几何教学讲座.ppt

小学 图形与几何 教学探微 苍南县教育局教研室陈裕鑫 空间与图形教学的核心词是 刻画图形 空间观念 推理能力 即学生在学习如何 刻画图形 的基础上 发展 空间观念 和 推理能力 空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形 根据几何图形想象出所描述的实际物体 想象出物体的方位和相互之间的位置关系 描述图形的运动和变化 依据语言的描述画出图形等 儿童形成空间观念的主要心理特点 1 直观性 闭合的区域 往往比 开放的区域 更为直观 如对三角形的性质理解可能会比对角的性质认识更容易 对周长的理解可能会比面积更容易 正如我们听到许多教师上 面积与面积单位 时 总是让学生通过自己的手的触摸来体验 面 的大小 并与周长作出对比 逐步获得对 面积 的理解 2 描述性学生往往倾向于用日常用语来描述几何概念 一般说来 他们尚不能运用精确语言来刻画数学概念 如果用严格的定义来刻画 他们往往难以理解 如 圆 到一个定点距离等于定长的所有点的轨迹 3 渐进性一年级时 学生只能辨认长方形 正方形 三角形 圆形的形状 二 三年级时 学生不仅能辨认长方形 正方形 梯形 平行四边形等平面图形 还能从这些图形的基本性质上分析 并对圆柱和球也有了初步的认识 到了四 五年级 能深入地分析图形的性质及关系 而到了六年级 学生则能较好地掌握立体图形的特征 可见学生对图形的掌握及空间观念的发展都是一个渐变的过程 4 偏重于明显特征对 角 的本质属性的认识 往往会集中在组成角的两条边的长短上 而忽视两条边的 张开 程度 也是因为边的长短的视觉刺激明显要大于两条边的 张开 程度 如果拿一个放大镜看角时 角的大小怎样时 学生居然说角会变大 5 偏重于单个要素几何图形分为单个要素和要素之间关系两个方面 小学生容易观察图形中的单个要素 而当图形的特征反映要素间的关系时 他们就感到比较困难 例如对长方形 正方形 平行四边形的特点比较容易理解 但对他们之间的关系往往不容易理解 6 从标准图形到变式图形一位老师在上 三角形的认识 时 为了让学生更好地理解 高 的概念 她先从一个正放的三角形入手 让学生画高 接着她把这个三角形旋转一下 变成倒放的三角形了 问学生这还是不是三角形的高 学生就觉得它不是高了 可见学生对图形的识别还仅仅依赖于标准形式 一旦变成了 变式图形 学生识别起来就比较困难了 7 偏重对称图形 8 从二维空间到三维空间 图形与几何 的主要内容有 空间和平面基本图形的认识 图形的性质 分类和度量 图形的平移 旋转 轴对称 相似和投影 平面图形基本性质的证明 运用坐标描述图形的位置和运动 图形与几何 加强 1 测量 估测 如 能用方格纸估计不规则图形的面积 2 物体空间位置的确定 3 二维与三维图形间的转换 三视图 展开图 削弱 单纯的平面图形周长 面积 体积等计算 不能有效发展空间观念 直观几何 平面图形 立体图形的认识度量几何 求面积 体积的问题演绎几何 三角形的两边之和大于第三边运动几何 平移 旋转 对称 放大 缩小 变换坐标几何 位置实际上是从不同角度刻画图形 包括图形的形状 大小 位置和运动 发展学生的空间观念 图形的认识教学策略 看教材 一 抓住图形的认识的内容主线 1 从立体到平面再到立体2 从生活中的实物抽象出图形到应用于生活3 从直观辨认图形到操作探索图形的特征4 从直边图形到曲边图形5 从静态到动态 二 设计丰富的素材促进学生进行平面和立体的转化 转化的内容主要有 立体图形的展开与平面图形的折叠 从正面 侧面 上面等观察立体图形得到平面图形与根据观察到的图形还原立体图形 长方形绕长或宽旋转一周形成圆柱 切割 得到长方形 直角三角形绕直角边旋转一周形成圆锥与圆锥 切割 得到三角形 图形之间的转换 生活的经验 