数学人教版九年级上册24.1.2垂直于弦的直径.doc

24.1.2垂直于弦的直径1.通过观察试验,理解圆的轴对称性.2.掌握垂径定理及其推论.3.会用垂径定理解决有关的证明与计算问题.1.通过探索圆的对称性及相关性质,培养学生动手操作能力及观察、分析、逻辑推理和归纳概括能力.2.经历探究垂径定理及其推论的过程,进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.1.通过探究垂径定理的活动,激发学生探究、发现数学问题的兴趣,培养学生大胆猜想、乐于探究的良好品质.2.培养学生观察能力,激发学生的好奇心和求知欲,并从数学学习活动中获得成功的体验.【重点】垂径定理及其应用.【难点】探索并证明垂径定理,利用垂径定理解决一些实际问题.【教师准备】多媒体课件15.【学生准备】圆形纸片、预习教材P8183.导入一:【课件1】赵州桥(如图所示)是我国隋代建造的石拱桥,距今约有1400年的历史,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m,求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).过渡语要解决这个实际问题,我们的知识储备还不够,通过这节课的学习,我们将能解决这类和圆有关的实际问题.导入二:复习提问:1.什么是轴对称图形?2.圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?3.你是用什么方法解决上述问题的?(教师引导折叠课前准备的圆形纸片.)4.直径是圆的对称轴这种说法正确吗?【师生活动】学生思考后小组合作交流,学生回答后教师点评,指出“直径是圆的对称轴”这种说法错误的原因.【课件2】圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.设计意图通过实际问题导入新课,让学生感受数学来源于生活,又应用于生活.通过复习旧知识和创设动手操作活动,激发学生的学习兴趣,引出本节内容,为本节课的学习进行铺垫.过渡语我们知道了圆是轴对称图形,并且直径所在直线就是它的对称轴,那么今天我们就利用圆的对称性来探究圆还有哪些性质.一、共同探究1思路一在自己课前准备的纸片上作图.1.任意作一条弦AA.2.过圆心O作弦AA的垂线,得直径CD交AA于点M.3.观察图形,你能找到哪些相等线段?4.你能证明你的结论吗?写出你的证明过程.5.如果沿着CD折叠,你能不能得到相等的弧?6.图形中的已知条件、结论分别是什么?你能用语言叙述这个命题吗?【师生活动】让学生独立思考、尝试证明,然后小组合作交流,共同探究结论.教师在巡视过程中帮助有困难的学生.学生回答问题,并展示自己的证明过程,教师适时点评.【课件3】证明:连接OA,OA,在OAA中,OA=OA,OAA是等腰三角形.又AACD,AM=MA.即CD是AA的垂直平分线.这就是说,对于圆上任意一点A,在圆上都有关于直线CD的对称点A,因此O关于直线CD对称.把圆沿着直径CD折叠时,点A与点A重合,AM与AM重合,AD,AC分别与AD,AC重合.因此,AM=AM,AD=AD,AC=AC.即直径CD平分弦AA,并且平分AA,ACA.垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.思路二动手操作:1.把课前准备的圆形纸片(O)对折,使圆的两半部分重合;2.把得到的折痕记作CD;3.在O上任取一点A,过点A作折痕CD的垂线,沿垂线折叠,得到新的折痕,两条折痕的交点为M,即垂足为M.4.将纸片打开,新的折痕与圆交于另一点A.(如上图所示)【思考】1.通过上面的操作,你发现了哪些相等的线段和相等的弧?为什么?2.你能不能把刚才的操作当成条件,观察到的结果作为结论,归纳出一个正确的命题?【师生活动】互相交流操作结果及思考后得到的结论,教师对学习有困难的学生给予帮助,学生展示后教师点评.由折叠可得A与A重合,AD,AC分别与AD,AC重合.AM=MA,AD=AD,AC=AC.即直径CD平分弦AA,并且平分AA,ACA.归纳结论:垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.