2017届北京市朝阳区高三(上)期中数学试卷(理科)(解析版).doc

2016-2017学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知全集U=R，集合A=x|x22x0，B=x|x10，那么AUB=（）Ax|0x1Bx|x0Cx|x2Dx|1x22下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在（0，+）上单调递减的是（）Ay=x2By=x+1Cy=lg|x|Dy=2x3若a=log2.10.6，b=2.10.6，c=log0.50.6，则a，b，c的大小关系是（）AabcBbcaCcbaDbac4已知函数f（x）=ax2x，若对任意x1，x22，+），且x1x2，不等式0恒成立，则实数a的取值范围是（）ABCD5设mR且m0，“不等式m+4”成立的一个充分不必要条件是（）Am0Bm1Cm2Dm26已知三角形ABC外接圆O的半径为1（O为圆心），且2+=0，|=2|，则等于（）ABCD7已知函数f（x）=则函数g（x）=f（f（x）的零点个数是（）A4B3C2D185个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）A总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在答题卡上9设平面向量=（1，2），=（2，y），若，则y=10函数f（x）=cos2xsin2x的单调递减区间为11各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若a3=2，S4=5S2，则a1的值为，S4的值为12已知角A为三角形的一个内角，且，则tanA=，tan（A+）=13已知函数f（x）=在（，+）上是具有单调性，则实数m的取值范围14九章算术是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇”试确定离开长安后的第天，两马相逢三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15已知数列an（nN*）是公差不为0的等差数列，a1=1，且，成等比数列（）求数列an的通项公式；（）设数列的前n项和为Tn，求证：Tn116已知函数f（x）=asinxcosx（aR）的图象经过点（，0）（）求f（x）的最小正周期；（）若x，求f（x）的取值范围17如图，已知A，B，C，D四点共面，且CD=1，BC=2，AB=4，ABC=120，cosBDC=（）求sinDBC；（）求AD18已知函数f（x）=ax+cosx（aR），x，（）若函数f（x）是偶函数，试求a的值；（）当a0时，求证：函数f（x）在（0，）上单调递减19已知函数f（x）=ex（x2a），aR（）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（）若函数f（x）在（3，0）上单调递减，试求a的取值范围；（）若函数f（x）的最小值为2e，试求a的值20设a，b是正奇数，数列cn（nN*）定义如下：c1=a，c2=b，对任意n3，cn是cn1+cn2的最大奇约数数列cn中的所有项构成集合A（）若a=9，b=15，写出集合A；（）对k1，令dk=maxc2k，c2k1（maxp，q表示p，q中的较大值），求证：dk+1dk；（）证明集合A是有限集，并写出集合A中的最小数2016-2017学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知全集U=R，集合A=x|x22x0，B=x|x10，那么AUB=（）Ax|0x1Bx|x0Cx|x2Dx|1x2【考点】交、并、补集的混合运算【分析】分别求出A与B中不等式的解集，确定出A与B，找出A与B补集的交集即可【解答】解：由A中的不等式变形得：x（x2）0，解得：0x2，即A=x|0x2，由B中的不等式解得：x1，即B=x|x1，全集U=R，UB=x|x1，则A（UB）=x|0x1故选：A2下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在（0，+）上单调递减的是（）Ay=x2By=x+1Cy=lg|x|Dy=2x【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断【分析】选项A：y=x2在（0，+）上单调递增，不符合条件；选项B：代入特殊值x=1，可知f（1）f（1），且f（1）f（1），故y=x+1是非奇非偶函数，不符合条件；选项C：先求出定义域，再根据奇偶性的定义，确定y=lg|x|是偶函数，x0时，y=lg|x|=lgx单调递减，故符合条件；选项D：代入特殊值x=1，可知f（1）f（1），且f（1）f（1），故y=x+1是非奇非偶函数，不符合条件；【解答】解：选项A：f（x）=x2的定义域为R，又f（x）=（x）2=x2，f（x）=f（x），即f（x）是偶函数但y=x2在（0，+）上单调递增，故A不正确；选项B：记f（x）=x+1，则f（1）=2，f（1）=0，f（1）f（1），且f（1）f（1），y=x+1是非奇非偶函数，故B不正确；选项C：定义域为（，0）（0，+），记f（x）=lg|x|，f（x）=lg|x|=lg|x|，f（x）=f（x），即f（x）是偶函数当x（0，+）时，y=lgxy=lgx在（0，+）上单调递增，y=lgx在（0，+）上单调递减故C正确；选项D：记f（x）=2x，则f（1）=，f（1）=2，f（1）f（1），且f（1）f（1），y=2x是非奇非偶函数，故D不正确故选：C3若a=log2.10.6，b=2.10.6，c=log0.50.6，则a，b，c的大小关系是（）AabcBbcaCcbaDbac【考点】对