b c 则a c 其中不正确的个数是 A 2B 3C 4D 5 解析 两个向量起点相同 终点相同 则两向量相等 但两个向量相等 不一定有相同的起点和终点 所以 不正确 a b 但a b方向不确定 所以a b不一定相等 故 不正确 因为AB DC可能有A B C D在同一直线上 所以 不正确 零向量与任一非零向量都平行 当b 0时 a与c不一定平行 故 不正确 答案 C 变式1 判断下列命题是否正确 不正确的说明理由 1 若向量a与b同向 且 a b 则a b 2 若 a b 则a与b的长度相等且方向相同或相反 3 若 a b 且a与b的方向相同 则a b 4 由于零向量0方向不确定 故0不能与任意向量平行 解答 1 不正确 因为向量是不同于数量的一种量 它由两个因素来确定 即大小与方向 所以两个向量不能比较大小 故 不正确 2 不正确 由 a b 只能判断两向量长度相等 不能判断方向 3 正确 a b 且a与b同向 由两向量相等的条件可得a b 4 不正确 由零向量性质可得0与任一向量平行 可知 不正确 在求向量时 要尽可能地将其转化到平行四边形或三角形中去 选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量 运用向量的加减法及数乘运算来求解 例2 在 ABC中 D E分别为BC AC边上的中点 G为BE上一点 且GB 2GE 设试用a b表示 解答 变式2 在 ABC中 E F分别为AC AB的中点 BE与CF相交于G点 设AB a AC b 试用a b表示AG 解答 证0明三点A B C共线 借助向量 只需要证明由这三点A B C所组成的向量中有两个向量共线 即这两个向量之间存在一个实数 使a b b 0 即可 2 在求与一个已知向量a共线的向量时 可设所求向量为 a R 然后结合其他条件列出关于 的方程 求出 的值后代入 a即可得到欲求向量 例3 设两个非零向量e1和e2不共线 1 如果AB e1 e2 BC 3e1 2e2 CD 8e1 2e2 求证 A C D三点共线 2 如果AB e1 e2 BC 2e1 3e2 CD 2e1 ke2 且A C D三点共线 求k的值 提示 A C D三点共线 存在实数 使AC CD 证明 1 AB e1 e2 BC 3e1 2e2 CD 8e1 2e2 AC AB BC 4e1 e2 8e1 2e2 CD AC与CD共线 又 AC与CD有公共点C A C D三点共线 2 解答 AC AB BC e1 e2 2e1 3e2 3e1 2e2 A C D三点共线 AC与CD共线 从而存在实数 使得AC CD 即3e1 2e2 2e1 ke2 由平面向量的基本定理 得解之得 变式3 若a b是两个不共线的非零向量 a与b起点相同 则当t为何值时 a tb a b 三向量的终点在同一条直线上 解答 设OA a OB tb OC a b AC OC OA AB OB OA tb a 要使A B C三点共线 只需AC AB 即 tb a 有 当t 时 三向量终点在同一直线上 方法规律 1 向量是既有大小又有方向的量 从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征 因此借助于向量 我们可以将某些代数问题转化为几何问题 又可将几何问题转化为代数问题 故向量能起数形结合的桥梁作用 2 能否正确理解和牢固掌握共线向量 相等向量的概念很重要 它关系到我们今后在解决相关问题时能否灵活应用的问题 3 将向量用其他向量 特别是基向量 线性表示 是十分重要的技能 也是向量坐标形式的基础 4 首尾相连的若干向量之和等于以最初的向量起点为起点 最后的向量终点为终点的向量 若这两点重合 则和为零向量 本题满分5分 如下图 OM AB 点P在由射线OM 线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内 不含边界 且OP xOA yOB 则实数对 x y 可以是 解析 若x 则P A B三点共线 若x 则点P在直线OM上 若x 则点P在阴影区域内 若x y 则