设计意图通过学生动手操作、观察、分析、交流,教师引导归纳出垂直于弦的直径的性质,经历知识的形成过程,培养学生观察能力和归纳概括能力,提高分析问题、解决问题的能力,同时感受圆的对称美.二、共同探究2【思考】1.垂径定理的条件和结论分别是什么?条件:过圆心;垂直于弦.结论:平分弦;平分弦所对的劣弧;平分弦所对的优弧.2.条件改为:过圆心;平分弦.结论改为:垂直于弦;平分弦所对的劣弧;平分弦所对的优弧.这个命题正确吗?说明理由.【师生活动】学生口述理由,教师点评.3.你能用语言叙述这个结论吗?【学生活动】尝试用语言叙述结论,教师及时补充.【课件4】推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.4.为什么要求“弦不是直径”?否则会出现什么情况?设计意图把定理的条件和结论用序号标识,加深对定理和推论的理解和记忆,有利于解决易混淆的题目,同时培养了学生解决问题的意识和能力.三、共同探究3过渡语经过这节课的学习,让我们看看能不能解决新课导入中的实际问题吧.教材例2讲解【共同分析】1.如何根据赵州桥的实物图画出几何图形?2.结合所画图形思考:(1)桥的跨度是弧所对的,弧的中点到弦的距离是,它与所在圆的半径之间的关系是.(2)如何找到弧的中点?(根据垂径定理,过圆心作弦的垂线与弧相交.)(3)如何把圆的半径转化为三角形中的线段?(连接半径,构造直角三角形.)(4)构造的直角三角形中三边之间有什么特点?(一边是弦长的一半,另两边的长的差等于拱高.)(5)直角三角形中已知一边、另外两边之间的关系,如何求另两边长?(设未知数,用勾股定理列方程求解.)【师生活动】教师引导,师生共同完成思考题后,学生书写解题过程,教师点评.【课件5】解:如图所示,用AB表示主桥拱,设AB所在圆的圆心为O,半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC,D为垂足,OC与AB相交于点C,连接OA.根据垂径定理,D是AB的中点,C是AB的中点,CD就是拱高.由题设可知AB=37 m,CD=7.23 m,所以AD=12AB=1237=18.5(m),OD=OC-CD=R-7.23.在RtOAD中,由勾股定理,得OA2=AD2+OD2,即R2=18.52+(R-7.23)2.解得R27.3(m).因此,赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m.【思考】1.在圆中解决有关弦的问题,常作什么辅助线?2.在圆中解决有关弦的问题,常用什么方法?【师生活动】学生思考回答后,教师归纳总结.在圆中解决有关弦的问题时,常常过圆心作弦的垂线段作为辅助线,这样可以把垂径定理和勾股定理结合,得到圆的半径r、弦心距d、弦长a的一半之间的关系式:r2=d2+a22.设计意图教师引导学生共同分析、解决问题,降低了例题的难度,体会建模思想在数学中的应用,同时掌握一类题型的解题方法,作辅助线的方法,提高了学生分析问题、解决问题的能力和归纳总结能力.知识拓展1.由垂径定理可以得到以下结论:(1)若直径垂直于弦,则直径平分弦及其所对的两条弧.(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.(3)垂直且平分一条弦的直线过圆心.综上所述,可以知道在过圆心;垂直于弦;平分弦;平分弦所对的劣弧;平分弦所对的优弧这五个条件中满足其中任意两个,就可以推出另外三项,简称5.2.3定理.2.利用垂径定理及其推论可以证明平分弧、平分弦,证明垂直,证明一条线段是直径.3.利用垂径定理的推论可以确定圆心的位置:在圆中找两条不平行的弦,分别作两条弦的垂直平分线,两条垂直平分线的交点即为圆心.4.由于垂直于弦的直径平分弦,因此可以在圆中构造直角三角形,利用勾股定理列方程求弦长(或半径).5.圆心到弦的距离叫做弦心距.1.圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.2.垂径定理、推论及其应用.3.垂径定理和勾股定理相结合,可将圆的问题转化为直角三角形问题.4.圆中常作的辅助线:连半径、过圆心作弦的垂线.1.如图所示,AB是O的直径,CD是弦,CDAB于点E,则下列结论不一定成立的是()A.COE=DOEB.CE=DEC.OE=BED.BC=BD解析:由垂径定理可知B,D均成立;由OCEODE可得A也成立;不一定成立的是OE=BE.