2019-2020学年宁波市慈溪市高二上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年浙江省宁波市慈溪市高二上学期期末数学试题一、单选题1直线在轴上的截距为（ ）ABC2D【答案】D【解析】因为,令,即可求得在轴上的截距.【详解】 令得:直线在轴上的截距为:故选:D.【点睛】本题考查了求直线在的截距,解题关键是掌握直线的基础知识,考查了计算能力,属于基础题.2已知空间向量,若,则实数( )ABCD【答案】D【解析】根据向量平行可得,即可求得答案.【详解】 可得: 解得: 故选:D.【点睛】本题的解题关键是掌握向量平行的基础知识,考查了计算能力,属于基础题.3直线(为常数)经过定点( )ABCD【答案】B【解析】将直线化为,即可求得答案.【详解】直线化简可得: 当, 则直线(为常数)经过定点是:.故选:B.【点睛】本题考查了含有参数直线过定点问题,解题关键是掌握求直线过定点的方法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.4在空间直角坐标系中,若点关于轴的一个对称点的坐标为,则的值( )A等于B等于C等于D不确定【答案】C【解析】根据在空间直角坐标系中关于轴的对称点特征:横坐标变为相反数,纵坐标不变,第三个坐标变为相反数,即可求得答案.【详解】点关于轴的一个对称点的坐标为根据在直角坐标系中关于轴的对称点特征可得: 解得: 故选:C.【点睛】本题考查了在空间直角坐标系中有关于轴对称问题,解题关键是掌握空间直角坐标系的特征,考查了空间想象能力和计算能力,属于基础题.5已知,则“”是“点和在直线的同侧”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据充分条件和必要条件定义,即可求得答案.【详解】要保证点和在直线的同侧需满足,即解得:或 由可以推出或即由可以推出点和在直线的同侧, “”是“点和在直线的同侧”的充分条件.由或不能推出即由点和在直线的同侧不能推出 “”是“点和在直线的同侧”的不必要条件. “”是“点和在直线的同侧”的充分不必要条件故选:A.【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了理解能力与运算能力,属于基础题.6过点作圆的切线,则切线的方程为( )ABC或D或【答案】A【解析】因为点在圆上,由,得到切线的斜率,由此能求出切线方程.【详解】 圆心,半径 点到圆心的距离: 在圆上, . 切线的斜率 切线方程为即.故选:A.【点睛】本题考查了求圆的切线方程,解题关键是掌握圆切线的求法和求切线时要判断点是在圆上,还是圆外,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.7设为一条直线,为三个不同平面,给出下列四个命题:; ; ;其中,是假命题的个数为( )AB 个CD个【答案】D【解析】根据线面关系,和面面关系,逐项判断,即可求得答案.【详解】对于,由,无法判断与位置,故假命题;对于,根据一个平面内一条直线垂直另一个平面内的两条相交线,则这两个平面垂直,可知由,不能推出,故假命题;对于,因为,可以推出,故是真命题.对于,因为由,不能推出,故假命题 假命题的个数是:个.故选:D.【点睛】本题考查了判断面面位置关系和线面位置关系,解题关键是掌握线面关系基础知识,考查了空间想象能力和分析能力,属于基础题.8已知双曲线,分别为双曲线的左、右焦点,过作直线交双曲线于两点(异于顶点),若,则的面积为( )ABCD【答案】D【解析】因为双曲线,其通径长为:,根据,可知为双曲线的通径,根据曲线的通径垂直轴,结合已知即可求得答案.【详解】双曲线其通径长为:又 为双曲线的通径.根据曲线的通径垂直轴 故选:D.【点睛】本题考查了考查了双曲线和直线相关问题,解题关键是掌握双曲线的基础知识和通径的求法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.9如图,四面体中的面在平面内,平面,且平面,已知,若将四面体以为轴转动,使点落到内,则两点所经过的路程之和等于( )ABCD【答案】B【解析】因为平面,且平面,将四面体以为轴转动,使点落到内,即两点以为圆心,以为半径旋转了圆周长,即可求得答案.【详解】平面,且平面将四面体以为轴转动,使点落到内 两点以为圆心,以为半径旋转了圆周长 两点所经过的路程之和等于 故选:B.【点睛】本题考查了点旋转轨迹的长度,解题关键是判断出旋转轨迹形状,考查了空间想象能力,属于中档题.10已知抛物线，圆，若点分别在上运动，且设点，则的最小值为（ ）ABC4D4【答案】B【解析】设点,圆圆心为,半径为,要保证取得最小值,应,画出几何图形,结合已知,即可求得答案.