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泛函分析总结范文 泛函分析总结学习泛函分析主要学习了五大主要内容 一、度量空间和赋范线性空间； 二、有界线性算子和连续线性泛函； 三、内积空间和希尔伯特空间； 四、巴拿赫空间中的基本定理； 五、线性算子的谱。 本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。 一、度量空间和赋范线性空间度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n维欧氏空间Rn的推广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。 1度量定义设X是一个集合，若对于X中任意两个元素x，y,都有唯一确定的实数d与之对应，而且这一对应关系满足下列条件1d0，d=0?x=y2d=d3对?z，都有dd+d则称d是x、y之间的度量或距离，称为度量空间或距离空间。 注意:定义在X中任意两个元素x，y确定的实数d，只要满足1、2、3都称为度量。 这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X中两个事物接近的程度，而条件1、2、3被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。 度量空间中由集合X和度量函数d所组成，在同一个集合X上若有两个不同的度量函数d1和d2，则我们认为和是两个不同的度量空间。 集合X不一定是数集，也不一定是代数结构。 为直观起见，今后称度量空间中的元素为“点”，例如若x?X，则称为“X中的点”。 在称呼度量空间时可以省略度量函数d，而称“度量空间X”。 1.1举例1.11离散的度量空间设X是任意的非空集合，对X中任意两点x,yX，令?1，当x?y，则称为离散度量空间。 d?x，y?=?0，当x=y?1.1序列空间SS表示实数列的全体，d?i?11i?i?i21?i?i；1.1有界函数空间BA是给定的集合，B表示A上有界实值函数全体，对B中任意两点x,y，定义dsupx?y t?A1.1可测函数空间MM为X上实值的L可测函数全体。 d=?1?xf?gf?g1.1Ca,b空间Ca,b表示闭区间a,b上实值连续函数全体，对Ca,b中任意两点x,y，定义dmaxx?y a?t?b21.1l无限维空间例1. 15、1.16是考试中常考的度量空间。 2度量空间中的极限，稠密集，可分空间2.1x0的?领域设为度量空间，d是距离，定义U?x?Xd是一个度量空间，中点列,如果存在x?X，?xn?是?xn?收敛于x，使lim n?)xn?x，即d?0?supd为点集M的直x,y?M径。 若?，则称M为中的有界集。 2.4闭集A是闭集?A中任意收敛点列的极限都在A中，即若xn?A，n=1,2，.xn?x,则x?A。 2.5举例n2.5.1n维欧氏空间R中，点列依距离收敛d?0?依分量收敛。 2.5.Ca,b空间中，点列依距离收敛d?0?依分量一致收敛。 2.5.序列空间S中，点列依坐标收敛。 2.5.可测函数空间M函数列依测度收敛于f，即d?0?fn?f。 2.6稠密子集和可分度量空间有理数集在实数集中的稠密性，它属于实数集中，现把稠密性推广到一般的度量空间中。 2.6.1定义设X是度量空间，E和M是X的两个子集，令M表示M的闭包，如果E?M，则称集M在集E中稠密，当E=X时，称M为X的一个稠密子集，如果X有一个可数的稠密子集，则称X为可分空间。 注可分空间与稠密集的关系由可分空间定义知，在可分空间X中一定有稠密的可数集。 这时必有X中的有限个或可数个点在X中稠密。 2.6.2举例n维欧式空间Rn是可分空间坐标为有理数的全体是Rn的可数稠密子集。 离散度量空间X可分?X是可数集。 l是不可分空间。 数学知识间都有联系，现根据直线上函数连续性的定义，引进了度量空间中映射连续性的概念。 3.连续映射?3.1定义设X=Y=是两个度量空间，T是X到Y中的映射x0?X，如果对?0，?0，使对X中一切满足d则称T在x0连续。 