故选C.2.如图所示,已知O的半径为13,弦AB的长为24,则点O到AB的距离是()A.6B.5C.4D.3解析:过O作OCAB于C,OC过O,AC=BC=12AB=12,在RtAOC中,由勾股定理得OC=132-122=5.故选B.3.如图所示,P为O内一点,OP=3 cm,O的半径为5 cm,则经过P点的最短弦长为,最长弦长为.解析:当弦与OP垂直时,弦最短,连接OA,由勾股定理可得AP=52-32=4(cm),OPAB,AB=2AP=8 cm,即最短弦长为8 cm.过P点经过圆心的弦最长,最长弦长为10 cm.答案:8 cm10 cm4.如图所示,AB是O的弦,半径OCAB于点D.(1)若AB=8 cm,OC=5 cm,求CD的长;(2)若OC=5 cm,OD=3 cm,求AB的长;(3)若AB=8 cm,CD=2 cm,求O的半径.解:连接OA,则AO=OC.(1)OCAB,AD=12AB=4 cm,在RtOAD中,OD=AO2-AD2=52-42=3(cm),CD=OC-OD=2 cm.(2)在RtOAD中,AD=AO2-OD2=52-32=4(cm),OCAB,AB=2AD=8 cm.(3)设O的半径为r,则OD=r-2,OCAB,AD=12AB=4 cm,在RtOAD中,OA2=DO2+AD2,r2=(r-2)2+42,解得r=5,O的半径为5 cm.24.1.2垂直于弦的直径一、共同探究1垂径定理:二、共同探究2垂径定理的推论:三、共同探究3例2一、教材作业【必做题】教材第89页习题24.1的2,8,9,10,11题.【选做题】教材第91页习题24.1的15题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,如果AB为O的直径,弦CDAB,垂足为E,那么下列结论中错误的是()A.CE=DEB.BC=BDC.BAC=BADD.ACAD2.如图所示,O的直径为10,圆心O到弦AB的距离OM的长为3,则弦AB的长是()A.4B.6C.7D.83.如图所示,将半径为4 cm的圆折叠后,圆弧恰好经过圆心,则折痕的长为()A.43 cmB.23 cmC.3 cmD.2 cm4.如图所示,在O中,已知半径为5,弦AB的长为8,那么圆心O到AB的距离为.5.圆是轴对称图形,对称轴是,它有条对称轴.6.如图所示,在O中,若ABMN于点C,AB为直径,试填写三个你认为正确的结论:,.7.如图所示,已知弧AB,请你利用尺规作图的方法作出弧AB所在圆的圆心,说出你的作法.8.如图所示,在O中,弦AB的长为8 cm,圆心O到弦AB的距离为3 cm.求O的半径.9.某居民区一处圆形下水管道破裂,修理人员准备更换一段新管道.如图所示,污水水面宽度为60 cm,水面至管道顶距离为10 cm,则修理人员应准备内径多大的管道?【能力提升】10.如图所示,一条公路的转弯处是一段圆弧CD,点O是CD所在圆的圆心,E为CD上一点,OECD,垂足为F.已知CD=600 m,EF=100 m,求这段弯路的半径.11.如图所示,O的直径AB和弦CD相交于点E,AE=2,EB=6,DEB=30,求弦CD的长.12.如图所示,圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=20 cm,水深GF=2 cm.若水面上升2 cm(EG=2 cm),求此时水面宽AB为多少.【拓展探究】13.如图所示,台风中心位于点P,并沿东北方向PQ移动,已知台风移动的速度为30千米/时,受影响区域的半径为200千米,B市位于点P的北偏东75方向上,距离点P320千米处.(1)说明本次台风会影响B市;(2)求这次台风影响B市的时间.【答案与解析】1.D(解析:AB为O的直径,弦CDAB,垂足为E,则AB是垂直于弦CD的直径,满足垂径定理,因而CE=DE,BC=BD是正确的,所以A,B正确;由ACEADE可得BAC=BAD,所以C正确;根据条件可以得到AB垂直平分CD,因而AC=AD,所以D是错误的.故选D.)2.D(解析:连接OA,O的直径为10,OA=5,由垂径定理知点M是AB的中点,AM=12AB,圆心O到弦AB的距离OM的长为3,由勾股定理可得AM=4,AB=8.