2016年东北三省四市教研联合体高考数学二模试卷(文)含解析

第 1 页（共 20 页） 2016 年东北三省四市教研联合体高考数学二模试卷（文科） 一选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1集合 A=x| 1 x 3，集合 B=x| ，则 AB=（ ） A（ 1， 2） B（ 1， 2） C（ 1， 3） D（ 1， 3） 2 的虚部为（ ） A 2 B 2 C 2i D 2i 3已知向量 =（ 2， 1）， =（ 0， 1），则 | +2 |=（ ） A 2 B C 2 D 4 4一组数据分别为 12， 16， 20， 23， 20， 15， 28， 23，则这组数据的中位数是（ ） A 19 B 20 C 23 5已知函数 ，则 f（ f（ 1） =（ ） A 2 B 0 C 4 D 6 6已知 ，则 ） A 1 B 0 C D 1 7执行如图的程序框图，则输出的 S=（ ） A 21 B 34 C 55 D 89 8在 ， ， A=75， B=45，则 外接圆面积为（ ） A B C 2 D 4 9如图，在长方体 ，点 P 是棱 一点，则三棱锥 P 左视图可能为（ ） 第 2 页（共 20 页） A B C D 10将函数 f（ x） =2x+）（ | ）的图象向右平移 个单位后的图象关于 y 轴对称，则函数 f（ x）在 0， 上的最小值为（ ） A 0 B 1 C D 11已知双曲线 C： 的右焦点为 F，以 F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为 M，且 双曲线的实轴垂直，则双曲线 C 的离心率为（ ） A B C D 2 12已知函数 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，且在区间 0， +）上是 增函数，若，则 f（ x）的取值范围是（ ） A（ 0， ） B（ 0， e） C（ ， e） D（ e， +） 二 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置上） 13已知实数 x， y 满足 ，则 z=2x+y 的最大值为 14 别为椭圆 =1 的左、右焦点， A 为椭圆上一点，且 = （ + ），= （ + ），则 | |+| | 15设集合 S， T 满足 S T 且 S ，若 S 满足下面的条件： （ ） a， b S，都有 a b S 且 S； （ ） r S， n T，都有 S则称 S 是 T 的一个理想，记作 S T 第 3 页（共 20 页） 现给出下列 3 对集合： S=0， T=R； S=偶数 ， T=Z； S=R， T=C， 其中满足 S T 的集合对的序号是 （将你认为 正确的序号都写上） 16已知底面为正三角形的三棱柱内接于半径为 1 的球，则三棱柱的体积的最大值为 三 本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17已知等差数列 前 n 项和为 （ ）， 3列 等比数列，且 2b1= （ ）求数列 通项公式； （ ）求数列 |的前 n 项和 18为迎接校运动会的到来，某校团委在高一年级招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者（ 18名女志愿者中有 6 人喜欢运动） （ ）如果用分层抽样的方法从男、女志愿者中共抽取 10 人组成服务队，求女志愿者被抽到的人数； （ ）如果从喜欢运动的 6 名女志愿者中（其中恰有 4 人懂得医疗救护），任意抽取 2 名志愿者负责医疗救护工作，则抽出的志愿者中 2 人都能胜任医疗救护工作的概率是多少？ 19如图（ 1），在等腰梯形 ， E， F 分别为 中点，且 F=2， M 为 点，现将梯形 在直线折起，使平面 平面 图（ 2）所示， N 是 中点 （ ）求证： 平面 （ ）求四棱锥 M 体积 20曲线 上任意一点为 A，点 B（ 2， 0）为线段 中点 （ ）求动点 C 的轨迹 f（ x）的方程； （ ）过轨迹 E 的焦点 F 作直线交轨迹 E 于 M、 N 两点，在圆 x2+ 上是否存在一点 P，使得 别为轨迹 E 的切线？