高考数学一轮复习专题3.7正余弦定理练习（含解析）.docx

第七讲 正余弦定理【套路秘籍】-千里之行始于足下一正弦定理、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容2Ra2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC变形a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；sin A，sin B，sin C；abcsin Asin Bsin C；asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos A；cos B；cos C使用条件1.两角一边求角2.两边对应角1.三边求角2.两边一角求边二在ABC中，已知a，b和A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aab解的个数一解两解一解一解三.三角形常用面积公式(1)Saha(ha表示边a上的高)；(2)Sabsin Cacsin Bbcsin A；(3)Sr(abc)(r为三角形内切圆半径)四测量中的有关几个术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角方位角的范围是0c，可得30B180，B60或B120.（3）因为sin B且B(0，)，所以B或B.又C，BC，所以B，ABC.又a，由正弦定理得，即，解得b1.【举一反三】1.已知ABC中，A，B，a1，则b等于()A.2 B.1 C.D.【答案】D【解析】由正弦定理，得，b.2.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a，b2，A60，则sin B_，c_.【答案】3【解析】由，得sin Bsin A，又a2b2c22bccos A，c22c30，解得c3(c1舍去).考向二 正余弦定理的运用【例2】（1）在ABC中，2acos Abcos Cccos B0，则角A的大小为_（2）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C，bcos Aacos B2，则ABC的外接圆面积为【答案】（1）120 （2）9【解析】（1）由余弦定理得2acos Abc0，即2acos Aa0，所以cos A，A120.（2）因为bcos Aacos B2，所以由余弦定理得ba2，解得c2(c0舍去)由cos C，得sin C，再由正弦定理可得2R6(R为ABC外接圆半径)，所以R3，所以ABC的外接圆面积为R29.【套路总结】正余弦定理运用：边角互换1. 边的一次方或角的正弦-正弦定理2. 边的二次方或角的余弦-余弦定理【举一反三】1在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin(A+3)=asinB，则角A等于（ ）A6B3C23D56【答案】B【解析】由正弦定理得，sinBsinA+3=sinAsinBsinB0，sinA+3=sinA，即sinA=3cosA，tanA=30Ab，则B= （）A30B60C120D150【答案】A【解析】在ABC中，asinBcosC+csinBcosA=12b，由正弦定理得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=12sinB，sinB0 ，sinAcosC+sinCcosA=12，sinA+C=12，又A+B+C= ，sinA+C=sin-B=sinB=12，又ab，B=30 故选：A 3已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且(bc)(sin Bsin C)(ac)sin A，则角B的大小为_【答案】30【解析】由正弦定理及(bc)(sin Bsin C)(ac)sin A得(bc)(bc)(ac)a，即b2c2a2ac，所以a2c2b2ac，又因为cos B，所以cos B，所以B30.考向三 三角形的面积【例3】已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2c2bcos A.(1)求角B的大小；(2)若b2，ac4，求ABC的面积【答案】（1） （2）【解析】(1)因为a2c2bcos A，由正弦定理，得sin A2sin C2sin Bcos A.因为C(AB)，所以sin A2sin(AB)2sin Bcos A.即sin A2sin Acos B2cos Asin B2sin Bcos A，所以sin A(12cos B)0.因为sin A0，所以cos B.又因为0B，所以B.(2)由余弦定理a2c22accos Bb2及b2，得a2c2ac12，即(ac)2ac12.又因为ac4，所以ac4，所以SABCacsin B4.【套路总结】三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化【举一反三】1.设ABC中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ab2，c3，C，则ABC的面积为_【答案】【解析】由余弦定理，得c2a2b22abcos C(ab)2ab，即912ab，故ab3，则SABCabsin C.2.设ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，D为AB的中点，若bacos Ccsin A且CD，则ABC面积的最大值是_【答案】1【解析】由bacos Ccsin A及正弦定理可得sin Bsin Acos Csin Csin A，所以sin(AC)sin Acos Csin Csin A，化简可得sin Acos A，所以A.在ACD中，由余弦定理可得CD22b22bcos Abcbc，当且仅当b时取“”，所以bc42，所以ABC的面积Sbcsin Abc1，所以ABC面积的最大值是1.3.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Aacos B2ccos C.(1)求C的大小；(2)若b2a，且ABC的面积为2，求c的值【答案】 （1） （2）2【解析】(1)由正弦定理及bcos Aacos B2ccos C，得sin Bcos Asin Acos B2sin Ccos C，所以sin(BA)2sin Ccos C，所以sin C2sin Ccos C.