Y?R时，映射就是度量空间上的函数。 注对于连续可以用定义证明，也可以用邻域的方法证明。 下面用邻域描述对Tx0的-邻域U，存在x0的某个邻域V，使TV?U，其中TV表示V在映射T作用下的像。 3.定理1设T是度量空间到度量空间中映射，T在x0?X连续?当xn?x0时，必有Txn?Tx0。 在映射中我们知道像与原像的概念，下面对原像给出定义。 3.原像的定义映射T在X的每一点都连续，则称T是X上的连续映射，称集合xxX，Tx?M?Y为集合M在映射T下的原像，简记为T?1M。 可见，对于度量空间中的连续映射可以用定理来证明，也可以用原像的定义来证明。 3.4定理2度量空间X到Y中的映射T是X上连续映射?Y中任意开集M的原像T?1M是X中的开集=的补集，可将定理中开集改成闭集，定理也成立。 ）注像开原像开，像闭原像闭，映射连续。 在数学分析中有学过收敛点列，柯西点列，但研究都在R中。 现在我们可类似的给出度量空间中柯西点列的概念。 4.柯西点列和完备的度量空间。 4.1柯西点列的定义设X=是度量空间，xn是X中的点列，对?0，?正整数N=N，使当，N时，必有是X中的柯西点列或基本点列。 我们知道实数集的完备性，同时在学习数列收敛时，数列收敛的充要条件是数列是Cauchy列，这由实数的完备性所致。 在度量空间中，这一结果未必成立。 但在度量空间中的确存在完备的度量空间。 4.2完备的度量空间的定义如果度量空间中每一个柯西点列都在中收敛，那么称是完备的度量空间但要注意，在定义中要求X中存在一点，使该柯西点列收敛到这一点。 4.3举例4.3.1有理数全体按绝对值距离构成的空间不完备，但n维欧式空间Rn是完备的度量空间。 4.3.在一般度量空间中，柯西点列不一定收敛，但是度量空间中的每一个收敛点列都是柯西点列C、Ca,b、l?也是完备的度量空间。 4.4定理完备度量空间X的子空间M，是完备空间?M是X中的闭子空间。 P，是不完备的度量空间5.度量空间的完备化。 5.1等距映射设，是两个度量空间，T是从X到X上的映射，即对?x,y?X,d=d,则称T是等距映射。 5.2定义设，是两个度量空间，如果存在一个从X到X上的等距映射T，则称和T称为X到X上的的距离等于原像的距离）注在泛函分析中往往把两个等距同构的度量空间不加区别而视为同一的。 5.2定理1设X=是度量空间，那么一定存在完备度量空间X=，使X与X的某个稠密子空间W等距同构，并且X在等距同?）也是一个完备的度量空间，且X与X?，d?的某个稠构下是唯一的,即若等距同构。 2.对称性d=d;3三角不等式对?x,y,z?，都有d为度量空间，?中的元素称为点。 1x欧氏空间nR对R2nn?2?d?x,y?=?xi?yi?.1?i?表示闭区间?a,b?上实值连续函数的全体.对C?a,b?C?a,b空间C?a,b?中任意两点x,y，定义d?x,y?=maxx?t?y?t?a?t?b?1p?pp?l是完备度量空间C12，X中的闭子空间.?a,b?是完备的度量空间P?a,b?是不完备的度量空间度量空间的完备化定义1设，是两个度量空间，若存在X到X上的保距映射T=d)，则称和等距同构，此时称T为X到X上的等距同构映照。 等距同构映照是1-1映射.定理1设X=是度量空间，那么一定存在一完备度量空间X=，使X与X的其个稠密子空间W等距同构，并且X在等距同构意义下是唯?)也是一完备度量空间，且X与X?,d?的其个稠密子空间W等距同构，则一的，即若等距同构.?,d与.定理1.设X是完备度量空间，T是X上的压缩映照，则T有且只有一个不动点.补充定义若TX=X,则称X是T的不动点，即X是T的不动点?X是方程TX=X的解。 定理2.设函数f?x,y?在带状域a?x?b，?y?中处处连续，且处处有关?x,y?，若存在常数m和M，满足m?M，于y的偏导数fy?x,y?M，则方程f?x,y?=0在区间?a,b?上必有唯一的连续函数0?m?fy y?x?作为解f?x,?x?0，x?a,b?.定义设8赋范线性空间和Banach空间线性空间+范数?线性赋范空间线性赋范空间+完备性?