高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.4 平面向量的综合应用课件 理.ppt

5 4平面向量的综合应用 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 向量在平面几何中的应用 1 用向量解决常见平面几何问题的技巧 知识梳理 a b x1y2 x2y1 0 x1x2 y1y2 0 a b 0 2 用向量方法解决平面几何问题的步骤 平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题 2 平面向量在物理中的应用 1 由于物理学中的力 速度 位移都是 它们的分解与合成与向量的相似 可以用向量的知识来解决 2 物理学中的功是一个标量 是力f与位移s的数量积 即w f s f s cos 为f与s的夹角 矢量 加法和减法 3 向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具 常与函数 三角函数 解析几何结合 常通过向量的线性运算与数量积 向量的共线与垂直求解相关问题 2 若直线l的方程为 ax by c 0 则向量 a b 与直线l垂直 向量 b a 与直线l平行 几何画板展示 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 若 则a b c三点共线 2 向量b在向量a方向上的投影是向量 3 若a b 0 则a和b的夹角为锐角 若a b 0 则a和b的夹角为钝角 4 在 abc中 若 0 则 abc为钝角三角形 5 已知平面直角坐标系内有三个定点a 2 1 b 0 10 c 8 0 若动点p满足 t r 则点p的轨迹方程是x y 1 0 考点自测 1 教材改编 已知 abc的三个顶点的坐标分别为a 3 4 b 5 2 c 1 4 则该三角形为a 锐角三角形b 直角三角形c 钝角三角形d 等腰直角三角形 答案 解析 a 6b 5c 4d 3 在 abc中 由余弦定理可得 ab2 ac2 2ab ac cosa bc2 所以ab2 ac2 32 100 ab2 ac2 68 又d为边bc的中点 所以 两边平方得4 2 68 32 36 解得 3 故选d 答案 解析 答案 解析 x 2y 4 0 由 4 得 x y 1 2 4 即x 2y 4 4 2016 银川模拟 已知向量a cos sin b 1 则 2a b 的最大值为 设a与b夹角为 2a b 2 4a2 4a b b2 8 4 a b cos 8 8cos 0 cos 1 1 8 8cos 0 16 即 2a b 2 0 16 2a b 0 4 2a b 的最大值为4 4 答案 解析 几何画板展示 5 已知一个物体在大小为6n的力f的作用下产生的位移s的大小为100m 且f与s的夹角为60 则力f所做的功w j w f s f s cos f s 6 100 cos60 300 j 300 答案 解析 题型分类深度剖析 题型一向量在平面几何中的应用 例1 1 在平行四边形abcd中 ad 1 bad 60 e为cd的中点 若 1 则ab 答案 解析 在平行四边形abcd中 取ab的中点f 2 已知o是平面上的一定点 a b c是平面上不共线的三个动点 若动点p满足 0 则点p的轨迹一定通过 abc的a 内心b 外心c 重心d 垂心 答案 解析 引申探究本例 2 中 若动点p满足 0 则点p的轨迹一定通过 abc的 内心 答案 解析 向量与平面几何综合问题的解法 1 坐标法把几何图形放在适当的坐标系中 则有关点与向量就可以用坐标表示 这样就能进行相应的代数运算和向量运算 从而使问题得到解决 2 基向量法适当选取一组基底 沟通向量之间的联系 利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解 思维升华 跟踪训练1 a 等边三角形b 直角三角形c 等腰非等边三角形d 三边均不相等的三角形 答案 解析 5 答案 解析 以d为原点 分别以da dc所在直线为x轴 y轴建立如图所示的平面直角坐标系 设dc a dp y 则d 0 0 a 2 0 c 0 a b 1 a p 0 y 由点p是腰dc上的动点 知0 y a 题型二向量在解析几何中的应用 例2 1 已知向量 k 12 4 5 10 k 且a b c三点共线 当k 0时 若k为直线的斜率 则过点 2 1 的直线方程为 2x y 3 0 4 k k 5 6 7 0 解得k 2或k 11 由k 0可知k 2 则过点 2 1 且斜率为 2的直线方程为y 1 2 x 2 即2x y 3 0 答案 解析 答案 解析 向量在解析几何中的 两个 作用 1 载体作用 向量在解析几何问题中出现 多用于 包装 解决此类问题的关键是利用向量的意义 运算脱去 向量外衣 导出曲线上点的坐标之间的关系 从而解决有关距离 斜率 夹角 轨迹 最值等问题 2 工具作用 利用a b a b 0 a b为非零向量 a b a b b 0 可解决垂直 平行问题 特别地 向量垂直 平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直 平行问题是一种比较简捷的方法 思维升华 跟踪训练2 2016 合肥模拟 如图所示 半圆的直径ab 6 o为圆心 c为半圆上不同于a