因为C(0，)，所以sin C0，所以cos C，所以C.(2)因为ABC的面积为2，所以absin C2，所以ab8.又b2a，所以a2，b4，由余弦定理，得c2a2b22abcos C224222428，所以c2.考向四 判断三角形的形状【例4】在ABC中，内角A，B，C所对边分别是a，b，c，若sin2，则ABC的形状一定是_【答案】直角三角形【解析】由题意，得，即cos B，又由余弦定理，得，整理得a2b2c2，所以ABC为直角三角形【套路总结】判断三角形形状的两种思路1化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状。2化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状。此时要注意应用ABC这个结论。在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响【举一反三】1在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2acos B，则ABC的形状为_【答案】等腰三角形【解析】c2acos B，由正弦定理，得sin Csin(AB)2sin Acos B，即sin Acos Bcos Asin B2sin Acos B，sin Acos Bcos Asin B，可得tan Atan B，又0A，0B，AB，故ABC的形状为等腰三角形2在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，(bca)(bca)3bc，则ABC的形状为_【答案】等边三角形【解析】因为，所以，所以bc.又(bca)(bca)3bc，所以b2c2a2bc，所以cos A.因为A(0，)，所以A，所以ABC是等边三角形考向五 三角形个数判断【例5】在ABC中，已知a2，b，A45，则满足条件的三角形有个【答案】2【解析】bsin A，bsin Aab.满足条件的三角形有2个【套路总结】1.三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.2.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.【举一反三】1.在ABC中，若a18，b24，A45，则此三角形解的情况为_【答案】两解【解析】因为，所以sin Bsin Asin 45.又因为ab，所以B有两个解，即此三角形有两解考向六求解几何计算问题【例6】 如图，在四边形ABCD中，DAB，ADAB23，BD，ABBC.(1)求sinABD的值；(2)若BCD，求CD的长【答案】（1） （2）【解析】(1)因为ADAB23，所以可设AD2k，B3k.又BD，DAB，所以由余弦定理，得()2(3k)2(2k)223k2kcos ，解得k1，所以AD2，AB3，sinABD.(2)因为ABBC，所以cosDBCsinABD，所以sinDBC，所以，所以CD.【举一反三】1若E，F是等腰直角三角形ABC斜边AB上的三等分点，则tanECF.【答案】【解析】如图，设AB6，则AEEFFB2.因为ABC为等腰直角三角形，所以ACBC3.在ACE中，A，AE2，AC3，由余弦定理可得CE.同理，在BCF中可得CF.在CEF中，由余弦定理得cosECF，sinECF，所以tanECF.2.如图，在ABC中，B，AB8，点D在边BC上，且CD2，cosADC。(1)求sinBAD；(2)求BD，AC的长。【答案】（1） （2）7【解析】(1)在ADC中，因为cosADC，所以sinADC，则sinBADsin(ADCB)sinADCcosBcosADCsinB。(2)在ABD中，由正弦定理得BD3。在ABC中，由余弦定理得AC2AB2CB22ABBCcosB825228549，即AC7。考向七 生活实际运用【例7】（1）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m.（2）海轮“和谐号”从A处以每小时21海里的速度出发，海轮“奋斗号”在A处北偏东45的方向，且与A相距10海里的C处，沿北偏东105的方向以每小时9海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为_小时.（3）如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角CAD等于()A.30 B.45 C.60 D.75【答案】（1）100 （2） （3）B【解析】（1）由题意，在ABC中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又AB600 m，故由正弦定理得，解得BC300(m).在RtBCD中，CDBCtan 30300100(m).（2）设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为x小时，如图，则由已知得ABC中，AC10，AB21x，BC9x，ACB120.由余弦定理得：(21x)2100(9x)22109xcos 120，整理，得36x29x100，解得x或x(舍). 所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为小时.（3）依题意可得AD20 m，AC30 m，又CD50 m，所以在ACD中，由余弦定理得cosCAD，又0CAD0，所以cosB=12，所以sinB=1-cos2B=32，又因为c=4,a=2，所以三角形的面积为S=12acsinB=122432=23，故选D.7在中，则的面积为_【答案】【解析】因为在中，由余弦定理可得，因此，所以的面积为故答案为8在中，角，所对的边分别为，已知，则_.【答案】.【解析】由可知，展开化简可得因为，由正弦定理可得有以上两式可得根据诱导公式可知结合二倍角公式的降幂公式可知9在中，三边长分别为 ,其最大角的余弦值为_, 的面积为_.【答案】【解析】大边对大角可知，A最大，所以，cosA；，的面积为S3.10在中，已知，若，则_【答案】.【解析】在线段上取点，使得，设，则，因为，即，所以在中，由余弦定理可得，解得，在中，由正弦定理可得，因为，所以,故答案为11在中，角，的对边分别为，若，且，则的取值范围为_【答案】.