专业课 微观十八讲 十八讲答案最靠谱但也有争议 第十讲

第十讲 策略性博弈与平新乔微观经济学十八讲答案EatingNoodles第十讲 策略性博弈与纳什均衡1. 假设厂商A与厂商B的平均与边际成本都是常数，对厂商的需求函数是。1.1. 如果厂商进行Bertrand竞争，在纳什均衡下的市场价格是多少？答：其价格，为任意小的正数。1.2. 每个厂商的利润分别是多少？答：A的利润为零，B的为。1.3. 这个均衡是帕累托最优吗？答：不是。比如，策略组合帕累托占优于该均衡，所以它不是。2. 单项选择：在下面的支付矩阵中，第一个数表示的支付水平，第二个数表示的支付水平，、是正的常数。如果选择“下”而选择“右”，那么：左右上下（1）且，（2）且，（3）且，（4）且，（5）且解：（下，右）为重复剔除占优均衡。答案为（4）。3. 斯密与约翰玩数字匹配游戏。每一个人选择1、2或者3。如果数字相同，约翰支付给斯密3美元。如果支付不同，斯密支付给约翰1美元。3.1. 斯密1231-1，1-3，3-3，3约翰2-3，3-1，1-3，33-3，3-3，3-1，1带下划线的策略是给定对方任一选择，本方的占优策略。不存在纳什均衡。3.2. 如果每一个居中人以1/3的概率选择每一个数字，证明这个对策的混合策略确实有一个纳什均衡。这个对策的值是多少？解：搞不懂它在问什么，好像已经先回答了。大概意思是证明每个人都以1/3的概率来选择一个数字的混合策略是纳什均衡。若斯密以1/3的概率选择任一数字，那么约翰选择任一数字的期望收益相等。同理，约翰以1/3的概率选择任一数字，那么约翰选择任一数字的期望收益相等。所以该策略组合是一个混合策略纳什均衡。4. 假定世界上氪的整个供给由20个人控制，每一个人拥有这种强有力的矿物质10000克。世界对氪的需求是其中是每克的价格。4.1. 如果所有拥有者合谋控制氪的价格，他们设置的价格是多少？他们能够卖出的量是多少？解：合谋控制价格等价于垄断。由需求曲线知，又，由垄断定价规则，得到价格为0.5，供给量为500克。4.2. 为什么（1）中计算的价格是不稳定的？解：拥有量大于合谋下的供给量，而且垄断价格大于边际成本零，所以尚有未售出氪的拥有者就有动力多售出氪，这样，尽管氪价会降低，却仍会提高自身的利润水平。因此（1）中计算的价格是不稳定的。4.3. 通过改变要求保持市场价格的产出，在没有厂商能够获利的意义下存在一个稳定的均衡时，氪的价格是多少？解：题目要求即完全竞争市场的均衡结果。令，得到氪的价格为零。5. 在下表所示的策略型博弈中，找出占优均衡。4，35，16，22，18，43，63，09，62，8答：对两个参与者，找出给定对方策略时，本方的占优策略（以下划线标注）。由此，可知，没有占优均衡，但存在唯一纳什均衡。6. 模型化下述划拳博弈：两个老朋友在一起划拳喝酒，每个人有四个纯策略：杆子、老虎、鸡和虫子。输赢规则是：杆子降老虎，老虎降鸡，鸡降虫子，虫子降杆子。两个人同时出令。如果一个打败另一个，赢者效用为1，输者的效用为；否则，效用均为0。写出这个博弈的收益矩阵。这个博弈有纯策略纳什均衡吗？计算出混合策略纳什均衡。解：模型化结果如下。元素为，其中为参与者的在给定策略组合下的效用水平。杆子老虎鸡虫子杆子0，01，0，0，1老虎，10，01，0，0鸡0，0，10，01，虫子1，0，0，10，0对两个参与者，找出给定对方策略时，本方的占优策略（以下划线标注）。由此，可知，没有纯策略纳什均衡。分别记、为、选择策略的概率。，其中代表杆子，代表老虎，代表鸡，代表虫子。记，。那么，使对各个纯策略均无差异的需要满足，以及，。解得，且，。同理，可得使对各个纯策略均无差异的满足，且，。因此，满足以上条件的策略组合，都是该博弈的混合策略纳什均衡。7. 巧克力市场上有两个厂商，各自都可以选择取市场的高端（高质量），还是去低端（低质量）。相应的利润由如下得益矩阵给出。厂商2低高厂商1低-20，-30900，600高100，80050，507.1. 如果有的话，哪些结果是纳什均衡。答：（高，低），（低，高），对应结果分别为（100，800），（900，600）。7.2. 如何各企业的经营者都是保守的，并都采用最大最小化策略，结果如何？答：均衡为（高，高），结果为（50，50）。7.3. 合作的结果是什么？答：均衡为（低，高），结果为（900，600）。7.4. 哪个厂商从合作的结果中得好处最多？那个厂商要说服另一个厂商需要给另一个厂商多少好处？答：厂商1得好处最多。应该给200。这个问根据不同的标准，应有不同的答案。