高考数学大一轮总复习 几何证明选讲 第一节 全等与相似课件 理 北师大版选修41.ppt

选修4 1几何证明选讲 第一节全等与相似 最新考纲1 了解平行线分线段成比例定理与三角形内角平分线定理 2 掌握相似三角形的判定定理及性质定理 3 会证明并应用直角三角形射影定理 j基础知识自主学习 1 图形变化的不变性与平移 旋转 反射 1 图形变化的不变性 图形在变化过程中 有些性质改变了 有些性质仍然保持 常见的图形变化 如平移 相似 包括位似 2 平移 旋转 反射 平移变换 图形的 过程称为平移变换 旋转变换 图形的 过程称为旋转变换 不变 旋转 轴对称 平移 旋转 反射变换 一个图形f绕一条直线l翻转 得到另外一个图形f 则f与f 关于l 这种图形的变化过程称为反射变换 直线l称为反射轴 平移变换 旋转变换 反射变换的性质一个图形通过平移变换 旋转变换 反射变换变为另外一个图形 其对应线段的长度 对应角的大小 因此 变换前后两个图形是 的 但图形的位置可能发生改变 180 对称 不变 不变 全等 2 相似与位似 1 相似变换 两个图形的形状相同 但大小不同 这两个图形是 把一个图形按一定比例 或 这种图形的变化过程称为相似变换 2 位似变换 把一个图形变为它的 图形 这种图形的变化过程称为位似变换 3 相似与位似变换的性质一个图形通过相似变换 或位似变换 变为另外一个图形 其形状 对应角的大小 但图形的 发生了改变 位似变换是一种特殊的 变换 相似图形 放大 缩小 位似 不变 不变 位置 相似 3 平行线分线段成比例定理 1 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线 截得的对应线段 2 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线 截得的对应线段 3 三角形内角平分线定理 三角形的内角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边 4 直角三角形的射影定理直角三角形的每一条直角边是它在斜边上的射影与斜边的 斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的 成比例 成比例 对应成比例 比例中项 比例中项 解析由平行线分线段成比例定理可直接得到答案 2 如图 de bc df ac ad 4cm bd 8cm de 5cm 则线段bf的长为 10cm 3 如图 在rt abc中 cab 90 ad bc于点d ab ac 3 2 则cd bd 4 9 4 如图 e是 abcd的边ab延长线上的一点 且dc be 3 2 则ad bf 5 2 3 r热点命题深度剖析 例1 如图 在梯形abcd中 ad bc bd与ac相交于点o 过点o的直线分别交ab cd于e f 且ef bc 若ad 12 bc 20 求ef 规律方法 1 利用平行线分线段成比例定理来计算或证明 首先要观察平行线组 再确定所截直线 进而确定比例线段及比例式 同时注意合比性质 等比性质的运用 2 平行线分线段成比例定理及推论是证明两条线段相等的重要依据 特别是在应用推论时 一定要明确哪一条线段平行于三角形的一边 是否过一边的中点 变式训练1如图所示 在 abc中 de bc ef cd 若bc 3 de 2 df 1 求ab的长 例2 如图 已知在 abc中 d是bc边的中点 且ad ac de bc de与ab相交于点e ec与ad相交于点f 1 求证 abc fcd 解 证明 因为de bc d是bc的中点 所以eb ec 所以 b bce 又因为ad ac 所以 adc acb 所以 abc fcd 2 若s fcd 5 bc 10 求de的长 解 如图 过点a作am bc 垂足为点m 规律方法 1 判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理 特别要注意对应角和对应边 证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题 2 相似三角形的性质可用来证明线段成比例 角相等 可间接证明线段相等 变式训练2如图 ab与cd相交于点e 过点e作bc的平行线与ad的延长线交于点p 已知 a c pd 2da 2 则pe 规律方法 巧用射影定理解题已知条件中含直角三角形 且涉及直角三角形斜边上的高时 应首先考虑射影定理 注意射影定理与斜边的对应法则 根据题目中的结论分析并选择射影定理中的等式 并分清比例中项 变式训练3如图所示 在 abc中 ad bc于点d de ab于点e df ac于点f 求证 ae ab af ac 证明 ad bc adb为直角三角形 又 de ab 由射影定理知 ad2 ae ab 同理可得ad2 af ac ae ab af ac s思想方法感悟提升 2个注意点 运用平行线分线段成比例定理的注意点 1 平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例 在运用平行线分线段成比例定理时要注意平行线的不同位置 以及在三角形与四边形中的灵活应用 2 证明线段成比例 若已知条件中没有平行线 但有三角形相似的条件 如角相等 有相等的比例式等