图形之间的转换 图形之间的转换 平面图形之间的转换 来源 人教版配套五年级暑假作业思考题 一个梯形 如果上底增加4cm 就变成一个平行四边形 如果上底减少3cm 就成了一个三角形 这时面积比原来减少了7 5平方厘米 原来这个梯形的面积是多少平方厘米 图形之间的转换 二维和三维之间的转换 在下列图形中 哪两条线段是相互平行的 哪两条线段是相互垂直的 在下列图形中 哪两条线段是相互平行的 哪两条线段是相互垂直的 七巧板 长方体 一条线段长5厘米 以每秒10厘米的速度向右平移 3秒钟后 线段扫过的部分的面积是多少 观点与启示GUANDIANYUQISHI 学习开始的地方不一定在课堂 重视日常生活中图形与图形之间的转换 这些基本的活动经验积累为学校课堂数学学习是奠定基础 转换并不一定是在一个维度上 一维 二维和三维之间的相互转换 恰是发展学生空间观念的有益举措 三 注重使学生体会图形与现实世界的密切联系 欣赏 建筑中的图形 2010世博会阳光谷 2008奥运会水立方 欣赏 建筑中的图形 香港中银大厦 美国五角大楼 四 鼓励学生经历观察 操作 想象 推理 表达等活动 先观察 猜想 操作验证 表达特征 当你把一张长方形的纸裁成一个正方形时 你想过这里面有几何知识吗 三角形内角和练习题 老师撕了4个不同的三角形 分别为等边三角形 等腰三角形 直角三角形和三条边等不相等的三角形 得到12个角 分别为60度 20度 80度 110度 40度 90度 60度 50度 70度 60度 50度 30度 这四个三角形每个角分别是多少度 分类是一种重要的数学思想 学习数学的过程中经常会遇到分类问题 如数的分类 图形的分类 代数式的分类 函数的分类等 在研究数学问题中 常常需要通过分类讨论解决问题 分类的过程就是对事物共性的抽象过程 教学活动中 要使学生逐步体会为什么要分类 如何分类 如何确定分类的标准 在分类的过程中如何认识对象的性质 如何区别不同对象的不同性质 通过多次反复的思考和长时间的积累 使学生逐步感悟分类是一种重要的思想 学会分类 可以有助于学习新的数学知识 有助于分析和解决新的数学问题 五 重视图形分类的价值 引导学生借助操作思考下面的问题 哪些东西可以滑动 哪些东西可以滚动 哪些是平的 哪些是曲的 哪些是直的变 哪些是曲的边 哪些面是方形的 那些面是三角的 那些面是圆的 哪些有点或角 哪些没有 六 鼓励学生从动态的角度认识图形 小魔术 剪一剪 活动要求 每个图形只许剪一刀 1 将平行四边形剪成两个图形 其中一个为梯形 2 将梯形剪成两个图形 其中一个为平行四边形 3 将任意四边形剪成两个图形 其中一个为梯形 4 将梯形剪为两个三角形 5 将三角形剪成一个梯形和一个三角形 圆 课件 圆 教案 平行 图形的测量的教学策略 看教材 重视建立测量单位的必要性 注重单位的实际意义 重视估测及其在现实生活中的作用 同时鼓励学生在测量过程中 根据实际问题选择合适的测量方法和工具 一 在具体情境中 注重对所测量的量的实际意义的理解 生 我发现它们的大小不一样 但是它们的面积应该是一样的 教学中应该重视结合一些具体的情境 使学生对所要测量的量 如长度 周长 面积 体积 的实际意义加以体会 小明用同样长的两根铁丝围成了甲乙两个图形 比较它们的面积 那么 A 甲比乙大B 乙比甲大C 一样大D无法比较 学生在观察图形时 往往是图形的边线和图形的面同时看到 不易剥离 在一般情况下 学生遇到的例子都是周长大的面积就大 教学中往往强调公式 不够重视对周长和面积意义的理解 教学中 教师应设计丰富多彩的活动 使学生对周长 面积 体积等所测量的量有比较丰富的体验 而不是很快进入到公式的学习 如 描一描图形的边线 摸一摸图形的面等活动 教材在长 正方形周长学完之后 直到圆才又一次探索圆的周长 可以在学习三角形 