8. 考虑在c，f，g，三个主要汽车生产商之间的博弈。每一个厂商可以生产要么打大型车，要么小型车，但不可同时生产两种型号的车。即，对于每一个厂商i，他的行动集合为。用代表所选择的行动，代表厂商的利润。假设，每个厂商的利润函数定义如下：，如果，；，如果，；，如果，且，；，如果，且，；，如果，且，；，如果，且，。8.1. 当时，是否存在纳什均衡，请证明。答：存在纳什均衡。纳什均衡是，。考虑三家选择行动相同，那么任何人得到，又，所以任何厂商都有动力背离自身选择。当三家选择行动不同时，不妨考虑，给定其他人的选择没有动力背离，因为，而给定其他人的选择，、对背离与否是无差异的，因此该策略组合是一个纳什均衡。8.2. 当时，是否存在纳什均衡，请证明。答：存在纳什均衡。如果三家行动相同，那么给定其他人的选择，任何一个人都有动力背离，因为。如果三家行动不同，考虑，没有动力背离，因为，而给定其他人的选择，、对背离与否是无差异的，因此，该策略组合是一个纳什均衡。9. 考虑下列策略性博弈：1，-2-2，10，0-2，11，-20，0 0，00，01，1请问，该博弈里有几个均衡？为什么？答：只有一个均衡，即纯策略均衡（D，R）。考虑混合策略均衡，设B选择L、M、R的概率分别为、，使对各个纯策略无差异，它们需要满足，且但由前两个条件解得唯一解，但该解不满足最后一个不等式条件。所以该博弈不存在混合策略纳什均衡。10. 考虑下列策略型博弈：210，0，10-5，-5，0-5，-5，01，1，521-2，-2，0-5，-5，0-5，-5，0-1，-1，5每一格左边的数字是游戏者1的得益，中间的数字为游戏者2的得益，右边的数字为游戏者三的得益。游戏者三的策略是选择矩阵或选矩阵。10.1. 上述博弈中有几个纯策略纳什均衡？为什么？答：有两个，和、。在矩阵中，对任意行动者，将给定其它两个游戏者的行动，他的占优行动用下划线表示出来；由此可以得到这三个纯策略纳什均衡。10.2. 如果三个游戏者中可以有两个人结盟共同对付另一个人，会出现什么结果。在哪一个均衡结果中没有人会有“结盟”动机？为什么？答：在均衡中，当存在一个策略的同时改变，使得“同盟”中成员的收益非减。那么，我认为这样的同盟是可能的。在均衡中，3没有动力与任何人结盟以改变，因为它在该均衡中得到了最高payoff，10。给定3选择，1和2有动力结盟，同时改变选择，以到达均衡，使双方的收益增加1。在均衡中，给定3的选择，1和2没有结盟动力。而给定1或2的选择，2或1都可以与3结盟，以到达均衡，使得2或1的收益增加2，而3的收益不变。由于在三个纯策略均衡中，以上两个均衡中所形成的同盟，其转移目标均为均衡，所以在，没有同盟可以存在。11. 在下列策略型博弈里，什么是占优解？什么是纯策略纳什均衡解？II2，01，14，2I3，41，22，31，30，23，0没有占优解。纯策略纳什均衡解为，。12. 判断对错，并简要说明理由。12.1. 如果每个人的策略都是优超策略，那么必将构成一个纳什均衡。答：对。因为在优超策略组合中，给定其他人的策略，每个人都没有动力改变自己的选择。12.2. 在囚徒困境中，如果每一个囚犯都相信另一个囚犯会抵赖，那么两个人都会抵赖。答：错。因为每一个囚犯都不知道对方知道自己会抵赖，以此类推。12.3. 一个将军有两个纯策略，要么把所有的部队从陆地运输，要么把所有的部队从海洋上运输。那么把1/4的部队从陆地运输，把其余3/4的部队从海洋运输构成一个混合策略。答：错。这仍然是一个纯策略。混合策略是在纯策略集合上确定的一个概率分布。而该题中，将军分割军队的决定事实上是扩大纯策略的集合。13. 一个小镇中，有个人，每人有100元钱，如果每人都向一个集资箱中捐一笔钱（可以为零）而共收集到元，那么从一个基金中拿出相同数量的钱放入集资箱，最后当集资被分配时，每人获得元，求解这一博弈的均衡。答：考虑行动者，。记捐出的钱为，的收益为，又记。给定，最大化收益的一阶条件为，且在，等号成立。又。所以当时，所以。当时，所以。当时，所以。由于所有行动者的行为相同，所以当时，纳什均衡为，。当时，纳什均衡为，。当时，纳什均衡为。14. Frank和Nancy约定下一周的某一天在小镇的咖啡厅见面，但他们如此兴奋以至于忘记了在哪一个咖啡厅约会，所幸得是小镇上只有两个咖啡厅，“夕阳”和“海湾”，并且他们知道彼此的偏好。事实上，如果二人都去了“夕阳”，Frank的效用是3而Nancy的效用是2，如果二人都去了“海湾”，Frank的效用是2而Nancy的效用是3，如果而然去的地方不同，则效用水平