北京市2017届高三数学理科一轮复习专题突破训练：统计与概率

北京市 2017 届高三数学理一轮复习专题突破训练 统计与概率 一、选择、填空题 1、（东城区 2016 届高三二模） 为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查 了 20 位工人某天生产该产品的数量 45,55 ， 5 5 , 6 5 , 6 5 , 7 5 , 7 5 , 8 5， 85,95 由此得到频率分布直方图如图 . 则产品数量位于 55,65 范围内的频率为 _； 这 20 名工人中一天生产该产品数量在 55,75 的人数是 . 2、（丰台区 2016 届高三一模） 对 高速公路某段上汽车行驶速度进行抽样调查，画出如下频率分布直方图 0km/h 的概率 （ A） 75， （ B） 80,（ C） （ D） 2 题 第 3 题 3、（海淀区 2016 届高三二模） 某校为了解全校高中同学五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100 名同 学，统计他们假期参加实践活动的时间 , 绘成频率分布直方图（如 右上 图） . 则这 100名同学中参加实践活动时间在 610 小时内的人数为 _ . 4、（昌平区 2016 届高三上学期期末） 某大学进行自主招生时，需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试 00 名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名 、丙三位同学的排名情况如下图所示： 80 90 100 110 120 130 车速（ km/h） 频率组距 辑思维成绩排名总成绩排名200200A 甲同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前 B 乙 同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前 C 甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前 D 乙同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前 5、（朝阳区 2016 届高三上学期期末） 在一 段时间内有 2000 辆车通过高速 公 路上 的 某处，现随机抽取其中 的 200 辆进 行车速 统计 ， 统计结果 如下面的 频率分布直方图所示若该处高速公路规定正常行驶速度 为 90km/h 120km/h，试估计2000 辆车中， 在这段时间内以正常速度通过该处 的汽车约有 A 30 辆 B 300 辆 C 170 辆 D 1700 辆 6、（东城区 2016 届高三上学期期中）已知每生产 100 克饼干的原材料加工费为 ， 某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如下表所示： 型号 小包装 大包装 重量 100 克 300 克 包装费 销售价格 则下列说 法中正确的是 ( ) 买小包装实惠 买大包装实惠 卖 3 小包比卖 1 大包盈利多 卖 1 大包比卖 3 小包盈利多 A B C D 7、（石景山区 2016 届高三上学期期末） 股票交易 的开盘价是这样确定的：每天开盘前，由投资者填报某种股票的意向买价或意向卖价以及相应的意向股数，然后由计算机根据这 些 数据确定适当的价格，使得在该价位上能够成交的股数最多 . （ 注 ： 当 卖方意 向价不高 于开盘价 ， 同时 买方 意 向价不低 于开盘价， 能够 成交 ） 根据以下数据，这种股票的开盘价 为 _元， 能 够 成交的股数 为 _. 卖家 意向价（元） 向股数 200 400 500 100 买家 意向价（元） 向股数 600 300 300 100 8、（ 2016 年山东高考） 某高校调查了 200 名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是 0 ，样本数据分组为1 7 . 5 , 2 0 ) , 2 0 , 2 2 . 5 ) , 2 2 . 5 , 2 5 ) , 2 5 , 2 7 . 5 ) , 2 7 . 