【解析】因为所以由正弦定理可得，又因为，所以由正弦定理可得，即，所以，因为，所以，因为，当且仅当时取等号，所以，所以，即，所以，故的取值范围为12在中， ,则的面积是_【答案】.【解析】由三角形的面积公式可知故答案为：13在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m=(cos3A2,sin3A2)，n=(cosA2,sinA2)，且满足m+n=3.则A=_【答案】60.【解析】由m+n=3得，m2+n2+2mn=3，即1+1+2cos3A2cosA2+sin3A2sinA2=3cosA=12，0A，A=3=60答案：6014在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若2sin2A+csinC-sinA=2sin2B，且ABC的面积S=14abc.则角B=_【答案】3【解析】S=14abc14abc=12absinCc=2sinC，代入2sin2A+csinC-sinA=2sin2B中，得sin2A+sin2C-sinAsinC=sin2B，由正弦定理asinA=bsinB=csinC,可将上式化简为，a2+c2-ac=b2，由余弦定理可知：b2=a2+c2-2accosB,所以有cosB=12，又因为B(0,)，所以角B=3.15ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB-bcosA+2c=0，则tanAtanB_【答案】-13【解析】由题意结合正弦定理有：sinAcosB-sinBcosA+2sinC=0，即sinAcosB-sinBcosA+2sin(A+B)=0，整理变形可得：3sinAcosB=-cosAsinB，sinAcosAcosBsinB=-13，即tanAtanB=-13.16在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，8-ccosB=bcosC，c=3，a=4，平面内有一点D满足AD=2AC，则线段BD=_.【答案】7【解析】c=3代入(8-c)cosB=bcosC得5a2+c2-b22ac=ba2+b2-c22ab得a2-4b2+4c2=0,又c=3,a=4b=13,则cosA=9+13-162133=9+(213)2-BD223213解得BD=7故答案为717在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c，若sinA-sinCb+c=sinB-sinCa，则B=_【答案】3【解析】在ABC中，由sinA-sinCb+c=sinB-sinCa，及正弦定理得：a-cb+c=b-ca，整理可得：a2+c2b2ac，所以，cosB=a2+c2-b22ac=ac2ac=12，所以，由B（0，），可得：B=3故答案为：318在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，a=2，B=45，若三角形有两解，则b的取值范围是_.【答案】2,2【解析】由题意结合正弦定理可知，满足题意时有：asinBba，即2sin45b2，据此可得b的取值范围是2,2.19在ABC中，sin2A=sin2B+sin2C-sinBsinC，则角A的大小为_【答案】3【解析】由正弦定理得：a2=b2+c2-bc，即b2+c2-a2=bc则cosA=b2+c2-a22bc=12A0,A=3本题正确结果：320在ABC中，已知角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a=bcosC+csinB，则角B为_.【答案】4【解析】因为a=bcosC+csinB，由正弦定理知，sinA=sinBcosC+sinCsinB，在ABC中，A=-(B+C)，由得：sinBsinC=cosBsinC，而C(0,)，所以sinC0，所以sinB=cosB，又B(0,)，所以B=4，故答案为4.21在ABC中，AC=3，BC=23，A=2B，则sinC=_【答案】69【解析】根据题意，ABC中，AC=3,BC=23，则ACsinB=BCsinA，即3sinB=23sinA，变形可得3sinA=23sinB，又由A=2B，即sinA=sin2B=2sinBcosB，则有6sinBcosB=23sinB，变形可得：cosB=33，则sinB=63，则sinA=sin2B=2sinBcosB=223，cosA=cos2B=2cos2B-1=-13，则sinC=sin(-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=69，故答案为：6922,。在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a2bcos C，则此三角形的形状是三角形【答案】等腰【解析】方法一由余弦定理可得a2b，因此a2a2b2c2，得b2c2，于是bc，从而ABC为等腰三角形方法二由正弦定理可得sin A2sin Bcos C，因此sin(BC)2sin Bcos C，即sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos C，于是sin(BC)0，因此BC0，即BC，故ABC为等腰三角形23在ABC中，cos ，则ABC的形状是三角形【答案】等腰【解析】由已知得cos2，2cos21cos B，cos Acos B，又0A，0B，AB，ABC为等腰三角形24在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2c2b2)tan Bac，则角B的值为【答案】或【解析】由余弦定理，得cos B，结合已知等式得cos Btan B，sin B，又0B，B或.25.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2(ab)26，C，则ABC的面积是【答案】【解析】c2(ab)26，c2a2b22ab6.C，c2a2b22abcos a2b2ab.由得ab60，即ab6.SABCabsin C6.26已知ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2b2c2bc，a3，则ABC的周长的