故选D.)3.A(解析:作ODAB于D,连接OA.根据题意得OD=12OA=2 cm,再根据勾股定理得AD=23 cm,根据垂径定理得AB=43 cm.故选A.)4.3(解析:作OCAB于C,连接OA,OCAB,AC=BC=12AB=128=4,在RtAOC中,OA=5,OC=OA2-AC2=52-42=3,即圆心O到AB的距离为3.故填3.)5.直径所在的直线无数(解析:根据圆的对称性可得结论,注意“圆的直径是圆的对称轴”是错误的,对称轴是直线,直径是线段.)6.CM=CNAN=AMBN=BM(解析:根据垂径定理可得出CM=CN,AN=AM,BN=BM,答案不唯一.)7.解:作法:如图所示,连接AB,任意作一弦AC,然后分别作弦AB,AC的垂直平分线,相交于一点P,则点P即为所求作的弧AB所在圆的圆心.8.解:过点O作OCAB于点C,连接OB,则AC=BC=12AB,AB=8 cm,BC=4 cm,在RtBOC中,OC=3 cm,OB=42+32=5(cm).即O的半径是5 cm.9.解:如图所示,过O作OCAB于C,连接AO,AC=12AB=1260=30(cm),CO=AO-10,设O的半径为r cm,CO为(r-10) cm,在RtAOC中,AO2=AC2+OC2,即r2=302+(r-10)2,解得r=50.内径为250=100(cm).修理人员应准备内径为100 cm的管道.10.解:连接OC.设这段弯路的半径为R m,则OF=OE-EF=R-100,OECD,CF=12CD=12600=300,根据勾股定理,得OC2=CF2+OF2,即R2=3002+(R-100)2,解得R=500.所以这段弯路的半径为500 m.11.解:如图所示,过O作OFCD,交CD于点F,连接OD,F为CD的中点,即CF=DF,AE=2,EB=6,AB=AE+EB=2+6=8,OA=4,OE=OA-AE=4-2=2,在RtOEF中,DEB=30,OF=12OE=1,在RtODF中,OF=1,OD=4,根据勾股定理得DF=OD2-OF2=15,则CD=2DF=215.12.解:连接OA,OC.设O的半径是R,则OG=R-2,OE=R-4.OFCD,CG=12CD=10 cm.在RtCOG中,根据勾股定理,得R2=102+(R-2)2,解得R=26.在RtAOE中,根据勾股定理,得AE=262-222=83(cm).根据垂径定理,得AB=163 cm.13.解:(1)台风中心位于点P,并沿东北方向PQ移动,B市位于点P的北偏东75方向上,QPG=45,NPB=75,BPG=15,BPQ=30.如图所示,过B作BHPQ于点H,在RtBHP中,由条件知PB=320,则BH=12320=160,160200,本次台风会影响B市.(2)如图所示,设台风中心移动到P1时,台风开始影响B市,台风中心移动到P2时,台风影响结束,连接BP1,BP2.由(1)得BH=160,由条件得BP1=BP2=200,P1P2=22002-1602=240,台风影响B市的时间t=24030=8(小时).本节课以赵州桥这一生活实例引入新课,让学生体会数学在生活中的应用,然后让学生拿出自己手中的圆形纸片对折圆,观察对称性,学生很容易得到圆的对称轴,为后边的学习做好铺垫.探究活动让学生在自己的纸片上画出与直径垂直的弦,并把圆形纸片沿直径对折,问学生会发现什么结论,通过这一探究过程,大部分学生参与到课堂中去,并培养了学生动手操作和创新能力,也激发了学生探究问题的兴趣,学生就在这种轻松、愉快的活动中掌握了垂径定理,实现了教学的有效性,这是这节课中最成功的地方.本节课知识把课本中赵州桥的问题作为第一个题目让学生解决稍微偏难,应该先解决一些简单的类型题,这样可以使学生体会到成功的喜悦,之后再处理赵州桥的问题就变成水到渠成的事情了.本节课的重点是垂径定理及其应用,可以设计成两个课时,探索垂径定理时给学生充足的时间思考讨论,垂径定理中平分弦的证明过程尽量给学生留点时间让学生板书出来,这样可以防止学生缺少主动性,并且会有更多的学生参与到课堂中去.第二个课时设计垂径定理的应用,包括实际应用(赵州桥问题)和在几何知识中的综合应用等,体现一题多变.在教学设计中要真正树立以学生的发展为本的教学理念.练习(教材第83页)1.解:在RtAOE中,AO=OE2+AE2=32+822=5(cm).2.证明:OEAC