【详解】画出几何图形,如图:设点,圆圆心为,半径为, 要保证取得最小值 根据图像可知应: 又 故 令 由二次函数可知:当时,取得最小 的最小值为:.故选:B.【点睛】本题考查了圆锥曲线的最值问题,解题关键是掌握圆锥曲线的基础知识和在使用换元法时,要注意引入新变量的范围,在数量关系复杂时,画出几何草图,数学结合,寻找数量关系,考查了分析能力和计算能力,属于难题.二、填空题11双曲线的渐近线方程为_，两顶点间的距离等于_.【答案】 【解析】因为双曲线,根据渐近线方程为,即可求得渐近线方程.由两顶点间的距离为,即可求得答案.【详解】双曲线, 根据渐近线方程为 渐近线方程为,即根据有两顶点间的距离为两顶点间的距离等于故答案为:,.【点睛】本题考查了求双曲线的渐近线方程和两顶点间的距离,解题关键是掌握双曲线的基础知识,考查了计算能力,属于基础题.12如果原命题是“若整数不能被4整除，则是奇数”，那么的否命题可表述为_，的逆否命题是一个_命题（可填：“真”，“假”之一）.【答案】若整数能被整除,则是偶数 假 【解析】根据否命题的定义,即可求得的否命题.根据原命题和逆否命题真假相同,即可求得答案.【详解】如果原命题是“若整数不能被4整除,则是奇数”可得的否命题为:若整数能被4整除,则是偶数 是“若整数不能被4整除,则是奇数”当整数,不能被4整除,而是偶数. 是假命题 根据原命题和逆否命题真假相同 的逆否命题是假命题故答案为:若整数能被整除,则是偶数,假【点睛】本题考查了求命题的否命题和判断命题的真假,解题关键是掌握否命题定义和原命题和逆否命题真假相同,考查了分析能力,属于基础题.13已知直线和圆，则与的位置关系是_，过圆心且与直线平行的直线的方程为_.（用一般式表示）【答案】相离 【解析】将圆的方程化为标准方程,找出圆心坐标与半径,利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离,与半径比较大小,即可得出直线与圆的位置关系.根据两条直线平行斜率相等,即可求得直线平行的直线方程.【详解】圆的方程化为标准方程可得:,圆心,半径为将直线化为直线的一般方程: 根据点到直线距离公式求得圆心到直线距离: 与的位置关系是相离 设过圆心且与直线平行的直线方程为:将圆心代入,求得 故答案为:相离,.【点睛】本题考查了判断直线和圆的位置关系和求直线方程,掌握判断直线和圆的位置关系的方法是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.14如图,在四棱锥中,平面,底面是菱形,且,则异面直线与所成的角的余弦值为_,点到平面的距离等于_.【答案】 【解析】因为底面是菱形,可得,则异面直线与所成的角和与所成的角相等,即可求得异面直线与所成的角的余弦值.在底面从点向作垂线 ,求证垂直平面,即可求得答案.【详解】根据题意画出其立体图形:如图底面是菱形, 则异面直线与所成的角和直线与所成的角相等 平面,平面 又 ,底面是菱形 即故:异面直线与所成的角的余弦值为:在底面从点向作垂线 平面,平面 , 平面故是到平面的距离 故答案为:,.【点睛】本题考查了求异面直线的夹角和点到面距离,解题关键是掌握将求异面直线夹角转化为共面直线夹角的解法,考查了分析能力和推理能力,属于基础题.15已知实数满足约束条件若的最大值为14，则实数_.【答案】【解析】作出不等式组所表示的可行域,根据目标函数的最大值为,结合图像,即可求得答案.【详解】 作出不等式组所表示的可行域,如图:目标函数的最大值为,即即目标函数经过和交点取得最大值 解得: 则交点为,将其代入得:故答案为:.【点睛】本题考查线性规划问题,关键是根据所给的约束条件准确地画岀可行域和目标函数.在平面区域中,求线性目标函数的最优解,要注意分析线性目标函数所表示的几何意义,从而确定目标函数在何处取得最优解.16已知正方体,点在底面内运动,且始终保持平面,设直线与底面所成的角为,则的最大值为_.【答案】【解析】画出立体图形,因为面面,在底面内运动,且始终保持平面,可得点在线段上运动,因为面面,直线与底面所成的角和直线与底面所成的角相等,即可求得答案.【详解】连接和 , 面面 在底面内运动,且始终保持平面可得点在线段上运动, 面面, 直线与底面所成的角和直线与底面所成的角相等 面直线与底面所成的角为: 有图像可知: 长是定值, 当最短时,即最大,即角最大设正方体的边长为 , 故故答案为:【点睛】本题考查了求线面角的最大值,解题是掌握线面角的定义和处理动点问题时,应画出图形,寻找几何关系,考查了分析能力和计算能力,属于难题.17已知椭圆和双曲线有相同焦点，且它们的离心率分别为，设点是与的一个公共点，若，则的最小值为_.