函数的值域与最值高三数学课件 新课标 人教

函数的值域与最值 一 求函数值域的方法 1 配方法 二次函数 二次函数在给出区间上的最值有两类 一是求闭区间 a b 上函数的最值问题 二是求区间确定 运动 对称轴运动 确定 时函数的最值问题 在求二次函数的最值问题时 一定要注意数形结合 注意 两看 一看开口方向 二看对称轴与所给区间的相对位置关系 例 1 求函数y x2 2x 5 x 1 2 的值域 4 8 2 当x 0 2 时 函数f x ax2 4 a 1 x 3在x 2时取得最大值 则a的取值范围是 a 3 已知f x 3x b 2 x 4 的图象过点 2 1 则的值域为 2 5 略解 b 2 f 1 x log3x 2 1 x 9 F x log3x 2 2log3x 2 1 x 3 所以F x 的值域是 2 5 2 换元法 通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数 其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型 例 1 y 2sin2x 3cosx 1的值域为 2 的值域为 3 3 的值域为 4 的值域为 3 函数有界性法 直接求函数的值域困难时 可以利用已学过函数的有界性 来确定所求函数的值域 最常用的就是三角函数的有界性 例 1 求函数的值域 2 求函数的值域 0 1 3 求函数的值域 4 单调性法 利用一次函数 反比例函数 指数函数 对数函数等函数的单调性 例 1 求函数的值域 2 求函数的值域 3 求函数y 2x 3 的值域 5 数形结合法 函数解析式具有明显的某种几何意义 如两点的距离 直线斜率 等等 例 1 已知点P x y 在圆x2 y2 1上 求及y 2x的取值范围 2 求函数的值域 3 求函数的值域 6 判别式法 对分式函数 分子或分母中有一个是二次 都可通用 但这类题型有时也可以用其它方法进行求解 不必拘泥在判别式法上 也可先通过部分分式后 再利用均值不等式 型 可直接用不等式性质 例 求的值域 型 先化简 再用均值不等式 例 求的值域 求的值域 型 通常用判别式法 例 已知函数的定义域为R 值域为 0 2 求常数m n的值 m n 5 7 不等式法 利用基本不等式a b 求函数的最值 其题型特征解析式是和式时 求乘积为定值 当解析式为乘积时 求它们的和为定值 不过有时须要用到拆项 添项和两边平方等技巧 例 设x a1 a2 y成等差数列 x b1 b2 y成等比数列 则的取值范围是 8 导数法 一般适用于高次多项式函数 例 求函数y 2x3 4x2 40 x x 3 3 的最小值 48 提醒 1 求函数的定义域 值域时 你按要求写成集合形式了吗 2 函数的最值与值域之间有何关系 例题 例一 下列函数中 值域是 0 的函数是 A y x2 x 1 B y C y 3 1 D y log2x2 B 例二 设集合A 1 b b 1 f x x 1 2 1 x A 若f x 的值域也为A 则b的值是 3 例三 已知函数在x 3时取得极值 则a等于 A 2B 3C 4D 5 D 例四 若函数在区间 a 2a 上的最大值是最小值的3倍 则a等于 例五 函数在 0 1 上的最大值和最小值之和为a 则a的值为 A B C 2D 4 B 例六 已知函数