若存在，求出轨迹 E 与直线 围成的图形的面积；若不存在，请说明理由 21已知函数 f（ x） =x （ I）判断函数 f（ x）的单调性； 第 4 页（共 20 页） （ 数 有两个零点 证： x1+1 请考生在 22， 23， 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑 选修 4何证明选讲 22已知四边形 O 的内接四边形，且 D，其对角线 交于点 M过点 B 作 O 的切线交 延长线于点 P （ 1）求证： D=M； （ 2）若 D=M，求证： C 选修 4标系与参数方程 23已知直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 222，且曲线 C 的左焦点 l 上 （ ）若直线 l 与曲线 C 交于 A、 B 两点求 |值； （ ）设曲线 C 的内接矩形的周长为 P，求 P 的最大值 选修 4 等式选讲 24已知 R 使得关于 x 的不等式 |x 1| |x 2| t 成立 （ ）求满足条件的实数 t 集合 T； （ ）若 m 1， n 1，且对于 t T，不等式 t 恒成立，试求 m+n 的最小值 第 5 页（共 20 页） 2016 年东北三省四市教研联合体高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1集合 A=x| 1 x 3，集合 B=x| ，则 AB=（ ） A（ 1， 2） B（ 1， 2） C（ 1， 3） D（ 1， 3） 【考点】 交集及其运算 【分析】 分别求出 A 与 B 中不等式的解集确定出两集合，求出 A 与 B 的交集即可 【解答】 解：集合 A=x| 1 x 3=（ 1， 3），集合 B=x| =（ 1， 2）， 则 AB=（ 1， 2）， 故选： B 2 的虚部为（ ） A 2 B 2 C 2i D 2i 【考点 】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 复数的分子与分母同乘分母的共轭复数，化简复数为 a+形式，即可得到复数的虚部 【解答】 解： = =1+2i， 故虚部是 2， 故选： A 3已知向量 =（ 2， 1）， =（ 0， 1），则 | +2 |=（ ） A 2 B C 2 D 4 【考点】 向量的模 【分析】 直接利用向量的坐标运算以及向量的模求解即可 【解答】 解：向量 =（ 2， 1）， =（ 0， 1），则 | +2 |=|（ 2， 1） |= 故选： B 4一组数据分别为 12， 16， 20， 23， 20， 15， 28， 23，则这组数据的中位数是（ ） A 19 B 20 C 23 【考点】 众数、中位数、平均数 【分析】 把这组数据按从小到大的顺序排列，求出中间两个数的平均值即可 【解答】 解：把该组数据按从小到大的顺序排列，如下； 12， 15， 16， 20， 20， 23， 23， 28， 排在中间的两个数是 20， 20， 第 6 页（共 20 页） 所以这组数据的中位数为 =20 故选： B 5已知函数 ，则 f（ f（ 1） =（ ） A 2 B 0 C 4 D 6 【考点】 分段函数的应用；函数的值 【分析】 直接利用分段函数，由里及外求解函数值即可 【解答】 解：函数 ，则 f（ f（ 1） =f（ 2 4） =f（ 2） 4 故选： C 6已知 ，则 ） A 1 B 0 C D 1 【考点】 三角函数的化简求值；同角三角函数基本关系的运用 【分析】 利用两角和与差的正弦函数，余弦函数公式，特殊角的三角函数值化简已知可得用同角三角函数基本关系式即可计算求值 【解答】 解： ， = = 1 故选： A 7执行如图的程序框图，则输出的 S=（ ） 第 7 页（共 20 页） A 21 B 34 C 55 D 89 【考点】 程序框图 【分析】 经过观察为当型循环结构，按照循环结构进行执行，当不满足执行条件时跳出循环，输出结果即可 【解答】 解：模拟执行程序，可得 S=1， Q=1， i=3 满足条件 i 10， F=2， Q=1， S=2， i=4 满足条件 i 10， F=3， Q=2， S=3， i=5 满足条件 i 10， F=5， Q=3， S=5， i=6 满足条件 i 10， F=8， Q=5， S=8， i=7 满足条件 i 10， F=13， Q=8， S=13， i=8 满足条件 i 10， F=21， Q=13， S=21， i=9 满足条件 i 10， F=34， Q=21， S=34， i=10 满足条件 i 10， F=55， Q=34， S=55， i=11 不满足条件 i 10，退出循环，输出 S 的值为 55 故选： C 8在 ， ， A=75， B=45，则 外接圆面积为（ ） A B C 2 D 4 