【答案】【解析】设椭圆方程是 ,双曲线方程是 ,由椭圆和双曲线定义可得:,求出,利用余弦定理,化简的表达式,利用柯西不等式,即可求得答案.【详解】设椭圆方程是 ,双曲线方程是由椭圆和双曲线定义可得: 即可求得: 在中由余弦定理可得: 即 利用柯西不等式 即 即 可得,故,当且仅当 取等号. 的最小值为故答案为:.【点睛】本题考查了利用柯西不等式求最值问题,解题关键是掌握椭圆和双曲线基础知识,灵活使用柯西不等式,考查了分析能力和计算能力,属于难题.三、解答题18已知在平面外,（1）如图1,若,求证:三点共线;（2）如图2,若,求证:.【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析【解析】（1）要证三点共线,只需证平面与有且只有一条经过点的公共直线,是平面与的公共点,即可求证三点共线;（2）要证,只需证平面,将证线面平行转化为证面面平行,即可求得答案.【详解】（1） , ,平面, 平面与有一个公共点,且平面与不重合, 平面与有且只有一条经过点的公共直线即平面,. 又, ,平面,即是平面与的一个公共点, . 同理, 故三点共线. （2）显然,平面,平面,且, , 平面. 平面, .【点睛】本题考查了求证三点共线和线面平行,解题关键是掌握将证线面平行转化为证面面平行,考查了分析能力和推理能力,属于基础题.19在中,的角平分线在直线上,为垂足,且所在直线的方程为.（1）求点的坐标;（2）若点的坐标为,求边上高的长度.【答案】（1） （2）【解析】（1）因为的角平分线在直线上,可设, 所在直线的方程为,即可求得答案;（2）因为,求得,求出直线方程,通过点到直线的距离公式,即可求得边上高的长度.【详解】（1） 的角平分线在直线上 可设, 所在直线的方程为. 由方程得:, 点的坐标为. （2） , , 直线方程为:,即, 的角平分线在直线上, ,直线方程为:,即, , , 直线方程为:,即, 由,解得点, 【点睛】本题考查了根据点到直线距离公式求三角形一边的高,解题关键是掌握直线方程的基础知识和点到直线的距离公式,可画出草图,数学结合,寻找几何关系,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.20如图,在长方体中满足,若点在棱上点在棱上,且.（1）求证:;（2）当是的中点时,求二面角的平面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】（1）要证明,只需证明平面,将证线线垂直转化为证线面垂直,即可求得答案;（2）以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系,根据面面角的向量求法即可求得答案.【详解】（1） 平面,平面, . 又,且,平面, 平面, ,平面,. （2）由（1）知,即, 为的中点, ,得,. 以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系. 点,向量, 设平面的法向量为,则即 可取. 设平面的法向量为,则即 可取, , 由题意可知二面角的平面角是钝角, 二面角的平面角的余弦值为.【点睛】本题考查了证明线线垂直和二面角的向量求法,解题关键是掌握将证线线垂直转化为证线面垂直的方法和熟悉面面角的向量求法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.21已知抛物线的焦点到其准线的距离为.（1）求抛物线的方程;（2）设直线与抛物线相交于两点,问抛物线上是否存在点,使得是正三角形？若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】（1） （2）存在，点的坐标为【解析】（1）因为抛物线,物线的焦点为,准线为,由,即可求得答案;（2）设,则由消掉得:,解得,假设抛物线上存在满足条件的点,结合已知,即可得出答案.【详解】（1）抛物线 抛物线的焦点为,准线为, 由得, 抛物线的方程为. （2）设,则由消掉得:即,根据韦达定理可得:,.又 由两点间距离公式可得:,. 假设抛物线上存在满足条件的点,设的中点,则,即. 是正三角形,且. 由和直线和可得的方程为:即. 又 由点在上,.由及点到直线的距离,得 由联立解得或 检验点不在抛物线上, 存在满足条件的点的坐标为. 另法参考：亦可由得或经验证,点不符合条件. 存在满足条件的点的