5 , 3 0 200 名学生中每周的自习时间不少于 时的人数是 （ A） 56 （ B） 60 （ C） 120 （ D） 140 9、（ 2016 年全国 I 高考） 某公司的班车在 7:30， 8:00， 8:30 发车，小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是 （ A） 13 （ B） 12 （ C） 23 （ D） 34 10、（ 2016 年山东高考） 在 , 11 上随机的取一个数 k ，则事件“直线 与圆 95 22 =+)( 交”发生的概率为 二、解答题 1、（ 2016 年北京高考） A、 B、 C 三个班共有 100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）； A 班 6 7 8 B 班 6 7 8 9 10 11 12 C 班 3 6 9 12 1） 试估计 C 班的学生人数； （ 2） 从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取一人， A 班选出的人记为甲， C 班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； （ 3） 再从 A、 B、 C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是 7， 9， 位：小时），这 3 个新 数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记1，表格中数据的平均数记为0，试判断0和1的大小，（结论不要求证明） 2、（ 2015 年北京高考） A， 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： 10， 11， 12， 13， 14， 15， 16 12， 13， 15， 16， 17， 14， a 假设所有病人的康复时间互相独立，从 A， 人， ( ) 求甲的康复时间不少于 14 天的概率； ( ) 如果25a，求甲的 康复时间比乙的康复时间长的概率； ( ) 当 为何值时， A， 结论不要求证明） 3、（ 2014 年北京高考） 李明在 10 场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）： （ 1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过 概率 . （ 2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求 李明的投篮命中率一场超过 一 场不超过 概率 . （ 3） 记 x 是表中 10 个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记 X 为李明 在这比赛中的命中次数，比较 )( x 的大小（只需写出结论） 4、（朝阳区 2016 届高三二模） 交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反 映某区域道路网在某特定时段内畅通或拥堵实际情况的概念性指数值 交通指数范围为 (010)， ，五个级别规定如下： 交通指数 (0,2) 2,4) 4,6) 6,8) 8,10) 级别 畅通 基本畅通 轻度拥堵 中度拥堵 严重拥堵 某人在工作日上班出行每次经过的路段都在同一个区域内，他随机记录了上班的 40 个工作日早高峰时段 (早晨 7 点至 9 点 )的交通指数(平均值 )，其统计结果如直方图所示 （ ）据此估计此人 260 个工作日中 早高峰时段（早晨 7 点至 9 点） 中度拥堵的天数； （ ）若此人早晨上班路上所用时间近似为：畅通时 30 分钟，基本畅通时 35分钟，轻度拥堵时 40 分钟，中度拥堵时50 分钟，严重拥堵时 70 分钟，以直方图中各种路况的频率作为每天遇到此种路况的概率，求此人上班路上所用时间X 的数学期望 5、（东城区 2016 届高三二模） 在 2015季 赛 中，某队甲、乙两名球员在 前 10 场比赛中投篮命中 情况统计如下表（注： 表中分数 N 表示 投篮次数， n 表示命中次数 ） ,假设各场比赛相互独立 . 场次 球员 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 513412143059141910161223486131019乙 1326918914816615101472191610221220根据统计表的信息 : （）从上述比赛中 等可能随机选择一场，求甲球员在该场比赛中投篮命中率大于 概率； （） 试估计 甲、乙两名运动员 在下一场比赛中 恰有一人命中率超过 概率； （）在接下来的 3 场 比赛中 ，用 X 表示这 3 场比赛中乙球员命中率超过 场次，试写出 X 的分布列，并求 X 的数学期望 . 