平行四边形时 有意识地让学生求一求周长 将二者加以区分 教师可以设计一些实际问题 鼓励学生根据实际问题及对周长和面积的理解 选择是用周长还是用面积来解决实际问题 比较距离 B 比较周长 图形的面积与周长变化 下图中的小方格每边长表示1分米 在图1的基础上 增加了2个小方格 如图2 图3 整个图的面积分别增加了多少 周长增加了多少 图1图2图3 增加一个小正方体 表面积比原来增加还是减少 拿掉一个小立方块 表面积比原来增加还是减少 观点与启示GUANDIANYUQISHI 不作具体计算而比较面积的大小和距离的长短 是空间知觉能力的反应 比较大小和长短 不是单凭视觉所做的判断 而是借助具有参照意义的单位来判断 或者找到相互之间的关系来判断 在变化中 寻找变与不变的数量 既是空间知觉的锻炼 也是辩证关系的渗透 二 经历用不同方式进行测量的过程 体会测量的意义 教学中 教师可以设计一些活动 使学生体会到度量的意义 实际上测量的一个基本想法是 首先要有一个单位 为了交流 这个单位要统一 其次是用通的单位 一个单位一个单位去量 在量的过程中 要满足一定的性质 如可加性 教师应提供大量实际测量的机会 鼓励学生选择不同的方法进行测量 并在彼此交流的过程中体会到建立统一的测量单位的必要性 这些活动应在测量长度 测量面积 体积 角度中不断设计渗透 1 请每个小组选择一种你们认为合适的图形尝试作为面积单位 去测量下面长方形的面积 看看长方形的面积有几个这样的图形 2 思考并讨论 哪个图形作为面积单位比较合适 被测对象 尝试面积单位图形 实验要求 无法确定 用测量 用测量 用测量 用测量 16个长方形 16个三角形 18个正方形 8个正方形 三 借助熟悉的事物体会单位的实际意义 学生需要通过实际活动建立对测量单位实际意义的体验 比如 生活中哪些物体的长度大约是1米 哪些物体表面的面积大约是1平方米 哪些物体的体积大约是1立方米 1平方分米 1平方米 1平方厘米 常用的面积单位 对测量单位的体验把能想到的长度 面积 体积单位尽可能列出来 并按照测量的特征将这些单位分类 对于每个单位 试着想出一些与这个单位大小相近的物体的例子 鼓励学生观察生活中的物体 对某一物体的多种测量属性加以分析 并分别将它们与标准测量单位机型比较 四 选择适当的测量单位和工具进行测量 积累测量的经验 学生学习测量的一个重要目的是能在实际的测量过程中运用这些知识 而完整的测量过程绝不仅仅等同于根据刻度记录下测量结果 它还包括根据实际问题选择合适的测量工具 四 选择适当的测量单位和工具进行测量 积累测量的经验 学生应在亲身实践中积累选择测量单位和测量工具的经验 在测量的学习时 应始终重视估测的重要性 如让学生测教室的面积 五 探索基本图形的周长 面积 体积公式 并能应用公式解决实际问题 让学生经历基本图形的周长 面积 体积等的计算方法的探索过程 平行四边形的面积推导 平行四边形的面积推导 一般的 特殊的 为了转化成长方形 所以要沿着高剪 是不是不同形状的平行四边形都可以沿高剪呢 所以需要提出特殊的情况 为什么要介绍平移这种方法呢 参见傅种孙数学教育文选 人民教育出版社 平行四边形的面积 三角形中的直角三角形 钝角三角形 锐角三角形 哪一个更一般 三角形的高另一意义 任何一个三角形一作高 就能把它转化成2个直角三角形 学生怎么会想到用两个完全一样的三角形去拼出一个平行四边形 一个三角形是否能够转化 三角形的面积 绿色和蓝色的面积哪个大 图形的组合与推理 图形的面积推理 红色与绿色的面积哪个大 下图中 长方形的长和宽分别为40厘米和25厘米 一个直径为4厘米的圆沿长方形内壁无滑动地滚动一周 求圆滚过的部分的面积 有关形体的面积体积计算 例 一块边长30厘米的正方形铁皮 像下图那样从4个角切掉边长5厘米的正方形 然后做成盒子 