数值大小的比较【分析】直接利用中间量“0”，“1”判断三个数的大小即可【解答】解：a=log2.10.60，b=2.10.61，0c=log0.50.61bca，故选：B4已知函数f（x）=ax2x，若对任意x1，x22，+），且x1x2，不等式0恒成立，则实数a的取值范围是（）ABCD【考点】函数单调性的判断与证明【分析】对进行化简，转化为a（x1+x2）10恒成立，再将不等式变形，得到a，从而将恒成立问题转变成求的最大值，即可求出a的取值范围【解答】解：不妨设x2x12，=a（x1+x2）1，对任意x1，x22，+），且x1x2，0恒成立，x2x12时，a（x1+x2）10，即a恒成立x2x12a，即a的取值范围为，+）故本题选D5设mR且m0，“不等式m+4”成立的一个充分不必要条件是（）Am0Bm1Cm2Dm2【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据基本不等式的性质，结合充分不必要条件的定义进行判断即可【解答】解：当m0时，不等式m+4不成立，当m0时，m+2=4，当且仅当m=，即m=2时，取等号，A当m=2时，满足m0，但不等式m+4不成立，不是充分条件，B当m=2时，满足m1，但不等式m+4不成立，不是充分条件，C当m2时，不等式m+4成立，反之不一定成立，是充分不必要条件，满足条件D当m=2时，满足m2，但不等式m+4不成立，不是充分条件，故选：C6已知三角形ABC外接圆O的半径为1（O为圆心），且2+=0，|=2|，则等于（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算【分析】由题意可得三角形是以角A为直角的直角三角形，解直角三角形求出相应的边和角，代入数量积公式得答案【解答】解：三角形ABC外接圆O的半径为1（O为圆心），2+=0，O为BC的中点，故ABC是直角三角形，A为直角又|=2|，|=，|=2，|=，cosC=，=2=故选：A7已知函数f（x）=则函数g（x）=f（f（x）的零点个数是（）A4B3C2D1【考点】函数零点的判定定理【分析】作出函数的图象，先求出f（x）=的根，然后利用数形结合转化为两个函数的交点个数即可【解答】解：作出函数f（x）的图象如图：当x0时，由f（x）=得x+1=，即x=1=，当x0时，由f（x）=得log2x=，即x=，由g（x）=f（f（x）=0得f（f（x）=，则f（x）=或f（x）=，若f（x）=，此时方程f（x）=有两个交点，若f（x）=，此时方程f（x）=只有一个交点，则数g（x）=f（f（x）的零点个数是3个，故选：B85个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）A总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个【考点】进行简单的合情推理【分析】5个黑球和4个白球，5为奇数，4为偶数，分析即可得到答案【解答】解：5为奇数，4为偶数，故总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多，故选：A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在答题卡上9设平面向量=（1，2），=（2，y），若，则y=4【考点】平行向量与共线向量【分析】直接利用向量共线的坐标表示列式计算【解答】解：=（1，2），=（2，y），1y=2（2）y=4故答案为：410函数f（x）=cos2xsin2x的单调递减区间为【考点】二倍角的余弦；余弦函数的图象【分析】由条件利用二倍角的余弦函数公式化简函数的解析式，再根据余弦函数的单调性求得函数的单调递减区间【解答】解：对于函数y=cos2xsin2x=cos2x，令2k2x2k+，kZ，求得：kxk+，kZ，可得函数的单调递减区间是：故答案为：11各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若a3=2，S4=5S2，则a1的值为，S4的值为【考点】等比数列的前n项和【分析】经分析等比数列为非常数列，设出等比数列的公比，有给出的条件列方程组求出a1和q的值，则S4的值可求【解答】解：若等比数列的公比等于1，由a3=2，则S4=4a3=42=8，5S2=52S3=522=20，与题意不符设等比数列的公比为q（q1），由a3=2，S4=5S2，得：，整理得，解得，q=2因为数列an的各项均为正数，所以q=2则故答案为；12已知角A为三角形的一个内角，且，则tanA=，tan（A+）=7【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sinA的值，可得tanA的值，再利用两角和的正切公式求得tan（A+）的值【解答】解：已知角A为三角形的一个内角，且，则sinA=，tanA=tan（A+）=7，故答案为，713已知函数f（x）=在（，+）上是具有单调性，则实数m的取值范围（1，【考点】函数单调性的性质【分析】函数f（x）在（，+）上是具有单调性，需要对m分类讨论，当m1，m1，m=1、0，1m0，0m1分别判断分段函数的单调性【解答】解：令 h（x）=mx2+1，x0；g（x）=（m21）2x，x0；当 m1时，要使得f（x）在（，+）上是具有单调性，即要满足m211m故：1m；当 m1时，h（x）在x0上递减，g（x）在x0上递增，所以，f（x）在R上不具有单调性，不符合题意；当 m=1时，g（x）=0；当m=0时，h（x）=1；所以，f（x）在R上不具有单调性，不符合题意；当1m0 