【考点】 正弦定理 【分析】 由三角形的知识和正弦定理可得外接圆的半径，可得面积 【解答】 解：在 ， ， A=75， B=45， C=180 A B=60，设 外接圆半径为 R， 则由正弦定理可得 2R= = ，解得 R=1， 故 外接圆面积 S=， 故选： C 第 8 页（共 20 页） 9如图，在长方体 ，点 P 是棱 一点，则三棱锥 P 左视图可能为（ ） A B C D 【考点】 简单空间图形的三视图 【分析】 直接利用三视图的定义，判断选 项即可 【解答】 解：在长方体 ，三棱锥 P 左视图中， 1、 D 故选 D 10将函数 f（ x） =2x+）（ | ）的图象向右平移 个单位后的图象关于 y 轴对称，则函数 f（ x）在 0， 上的最小值为（ ） A 0 B 1 C D 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 由函数图象变换以及诱导公式和偶函数可得 值，可得函数解析式，由三角函数区间的最值可得 【解答】 解：将函数 f（ x） =2x+）的图象向右平移 个单位后得到 y=（ x ）+） =2x+ ）的图象 ， 图象关于 y 轴对称， 由诱导公式和偶函数可得 =，解得 =， kZ， 由 | 可得当 k= 1 时 = ，故 f（ x） =2x ）， 由 x 0， 可得 2x ， ， 当 2x = 即 x=0 时，函数 f（ x）在 0， 上取最小值 ） = ， 故选： D 第 9 页（共 20 页） 11已知双曲线 C： 的右焦点为 F，以 F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为 M，且 双曲线的实轴垂直，则双曲线 C 的离心率为（ ） A B C D 2 【考点】 双曲 线的简单性质 【分析】 设 F（ c， 0），渐近线方程为 y= x，运用点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为 b，即为圆 F 的半径，再由 直于 x 轴，可得 a=b，运用 a， b， c 的关系和离心率公式，即可得到所求值 【解答】 解：设 F（ c， 0），渐近线方程为 y= x， 可得 F 到渐近线的距离为 =b， 即有圆 F 的半径为 b， 令 x=c，可得 y= b = ， 由题意可得 =b， 即 a=b， c= = a， 即离心率 e= = ， 故选 C 12已知函数 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，且在区 间 0， +）上是增函数，若，则 f（ x）的取值范围是（ ） A（ 0， ） B（ 0， e） C（ ， e） D（ e， +） 【考点】 奇偶性与单调性的综合 【分析】 由奇函数的性质和条件判断 f（ x）在 R 上的单调性，由奇函数的定义和单调性化简不等式，利用对数函数的性质求出 x 的范围，即可得答案 【解答】 解： f（ x）是在 R 上的奇函数，且在 0， +）上是增函数， f（ x）在区间（ ， +）上是增函数， 可化为： ， 即 |f（ | f（ 1）， f（ 1） f（ f（ 1）， 第 10 页（共 20 页） f（ 1） f（ f（ 1）， 则 1 1，即 得 x e， 不等式的解集是（ ， e）， 故选： C 二 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置上） 13已知实数 x， y 满足 ，则 z=2x+y 的最大值为 4 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） 由 z=2x+y 得 y= 2x+z， 平移直线 y= 2x+z， 由图象可知当直线 y= 2x+z 经过点 C 时，直线 y= 2x+z 的截距最大， 此时 z 最大 由 ，解得 C（ 2， 0） 将 C（ 2， 0）的坐标代入目标函数 z=2x+y， 得 z=2 2+0=4即 z=2x+y 的最大值为 4 故答案为： 4 14 别为椭圆 =1 的左、右焦点， A 为椭圆上一点，且 = （ + ），= （ + ），则 | |+| | 6 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 求得椭圆的 a=6，运用椭圆的定义可得 |2a=12，由向量的中点表示形式，可得 B 为 中点， C 为 中点，运用中位线定理和椭圆定义，即可得到所求值 【解答】 解：椭圆 =1 的 a=6， 