这个盒子的容积有多少毫升 任务一 铺地毯任务玛丽想要为她的卧室铺上地毯 卧室长15米 宽8米 她需要购买多少平方米的地毯 任务二 篱笆任务老师所教的班级要为春季科技展饲养白兔 他们有24米篱笆用于修建一个饲养兔子的长方形围栏 1 如果学生们想让兔子拥有尽可能大的空间 那么围栏的各边应为多长 2 如果他们有16米篱笆 那么围栏的各边又为多长 3 给定长度的篱笆怎样围才使面积最大 怎样整理你的解决方法以便使其他同学能够理解 简析 此案例中 学生需完成 篱笆任务 而完成这一任务没有一个可套用的公式 没有可依据的解法和步骤 他们需要判断在24米和16米长的篱笆怎样围面积最大的前提下 对怎样使任意长度的围栏能生成最大面积的方法进行推理计算 从而获得一个一般的结论 达到数学一般化的过程 探索不规则图形及物体的测量方法 不规则体积 三角形面积计算 图形与变换的教学策略 一 要明确平移 旋转 轴对称的基本要素 一般说 所谓变换是指某个集合中符合一定要求的一种对应规律 就图形的变换来说 因为集合图形都是点的集合 所以图形变换可以通过点的变换来实现 如果一个平面图形的每一个点只对应于该平面内某个新图形的一个点 并且新图形中的每一个点只对应于原图形中的一个点 这样的对应就叫做变换几何变换中最重要的是全等变换与相似变换全等变换的本质是两点之间的距离不发生变化相似变换是保持图形的形状不变 而只改变图形大小的变换 平移 原图形中任意一个点到新图形中相对应点的连线 方向相同 长度相等 方向和距离旋转 新图形中每个点都是由原图形中的一个点绕着一个固定点 旋转中心 转动相等角度得到的 旋转中心 旋转角反射 连接新图形与原图形中每一组对应点的线段都和同一条直线垂直且被该直线平分 对称轴 二 注重使学生在具体情境中认识变换现象 并通过操作活动体会变换的特征 图形的展开与折叠 对折一次 对折两次 图形的展开与折叠 85v58这个号码对称吗 图形的展开与折叠 观点与启示GUANDIANYUQISHI 对称的除了图还有 数和式 图形的展开与折叠 有学者的研究是小学生和成人的表现水平差不多 值得思考的是 我们有没有进行过系列而有效的教学 或许我们大都的教学也只是点到而已 从简单到复杂 怎样形成一个图形展开与折叠的训练体系值得探索 整个图形向右平移了7格 每组对应点之间的距离都相等 对于正方形 长方形 圆的特征 可以通过折叠活动认识它们的对称性 三 重视加强从变换角度认识图形的教学 这些图形是由哪个基本图形旋转而成 图形的辨认 旋转课件 这些图形是怎样形成的 图形的辨认 这些图形是怎样形成的 图形的辨认 四 鼓励学生从变换的角度欣赏图形并设计图案 观点与启示GUANDIANYUQISHI 图形的辨认 不只是停留在这个图形叫什么 而是需要揭示图形的形成方法和形成过程 静态的图形和动态的变化过程相结合 数学欣赏也可以是数学学习的重要内容 当有人问数学是什么 学生会怎样的举例 最好除了很多人说 3 7 21 也有很多人说 三角形旋转出的漂亮图案 轴对称图形 图形与位置的教学策略 一 明确小学两种确定位置方法的内涵及这部分内容的教育价值 教材中有两种确定位置的方法 即 某行某列 和 方向和距离 它们实际上分别对应了学生要今后学习的平面直角坐标系和极坐标系 对于平面上任意一点M 用 表示线段OM的长度 用 表示从OX到OM的角度 叫做点M的极径 叫做点M的极角 有序数对 就叫做M的极坐标 两种坐标系有相同点 首先都要有原点等组成的参照系 然后都要用两个要素来刻画位置 如果一个陌生人来到你们班 请你想办法描述出你们班长的位置 使他能够找到班长 学生可能会怎么做 1 文字 X行X列 如三排第四个 第三列的第四个人2 文字 从哪数X行X列 从窗户数的第三排 第四个 从门这边数的第五组的第四个3 图 X行X列4 图 