时，h（x）在x0上递减，g（x）在x0上递减，对于任意的x0，g（x）0；当x0时，h（x）0；所以，f（x）在R上不具有单调性，不符合题意；当0m1时，h（x）在x0上递增，g（x）在x0上递减；所以，f（x）在R上不具有单调性，不符合题意；故答案为：（1，14九章算术是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇”试确定离开长安后的第20天，两马相逢【考点】等差数列的前n项和【分析】利用等差数列的求和公式与不等式的解法即可得出【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为an，其中a1=103，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为bn，其中b1=97，d=0.5；设第m天相逢，则a1+a2+am+b1+b2+bm=103m+97m+=200m+12.523000，化为m2+31m9600，解得m，取m=20故答案为：20三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15已知数列an（nN*）是公差不为0的等差数列，a1=1，且，成等比数列（）求数列an的通项公式；（）设数列的前n项和为Tn，求证：Tn1【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（）利用已知列出关于工程师了公差方程求出公差；得到通项公式；（）利用（）的结论，将通项公式代入，利用裂项求和证明即可【解答】解：（）设an的公差为d因为成等比数列，所以即化简得，即d2=a1d又a1=1，且d0，解得d=1所以有an=a1+（n1）d=n （）由（）得：所以因此，Tn1 16已知函数f（x）=asinxcosx（aR）的图象经过点（，0）（）求f（x）的最小正周期；（）若x，求f（x）的取值范围【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】（）根据函数f（x）的图象过点，代入函数解析式求出a的值，从而写出函数解析式并求出最小正周期；（）根据x的取值范围，计算f（x）的最值，从而求出它的取值范围【解答】解：（）因为函数的图象经过点，所以，解得 a=1； 所以，所以f（x）最小正周期为T=2； （）因为，所以；所以当，即时，f（x）取得最大值，最大值是2；当，即时，f（x）取得最小值，最小值是1；所以f（x）的取值范围是1，2 17如图，已知A，B，C，D四点共面，且CD=1，BC=2，AB=4，ABC=120，cosBDC=（）求sinDBC；（）求AD【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（）利用已知及同角三角函数基本关系式可求，进而利用正弦定理即可求得sinDBC的值（）在BDC中，由余弦定理可求DB的值，利用同角三角函数基本关系式可求，进而利用两角差的余弦函数公式可求cosABD的值，在ABD中，由余弦定理可求AD的值【解答】（本小题满分13分）解：（）在BDC中，因为，所以由正弦定理得， （）在BDC中，由BC2=DC2+DB22DCDBcosBDC，得， 所以解得或（舍）由已知得DBC是锐角，又，所以所以cosABD=cos=cos120cosDBC+sin120sinDBC=在ABD中，因为AD2=AB2+BD22ABBDcosABD=，所以 18已知函数f（x）=ax+cosx（aR），x，（）若函数f（x）是偶函数，试求a的值；（）当a0时，求证：函数f（x）在（0，）上单调递减【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质【分析】（）根据偶函数的定义，f（x）=f（x）恒成立，求出a的值；（）利用导数大于0或小于0，判断函数f（x）是单调增函数单调减函数即可【解答】解：（）因为函数f（x）是偶函数，所以f（x）=a（x）+cos（x）=+ax+cosx=f（x）=ax+cosx恒成立，所以a=0； （）由题意可知，设，则；注意到，a0；由g（x）0，即，解得；由g（x）0，即，解得；所以g（x）在上单调递减，上单调递增；所以当，g（x）g（0）=0a0，所以f（x）在单调递减，当，所以f（x）在单调递减，所以当a0时，函数f（x）在上单调递减19已知函数f（x）=ex（x2a），aR（）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（）若函数f（x）在（3，0）上单调递减，试求a的取值范围；（）若函数f（x）的最小值为2e，试求a的值【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）利用导数求出x=0处的切线斜率，根据点斜式写出切线方程；（2）函数f（x）在（3，0）上单调递减，即当x（3，0）时，x2+2xa0恒成立要使得“当x（3，0）时，x2+2xa0恒成立”，等价于即所以a3 （3）根据函数的单调性，得出函数f（x）的最小值只能在处取得【解答】解：由题意可知f（x）=ex（x2+2xa）（）因为a=1，则f（0）=1，f（0）=1，所以函数f（x）在点（0，f（0）处的切线方程为y（1）=（x0）即x+y+1=0 （）因为函数f（x）在（3，0）上单调递减，所以当x（3，0）时，f（x）=ex（x2+2xa）0恒成立即当x（3，0）时，x2+2xa0恒成立显然，当x（3，1）时，函数g（x）=x2+2xa单调递减，当x（1，0）时，函数g（x）=x2+2xa单调递增所以要使得“当x（3，0）时，x2+2xa0恒成立”，等价于即所以a3 （）设g（x）=x2+2xa，则=4+4a当=4+4a0，即a1时，g（x）0，所以f（x）0所以函数f（x）在（，+）单增，所以函数f（x）没有最小值当=4+4a0，即a1时，令f（x）=ex（x2+2xa）=0得x2+2xa=0，解得随着x变化时，f（x）和f（x）的变化情况如下：xf（x）+00