第 11 页（共 20 页） 由椭圆的定义可得 |2a=12， = （ + ），可得 B 为 中点， = （ + ），可得 C 为 中点， 由中位线定理可得 | | | | 即有 | |+| |= （ | =a=6， 故答案为： 6 15设集合 S， T 满足 S T 且 S ，若 S 满足下面的条件： （ ） a， b S，都有 a b S 且 S； （ ） r S， n T，都有 S则称 S 是 T 的一个理想，记作 S T 现给出下列 3 对集合： S=0， T=R； S=偶数 ， T=Z； S=R， T=C， 其中满足 S T 的集合对的序号是 （将你认为正确的序号都写上） 【考点】 元素与集合关系的判断 【分析】 ： a=b=0 S，满足 S T ： a， b S，都有 a b， 偶数； r S， n T，都有 偶数，满足 S T ： r S， n T，可能 虚数，因此 则 S 不是 T 的一个理想 【解答】 解： ： a， b S，都有 a b=0 0=0 S 且 0 0=0 S； r=0 S， n T，都有 S则 S 是 T 的一个理想， 即 S T ： a， b S，都有 a b， 偶数，因此 a b S 且 S； r S， n T，都有 此 S则 S 是 T 的一个理想，即 S T ： a， b S，都有 a b， 数，因此 a b S 且 S； r S， n T，可能 虚数，因此 则 S 不是 T 的一个理想 其中满足 S T 的集合对的序号是 故答案为： 16已知底面为正三角形的三棱柱内接于半径为 1 的球，则三棱柱的体积的最大值为 1 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 设底面边长为 a，用 a 表示 出棱柱的高，得出体积关于 a 的函数，利用导数求出此函数的最大值 【解答】 解：过球心 O 作 平面 D 为正三角形的中心，连结 设三棱柱的底面边长为 a，则 = （ 0 ） = 第 12 页（共 20 页） 棱柱的高 22 棱柱的体积 V=S D= = 令 f（ a） =3 则 f（ a） =1262 令 f（ a） =0 得 a= 或 a=0（舍）或 a= （舍） 当 0 a 时， f（ a） 0，当 时， f（ a） 0 当 a= 时， f（ a）取得最大值 f（ ） =4， 当 a= 时， V= 取得最大值 1 故答案为 1 三 本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17已知等差数列 前 n 项和为 （ ）， 3列 等比数列，且 2b1= （ ）求数列 通项公式； （ ）求数列 |的前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ I）通过令等差数列 公差为 d，联立 （ ）、 3算可得首项和公差，进而可得 1 2n；通过令数列 公比为 q，联立 2b1=算可知首项和公比，进而可得 ； （ 2）通过（ I）知， ，分 n 5 与 n 6 两种情况讨论即可 【解答】 解：（ I）令等差数列 公差为 d， （ ）， 3 ，解得 ， 则 1 2n； 令数列 公比为 q， 第 13 页（共 20 页） 2b1= ，解得 ， 则 ； （ 2）通过（ I）知， ， 于是 18为迎接校运动会的到来，某校团委在高一年级招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者（ 18名女志愿者中有 6 人喜欢运 动） （ ）如果用分层抽样的方法从男、女志愿者中共抽取 10 人组成服务队，求女志愿者被抽到的人数； （ ）如果从喜欢运动的 6 名女志愿者中（其中恰有 4 人懂得医疗救护），任意抽取 2 名志愿者负责医疗救护工作，则抽出的志愿者中 2 人都能胜任医疗救护工作的概率是多少？ 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法 【分析】 （ I）用分层抽样的方法，求出每个志愿者被抽中的概率，由此能求出女志愿者被选中人数 （ 欢运动的女志愿者有 6 人，分别设为 A、 B、 C、 D、 E、 F，其中 A、 B、 C、 D 懂得医疗救护，由 此利用列举法能求出抽出的志愿者中 2 人都能胜任医疗救护工作的概率 【解答】 解：（ I）用分层抽样的方法，每个志愿者被抽中的概率是 ， 女志愿者被选中有 （人） （ 欢运动的女志愿者有 6 人， 分别设为 A、 B、 C、 D、 E、 F，其中 A、 B、 C、 D 