11、2变化率问题、导数的概念

2020年4月18日星期W 第一章导数及其应用 1 1变化率与导数 1 1 1变化率问题1 1 2导数的概念 1 通过实例分析了解函数平均变化率的意义 2 会求函数f x 在x0到x0 x之间的平均变化率 3 了解函数的平均变化率及导数间的关系 4 掌握函数在一点处导数的定义 以及函数f x 在区间 a b 内导函数的概念 1 理解函数平均变化率的意义 难点 2 求函数f x 在x0到x0 x之间的平均变化率 重点 3 理解函数在某点处的导数 难点 一 变化率问题 一 气球膨胀率1 气球体积V与半径r之间的函数关系是什么 2 当气球的体积越大 半径增加的越慢 怎样描述 3 当空气容量从V1增加到V2时 气球的平均膨胀率是怎样表示的 4 在气球膨胀过程中 气球半径的增加的快慢怎样用数学的方法描述 上述两个具体问题能否一般化 也就是能否用统一的数学方法来表示 一 变化率问题 二 高台跳水 运动员在和这两段时间内运动的快慢如何描述 f x1 x f x1 x2 x1 引入 高台跳水运动员的平均速度能否反映他在某一时刻的运动的快慢呢 在高台跳水运动中 平均速度不能反映他在这段时间里运动状态 需要用瞬时速度描述运动状态 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度 又如何求瞬时速度呢 当 t 0 01时 当 t 0 01时 当 t 0 001时 当 t 0 001时 当 t 0 0001时 当 t 0 0001时 t 0 00001 t 0 00001 t 0 000001 t 0 000001 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢 从2s到 2 t s这段时间内平均速度 当 t趋近于0时 即无论t从小于2的一边 还是从大于2的一边趋近于2时 平均速度都趋近与一个确定的值 13 1 从物理的角度看 时间间隔 t 无限变小时 平均速度就无限趋近于t 2时的瞬时速度 因此 运动员在t 2时的瞬时速度是 13 1 表示 当t 2 t趋近于0时 平均速度趋近于确定值 13 1 探究 1 运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示 2 函数f x 在x x0处的瞬时变化率怎样表示 定义 函数y f x 在x x0处的瞬时变化率是 称为函数y f x 在x x0处的导数 记作 或 即 由导数的定义可知 求函数y f x 的导数的一般方法 求函数的改变量2 求平均变化率3 求值 一差 二化 三极限 答案 B 2 如果质点M按照规律s 3t2运动 则在t 3时的瞬时速度为 A 6B 18C 54D 81答案 B 3 函数y x2在x 1处的导数为 答案 2 4 已知f x ax2 4 若f 1 2 求a的值 已知函数f x 3x 1和g x 2x2 1 分别计算f x 与g x 在 3到 1之间和在1到1 x之间的平均变化率 2 由f x 在1到1 x之间的平均变化率为3 说明f x 在x 1附近的平均变化率为定值 而g x 在1到1 x之间的平均变化率为4 2 x 说明g x 在x 1附近的平均变化率与 x的大小有关 1 求函数y x2 2x 1在x 2附近的平均变化率 求函数y 2x2 4x在x 3处的导数 2 导函数的函数值法 即先利用导数的定义求出导函数f x 再把x x0代入f x 得f x0 求函数在某一点处的导数 一般是先求出函数的导数 再计算这点的导数值 2 利用导数的定义求函数f x x2 3x在x 2处的导数 解答本题 根据瞬时速度和平均速度的意义 准确应用公式来求 3 某物体按照s t 3t2 2t 4 s的单位 m 的规律作直线运动 求自运动开始到4s时 物体运动的平均速度和4s时的瞬时速度 1 关于平均变化率的几点注意关于函数的平均变化率应注意以下几点 1 函数f x 在x1 x2处必须有意义 2 x2是x1附近的任意一点 即 x x2 x1 0 但可正可负