6、（丰台区 2016 届高三一模） 从某病毒爆发的疫区返回本市若干人，为了迅速甄别是否有人感染病毒，对这些人抽血，并将血样分成 4 组，每组血样混合在一起进行化验 . （）若这些人中有 1 人感染了病毒 . 求恰好化验 2 次时 ,能够查出含有病毒血样组的概率； 设确定出含有病毒血样组的化验次数为 X，求 E（ X） . ( )如果这些人中有 2 人携带病毒，设确定出全部含有病毒血样组的次数 Y 的均值 E(Y)，请指出（） 中 E（ X） 与 E(Y)的大小关系 .（只写结论 ,不需说明理由） 7、（海淀区 2016 届高三二模） 某家电专卖店试销 A、 B、 C 三种新型空调，销售情况如 下 表所示： 第一周 第二周 第三周 第四周 第五周 A 型数量（台） 11 10 15 4数量（台） 10 12 13 4数量（台） 15 8 12 4 )求 A 型空调 前三 周的平均 周 销售量 ； ( )根据 C 型空调连续 3 周销售情况，预估 C 型空调连续 5 周的平均周销量为 10 台 . 请问：当 C 型空调周销售量 的 方差最小 时， 求4C，5 (注：方差 2 2 2 2121 ( ) ( ) ( ) ns x x x x x ，其中 x 为1x，2x， ，平均数 ) （ ） 为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从该家电专卖店第二周和第三周售出的空调中分别 随机抽取一台，求抽取的两台空调中 A 型空调台数 X 的 分布列和 数学期望 . 8、（石景山区 2016 届高三一模） 我市 某苹果 手机专卖店 针对苹果 6S 手机推出无抵押分期付款购买方式，该店对最近购买 苹果 6S 手机的 100 人 进行统计 （注 ：每人 仅 购买一部手机），统计结果如下表所示： 付款方式 分 1 期 分 2 期 分 3 期 分 4 期 分 5 期 频数 35 25 a 10 b 已知分 3 期付款的频率为 请 以此 100 人作为样本估计 消费 人群总体， 并 解决以下问题 ： （）求 a ， b 的值； （） 求 “ 购买 手机 的 3 名 顾客中 （ 每人 仅 购买一部手机），恰好有 1 名顾客分 4 期付款 ” 的概率； （） 若 专卖 店销售一部 苹果 6S 手机，顾客分 1 期付款 (即全款 )，其利润为 1000 元；分 2 期或3 期付款，其利润为 1500 元；分 4 期或 5 期付款，其利润为 2000 元 用 X 表示销售一部 苹果 6S 手机的利润，求 X 的分布列及数学期望 9、（西城区 2016 届高三二模） 某中学有初中学生 1800 人 ， 高中学生 1200 人 . 为 了解 学生 本学期课外阅读时间， 现采用分层抽样的方法 ， 从中抽取了 100 名学生 ， 先统计了他们 课外阅读时间， 然后 按“初中学生 ”和 “高中学生 ”分为两组，再将 每 组学生的阅读时间（单位：小时）分为 5 组： 0,10) ，10,20) ， 20,30) ， 30,40) ， 40,50 ，并 分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图 . （ ）写出 a 的值； （ ）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于 30 个小时的学生人数 ； （ ） 从阅读时间不足 10 个小时的样本学生中随机抽取 3 人 ，并用 X 表示 其中初中生的人数，求 X 的分布列和数学期望 . 10、（朝阳区 2016 届高三上学期期末） 某中学高一年级共 8 个班，现从高一年级选 10 名同学组成社区服务小组，其中高一（ 1）班选取 3 名同学，其它各班各选取 1 名同学现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同） （）求选出的 3 名同学来自不同班级的概率； （）设 X 为选出同学中高一（ 1）班 同学的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望 11、（大兴区 2016 届高三上学期期末） 某校为了解甲、乙两班学生的学业水平，从两班中各随机抽取 20 人参加学业水平等级考试，得到学生的学业成绩茎叶图如下： 甲班 乙班 4 6 5 5 3 6 8 4 2 6 2 4 5 6 8 9 8 