懂得医疗救护， 则从这 6 人中任取 2 人有 E， 15 种取法， 其中两 人都懂得医疗救护的有 6 种 设 “抽出的志愿者中 2 人都能胜任医疗救护工作 ”为事件 A， 则抽出的志愿者中 2 人都能胜任医疗救护工作的概率 P（ A） = = 19如图（ 1），在等腰梯形 ， E， F 分别为 中点，且 F=2， M 为 点，现将梯形 在直线折起，使平面 平面 图（ 2）所示， N 是 中点 第 14 页（共 20 页） （ ）求证： 平面 （ ）求四棱锥 M 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定 【分析】 （ I）连接 中位线性质得 平面 （ 平面 平面 知 平面 M 为 点得棱锥 M F 的一半 【解答】 证明：（ ）连接 M， N 分别是 中点， 面 平面 平面 （ ） 平面 平面 面 面 F， 平面 平面 M 是 中点， M 到平面 距离 h= = =2 20曲线 上任意一点为 A，点 B（ 2， 0）为线段 中点 （ ）求动点 C 的轨迹 f（ x）的方程； （ ）过轨迹 E 的焦点 F 作直线交轨迹 E 于 M、 N 两点，在圆 x2+ 上是否存在一点 P，使得 别为轨迹 E 的切线？若存在，求出轨迹 E 与直线 围成的图形的面积；若不存在，请说明理由 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题 【分析】 （ ）设出 C， A 的坐标，利用中点坐标公式把 A 的坐标用 C 的坐标表示，然后代入曲线方程求得动点 C 的轨迹方程； （ ）假设存在点 P（ 使得 别为轨迹 E 的切线，设出 M， N 的坐标及直线 方程，联立直线方程与抛物线方程，得到 M， N 的横坐标的和与积，然后分别写出过 M， N 的切线方程，知 方程 的两根，进一步求得 P 的坐标，则可求得轨迹 E 与直线 围成的图形的面积 第 15 页（共 20 页） 【解答】 解：（ ）设 C（ x， y）， A（ m， n），则 ， ， 又 ， 所求方程为 y； （ ）假设存在点 P（ 使得 别为轨迹 E 的切线， 设 M（ N（ 直线 方程为 y=， 联立 ， 得 44=0， 则 ， 切线 方程为 ， 点 P（ 入化简得 同理得 ， 知 方程 的两根， 则 4 1，代入圆方程得 ， 存在点 P（ 0， 1） 此时轨迹 E 与直线 围成的图形的面积： S= =1 21已知函数 f（ x） =x （ I）判断函数 f（ x）的单调性； （ 数 有两个零点 证： x1+1 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值 【分析】 （ ）求出 f（ x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； 第 16 页（共 20 页） （ ）求出 t= ，得到 0 t 1，构造函数 ，根据函数的单调性求出 h（ t） h（ 1），从而证出结论 【解答】 解：（ I）因为函数 f（ x）的定义域为（ 0， +） ， 令 ，得 0 x 1 令 ，得 x 1 所以函数 f（ x）的单调递增区间为（ 0， 1）， 函数 f（ x）的单调递减区间为（ 1， +） （ 明：根据题意， ， 因为 函数 的两个零点， 所以 ， 两式相减，可得 ， 即 ，故 ， 那么 ， 令 ，其中 0 t 1， 则 构造函数 ， 则 因为 0 t 1，所以 h（ t） 0 恒成立， 第 17 页（共 20 页） 故 h（ t） h（ 1），即 ， 可知 ，故 x1+1 请考生在 22， 23， 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑 选修 4何证明选讲 22已知四边形 O 的内接四边形，且 D，其对角线 交于点 M过点 B 作 O 的切线交 延长线于点 P （ 1）求证： D=M； （ 2）若 D=M，求证： C 【考点】 与圆有关的比例线段；相似三角形的性质 【分析】 （ 1）利用等腰三角形的性质、角分线定理，即可证明结论； （ 2）证明 用 明 可得出结论 【解答】 证明：（ 1）由 D 可知， 由角分线定理可知， = ，即 D=M 得证 （ 2）由 D=M， 可知 = ，又因为 D，所以 = 所以 以 因为 以 以 C 选修 4标系与参数方程 23已知直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），以坐标原点为极点， x