从哪数X行X列5 班长在我的斜后方第二个 班长 同学 我 2组 5组 前四种做法都蕴涵了直角坐标的雏形 它们都表明学生已经意识到需要用两个要素来刻画平面上点的位置 2 和 4 还标明了参照系 用文字和用图形也蕴涵了数形结合的特点 5 虽然不能有效刻画出班长的位置 但也初步蕴含了用方向和距离表示位置的想法 教师要及时发现学生的经验并善于利用 一个好的做法是建立联系 建立学生之间方法的联系 以及学生原始想法和数学方法之间的联系 先把同一做法不同的表示形式建立联系 都是用文字表述的方式 比较用什么相同的地方 在所有的方法之间建立联系 如数与形之间的对应 引申到数学上确定位置的方法 并将它与学生的想法加以比较 二 鼓励学生探索如何刻画和描述图形的位置 让学生尝试辨认物体的方向 会看懂自己生活环境的线段图 在此基础上 学生将在具体的情境中 探索如何用数学语言描述物体或图形的位置 探索刻画位置需要哪些要素 如讨论电影院或者教室中是如何确定每个位置的 教师可以鼓励学生将具体情境进行适当抽象 在此基础上 自然引入用数对来描述点的位置了 三 鼓励学生尝试运用不同的方式确定物体的位置 确定位置 由右面两个长方形旋转一周 可以得到两个圆柱体 大胆猜测一下 所得到的这两个圆柱的体积 侧面积 表面积相等吗 他们的大小关系是怎样的 然后用自己的办法小心验证一下 3 4 4 3 交流反馈 用自己的方法验证 生1 左边长方形旋转形成的长方体底面半径是3 高是4 体积是3 14 32 4 111 6 平方厘米 右边长方形旋转形成的长方体底面半径是4 高是3 体积是3 14 42 3 150 72 平方厘米 所以右边长方形旋转形成的长方体体积大 生2 左边长方形旋转形成的长方体体积是3 14 32 4 右边长方形旋转形成的长方体体积是3 14 42 3 因为32 4 42 3 所以右边长方形旋转形成的长方体体积大 生3 侧面积 2 rh 左边长方体侧面积 2 3 14 3 4 右边长方体侧面积 2 3 14 4 3 2 3 14 3 4 2 3 14 4 3 所以两个长方体的侧面积相等 生4 我想像了一下 两个长方体的侧面积相等 左边长方形旋转形成的长方体底面是半径是3的圆 而右边长方形旋转形成的长方体底面是半径是4的圆 因此右边的表面积比较大 有关形体的认识 例 左下图的立方体展开图应是下面哪一个图形 关注空间观念的培养 空间与图形 有关形体的面积体积计算 例 一块边长30厘米的正方形铁皮 像下图那样从4个角切掉边长5厘米的正方形 然后做成盒子 这个盒子的容积有多少毫升 例 将直角三角形ABC以BC为轴旋转一周 得到的圆锥体积是V 那么V A45B3C 六年级空间观念 12 甲图是用36个小积木堆成的 把甲图推倒后 如乙图 再利用这一堆小积木在丙图上四个四个往上堆成一栋 大楼 请问这栋 大楼 有层 六年级空间观念的考查 类比推理 思想 小明所在班级的数学平均成绩是98分 小强所在班级的数学平均成绩是96分 小明考试得分比小强的得分 A 高B 低C 一样高D 无法确定 四年级 平均数的意义 统计与概率 1 关注统计的全过程2 根据统计图表中的数据提出并回答简单的问题 在一棋盘游戏中转动轮盘时 每次出现一个数 可能最多出现的数是 A 奇数B 5的倍数C 质数D 合数 增加有关概率的内容 之二 见树又见林 整体把握 注重知识方法的沟通 如果只重视局部训练而淡化整体联网的教学 就会使学生缺少高瞻远曙的解决谋略和随机应变的解决智慧 学生综合能力的提高 一定基于教师对教材的整体掌握 尤其是沟通知识框架之间的数学思想方法 重视方法的沟通与拓展长方体体积圆柱体积空心圆柱其它直棱柱棱柱体积 底面积 高 方法沟通 注意方法的沟通与拓展 课例 立体图形的综合实践一 引入学过哪些立体图形 你能将它分分类吗 二 展开1 出示