8 7 63 7 3 5 4 4 5 9 7 6 5 3 3 0 8 1 4 5 9 8 7 6 2 0 9 8 9 （ ）通过茎叶图比较 甲、乙两班学生的学业成绩 平均值 方差 2甲乙（ 只需写出结论 ） （ ）根据 学生的学业成绩， 将 学业水平 分为三个等级： 学业成绩 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 学业水平 一般 良好 优秀 根据所给数据 ， 频率可以视为相应的概率 . （）从甲、乙两班中各随机抽取 1 人， 记 事件 C ： “抽到的甲班学生的学业水平等级 高于 乙班学生的学业水平等级”， 求 C 发生 的概率 ； （）从甲班中随机抽取 2 人，记 X 为学业水平优秀的人数，求 X 的分布列和数学期望 . 12、（丰台区 2016 届高三上学期期末） 随着人们社会责任感与公众意识的不断提高，越来越多的人成为了志愿者 . 某创业园区对其员工是否为志愿者的情况进行了抽样调查，在随机抽取的 10 位员工中，有 3 人是志愿者 . （） 在这 10 人中随机抽取 4 人填写调查问卷，求这 4 人中恰好有 1 人是志愿者的概 率1P； （）已知该创业园区有 1 万多名员工，从中随机调查 1 人是志愿者的概率为 310， 那么在该创业园区 随机调查 4 人，求其中恰有 1 人是志愿者的概率2P； （ ） 该创业园区的 A 团队有 100 位员工，其中有 30 人是志愿者 . 若在 A 团队随机调查 4 人，则其中恰好有 1 人是志愿者的概率为3P. 试根据（）、（）中的1出1P，2P，3写结果，不用说明理由） . 参考答案 一、选择、填空题 1、 13 2、 D 3、 58 4、 C 5、 D 6、 D 7、 600 8、 D 9、 B 10、43 二、解答题 1、 解析 ： 8 100 4020， C 班学生 40 人 在 A 班中取到每个人的概率相同均为15设 班中取到第1,2,3,4,5 班中取到第1, 2 , 3, 4 , 5, 6 , 7, 8班中取到概率为 则1 2 3 4 51 1 1 1 1() 5 5 5 5 5P D P P P P P 1 2 1 3 1 3 1 3 1 45 8 5 8 5 8 5 8 5 8 38 10三组平均数分别为7,9,均值 但 1中多加的三个数据, , ,小， 故拉低了平均值 2、 解 析 ： 设事件是 A 的第 i 个人”， 事件是 B 组的第 i 个人” ,1 i 由题意可知 71 ,1 i( ) 由题意知，事件“甲的康复时间不少于 14 天 ”等价于 “甲是 A 组的第 5 人或者第 6 人，或者第 7人 ”甲的康复时间不少于 14 天的概率是 7365765 ( )设事件 C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”有题意知 67663727262517161514 67663727262517161514 491010 14 ( ) 18 或a 3、 李明在该场比赛中命中率超过 概率有： 主场 2 主场 3 主场 5 客场 2 客场 4 所以李明在该场比赛中投篮命中超过 概率 5110 2P 李明主场命中率超过 率1 35P，命中率不超过 概率为1 21 5P客场中命中率超过 率2 25P，命中率不超过 概率为2 31 5P 3 3 2 2 1 35 5 5 5 2 5P E X x 4、 解 : （ ）由已知可得： 上班的 40 个工作日 中 早高峰时段 中度拥堵的频率为 据此估计此人 260 个工作日 早高峰时段（早晨 7 点至 9 点） 中度拥堵的天数为 2605 天 . 5 分 （ ）由题意可知 X 的可能取值为 3 0 , 3 5 , 4 0 , 5 0 , 7 0 且 ( 3 0 ) 0 ； ( 3 5 ) 0 ； ( 4 0 ) 0 ； ( 5 0 ) 0 . 2 5； ( 7 0 ) 0 ； 所以 3 0 0 . 0 5 + 3 5 0 . 1 + 4 0 0 . 4 5 + 5 0 0 . 2 5 + 7 0 0 . 1 5 = 4 6 13 分 5、 解：（）根据投篮统计数据，在 10 场比赛中，甲球员投篮命中率超过 场次有 5 场， 分别是 4， 5， 6， 7， 10， 所以在随机选择的一场比赛中，甲球员的投篮命中率超过 概率是 12. 在 10 场比赛中，乙球员投篮命中率超过 场次有 4 场，分别是 3， 6， 8， 10， 所以在随机选择的一场比赛中，甲球员的投篮命中率超过 概 率 是 25. （）设在一场比赛中，甲、乙两名运动员恰有一人命中率超过 事件 A ，乙队员命中率不超过 事件1B，乙队员命中率超过 甲队员命中率不超过 事件2B. 