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3 8函数的最大值与最小值 高三数学选修 第三章导数与微分 实际问题 如图 有一长80cm宽60cm的矩形不锈钢薄板 用此薄板折成一个长方体无盖容器 要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形 按加工要求 长方体的高不小于10cm且不大于20cm 设长方体的高为xcm 体积为Vcm3 问x为多大时 V最大 并求这个最大值 解 由长方体的高为xcm 可知其底面两边长分别是 80 2x cm 60 2x cm 10 x 20 所以体积V与高x有以下函数关系 V 80 2x 60 2x x 4 40 x 30 x x 一般地 在闭区间 a b 上连续的函数在 a b 上必有最大值与最小值 最值存在定理 一般地 在闭区间 a b 上连续的函数在 a b 上必有最大值与最小值 最值存在定理 求函数在内的极值 求上的连续函数的最大值与最小值的步骤 将f x 的各极值与f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 例1求函数在区间上的最大值与最小值 求 a b 上连续函数最值的方法 例题讲解 例1求函数在区间上的最大值与最小值 解 从表上可知 最大值是13 最小值是4 13 4 5 4 13 2 1 2 1 0 1 0 1 0 1 2 1 2 0 0 0 当x变化时 的变化情况如下表 单调性 2 将的解对应的函数值f x 与f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 1 在 a b 内解方程 但不需要判断是否是极值点 更不需要判断是极大值还是极小值 例题讲解 例1求函数在区间上的最大值与最小值 解 从上表可知 最大值是13 最小值是4 当x变化时 的变化情况如下表 13 4 5 4 13 2 1 2 1 0 1 0 1 0 1 2 1 2 0 0 0 例题讲解 所求最大值是13 最小值是4 例1求函数在区间上的最大值与最小值 又 2 将的解对应的函数值f x 与f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 1 在 a b 内解方程 求上的连续函数的最大值与最小值的简化步骤 课堂练习 求下列函数在所给的区间上的最大值与最小值 实际问题 解得 所以体积V与高x有以下函数关系 2 求闭区间上连续函数的最值的方法与步骤 1 在闭区间 a b 上连续的函数在 a b 上必有最大值与最小值 课堂小结 课外作业 教材P139练习1
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