b的任意一点 若p为半径oc上的动点 则的最小值为 圆心o是直径ab的中点 答案 解析 题型三向量的其他应用 命题点1向量在不等式中的应用 答案 解析 命题点2向量在解三角形中的应用例4 2016 合肥模拟 在 abc中 角a b c的对边分别是a b c 若20a 15b 12c 0 则 abc最小角的正弦值等于 答案 解析 命题点3向量在物理中的应用例5如图 一质点受到平面上的三个力f1 f2 f3 单位 牛顿 的作用而处于平衡状态 已知f1 f2成60 角 且f1 f2的大小分别为2和4 则f3的大小为 答案 解析 利用向量的载体作用 可以将向量与三角函数 不等式结合起来 解题时通过定义或坐标运算进行转化 使问题的条件结论明晰化 思维升华 跟踪训练3 1 函数y sin x 在一个周期内的图象如图所示 m n分别是最高点 最低点 o为坐标原点 且 0 则函数f x 的最小正周期是 答案 解析 3 答案 解析 3 三审图形抓特点 审题路线图系列 审题路线图 答案 解析 返回 由e为该函数图象的一个对称中心 作点c的对称点m 作mf x轴 垂足为f 如图 返回 课时作业 a 等边三角形b 等腰三角形c 直角三角形d 等腰直角三角形 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 故 abc一定是直角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 2016 山东 已知非零向量m n满足4 m 3 n cos m n 若n tm n 则实数t的值为 n tm n n tm n 0 即tm n n2 0 t m n cos m n n 2 0 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 2016 南宁模拟 已知向量a cos 2 b sin 1 且a b 则sin2 等于 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 2016 武汉模拟 设 abc的三个内角为a b c 向量m sina sinb n cosb cosa 若m n 1 cos a b 则c等于 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 已知点a 2 0 b 3 0 动点p x y 满足 x2 则点p的轨迹是a 圆b 椭圆c 双曲线d 抛物线 2 x y 3 x y 2 x 3 x y2 x2 y2 x 6 即点p的轨迹是抛物线 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 6 若平面向量 满足 1 1 且以向量 为邻边的平行四边形的面积为 则 与 的夹角 的取值范围是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 如图 向量 与 在单位圆o内 由于 1 1 且以向量 为邻边的平行四边形的面积为 故以向量 为两边的三角形的面积为 故 的终点在如图所示的线段ab上 且圆心o到ab的距离为 因此夹角 的取值范围为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 在菱形abcd中 若ac 4 则 8 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 已知平面向量a b满足 a 1 b 2 a与b的夹角为 以a b为邻边作平行四边形 则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为 答案 解析 a b 2 a b 2 4a b 4 a b cos 4 0 a b a b 又 a b 2 a2 b2 2a b 3 a b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 已知 a 2 b 0 且关于x的函数f x x3 a x2 a bx在r上有极值 则向量a与b的夹角的范围是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设a与b的夹角为 f x x2 a x a b 函数f x 在r上有极值 方程x2 a x a b 0有两个不同的实数根 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 圆 x 2 2 y2 4的圆心c 2 0 半径为2 圆m x 2 5cos 2 y 5sin 2 1 圆心m 2 5cos 5sin 半径为1 cm 5 2 1 故两圆相离 如图所示 设直线cm和圆m交于h g两点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设m x y 为所求轨迹上任一点 设a a 0 q 0 b b 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 b 0 y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 已知m n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 1 2 3 4 5 6