则12 1 3 1 2 1( ) ( ) ( ) 2 5 2 5 2P A P B P B （） X 的可能取值为 0,1,2,3 . 0 0 33 2 3 2 7( 0 ) ( ) ( )5 5 1 2 5P X C ； 1 1 23 2 3 5 4( 1 ) ( ) ( )5 5 1 2 5P X C ； 2 2 13 2 3 3 6( 2 ) ( ) ( )5 5 1 2 5P X C ； 333 28( 3 ) ( )5 1 2 5P X C ； X 的分布列如下表： X 0 1 2 3 P 27125 54125 36125 8125 263 55E X n p . 6、 解： （） 恰好化验 2 次时 ,就能够查出含有病毒血样的组为事件 A. 1()4 恰好化验 2 次时 ,就能够查出含有病毒血样的组的概率为 确定出含有病毒血样组的次数为 X,则 X 的可能取值为 1， 2， 3. 1( 1) 4 , 1( 2 ) 4， 1( 3) 2. 则 X 的分布列为： X 1 2 3 P 141412所以： E（ X） = 1 1 1 91 2 34 4 2 4 ( ) ( ) ( )E X E Y 7、 解 : (I)A 型空调前三周的平均销售量 1 1 1 0 1 5 125x 台 2 分 （） 因为 C 型空调平均周销售量为 10 台， 所以45 1 0 5 1 5 8 1 2 1 5 4 分 又 2 2 2 2 2 2451 ( 1 5 1 0 ) ( 8 1 0 ) ( 1 2 1 0 ) ( 1 0 ) ( 1 0 ) 5s c c 化简得到 2241 1 5 9 1 2 ( ) 5 2 2 5 分 因为4c N，所以当4 7c 或4 8c 时， 2s 取得最小值 所以当 4578或 4587时， 2s 取得最小值 7 分 （ ） 依题意， 随机变量 X 的可能取值为 0,1,2 ， 8 分 2 0 2 5 5( 0 ) 3 0 4 0 1 2 , 1 0 2 5 2 0 1 5 1 1( 1 ) + =3 0 4 0 3 0 4 0 2 4 , 1 0 1 5 1( 2 ) 3 0 4 0 8 , 11 分 随机变量 X 的分布列为 随机变量 X 的期望 5 1 1 1 1 7( ) 0 1 21 2 2 4 8 2 4 . 13 分 8、 解： （ ） 由 题意得 ， 所以 15a ， 又 3 5 2 5 1 0 1 0 0 ，所以 15b 3 分 （）设 事件 A 为 “ 购买 一部手机 的 3 名 顾客中，恰好有 1 名顾客分 4 期付款 ” ， 4 分 由题意得：随机抽取一位购买者，分 4 期付款的概率为 5 分 X 0 1 2 p 512112418所以 123( ) 0 . 1 0 . 9 0 . 2 4 3P A C 7 分 （） 记分期付款的期数为 ，依题意得 ( 1) 0 P ， ( 2 ) 0 P ，( 3 ) 0 P ， ( 4 ) 0 ， ( 5 ) 0 P ， 因为 X 可能取得值为 1000 元， 1500 元， 2000 元， 8 分 并且易知 ( 1 0 0 0 ) ( 1 ) 0 . 3 5P X P ， 9 分 ( 1 5 0 0 ) ( 2 ) ( 3 ) 0 . 4P X P P ， 10 分 ( 2 0 0 0 ) ( 4 ) ( 5 ) 0 . 2 5P X P P ， 11 分 所以 X 的 分布列 为 X 1000 1500 2000 P 所以 X 的 数学期望 1 0 0 0 0 . 3 5 1 5 0 0 0 . 4 2 0 0 0 0 . 2 5 1 4 5 0 13 分 9、 （） 解 ： . 3 分 （ ） 解 ： 由分层抽样，知抽取的初中生有 60 名 ， 高中生有 40 名 . 4 分 因为初中生中， 阅读时间 不小于 30 个小时的学生 频率为 ( 0 . 0 2 0 . 0 0 5 ) 1 0 0 . 2 5 ， 所以所有的初中生中，阅读时间不小于 30 个小时的学生约有 0 1 8 0 0 4 5 0人， 6 分 同理，高中生中， 阅读时间 不小于 30 个小时的学生 频率为 ( 0 . 0 3 0 . 0 0 5 ) 1 0 0 . 3 5 ， 学 生人数约有 0 1 2 0 0 4 2 0人 . 所以 该校所有学生中，阅读时间 不小于 30 个小时的学生人数 约有 450 420 870人 . 8 分 （ ） 解 ：初中生中，阅读时间不足 10 个小时的学生频