巴拿赫空间定义1设X是任一非空集合，若K是一个数域，如果X对某种规定的加法和数乘两种运算封闭，且?x,y,z?X,?,?K,满足1)x+y=y+x)+z+x+3)?X,使x+?=x)?x?X,使x+x=?)?=?x=?)1x=x,0x=?7)x=?x+?x)?=?x+?y则称x+y为x与y的和，?x为数?与x的数乘,称X为线性空间或向量空间，X中的元素称为向量。 定义设一个实数X为是实数域F的线性空间，若对?x?X，存在x于之对应，且满足下列条件x?0;且x?0?x?0；x?x，?F；性）x?y?x?y，x,y?X；则称x为x的范数，称为赋范线性空间定义完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间。 例子Ca,b，空间l，n维Euclidean空间R，La,b，n p都是Banach空间。 度量空间与赋范线性空间区别度量空间是定义了度量的线性空间，也就是两个元素之间的“长度”，满足非负性、对称性、三角不等式。 赋范线性空间就是定义了范数的线性空间，其满足范数公理联系都是在线性空间的前提下讨论的。 赋范线性空间是一种特殊的度量空间泛函分析知识点小结及应用第七章度量空间1度量空间的进一步例子一度量空间的定义设X是任一非空集合，若对于?x,y?X，都有唯一确定的实数d?x,y?与之对应，且满足1非负性d?x,y?0，d?x,y?=0?x?y;.对称性d=d;3三角不等式对?x,y,z?，都有d?x,y?d?x,z?+d?y,z?，则称为度量空间，?中的元素称为点。 欧氏空间Rn对Rn中任意两点x?x1,x2,?,xn?和y?y1,y2,?,yn?，规定距离为?2?d?x,y?=?xi?yi?.?i?1?C?a,b?空间C?a,b?表示闭区间?a,b?上实值连续函数的全体.对C?a,b?中任意两点x,y，定义d?x,y?=maxx?t?y?t?.a?t?b?n12?l是完备度量空间C?a,b?是完备的度量空间P?a,b?是不完备的度量空间度量空间的完备化定义1设，是两个度量空间，若存在X到X上的保距映射T=d)，则称和等距同构，此时称T为X到X上的等距同构映照。 等距同构映照是1-1映射.因设?x1,x2?X，且x1?x2，则因d?0及d=d?0，知Tx1?Tx2.定理1设X=是度量空间，那么一定存在一完备度量空间X=，使X与X的其个稠密子空间W等应用泛函分析总结1.距离空间的定义设X是非空集合，若存在一个映射dXXR，使得?x,y,z?X,下列距离公理成立非负性d0，d=0?x=y;对称性d=d;三角不等式dd+d;则称d为x与y的距离，X为以d为距离的距离空间，记作.P3例题2.1.22.距离空间中的开集与闭集设A?X，若A=A0，则称A为X中的开集；若A=A，则称A为X中的闭集。 定理2.2.1开集的余集是闭集，闭集的余集是开集。 证设A为开集，则有?A?AC；再由A?A0?A?A?A,有AC?0?AC?AC?A?AC故AC为闭集，若A为闭集，则由A0?A?A?A?A,有?A?C0?AC?AC?)C?)C?C?A?AC?C故AC为开集。 定理2.2.2任意个开集的并集是开集，有限个开集的交集是开集。 证设G?为开集，令G=UG?，则?x?G，?r0，使得?I Br?G?G从而x为G的内点，故G为开集；又设G?Gk，其中Gk为k?1n开集，则?x?G,有x?Gk.由Gk开，知?rk0，使得Brk?Gk，故取r?minrk,则有Br?Gk?G，从而有x为G的内点，故G亦为开1?k?nnk?1集。 3.稠密性设A,B是距离空间X的两个子集，则A称为X中的稠集，若A=X A称为B的稠子集，若A?B?A A称为在B中稠密，若B?A.4.Cauchy列距离空间中的点列xn称为Cauchy列，若?0，?N?N,使当m,nN时，有d?定义2.5.距离空间成为完备的，若X中的任一Cauchy列都收敛到X中的一点。 5.列紧集与紧集设A是距离空间X的子集，若A中的任一点列都有收敛子列，则称A为列紧集；若A中的任一点列都有收敛于A的子列，则称A为紧集。 6.压缩映射设为距离空间，TX?X是X到自身的一个自映射，若存在常数，使对?x,y?X，有dd,则称T为X上的压缩映射。 7.不动点对X上的自映射T，若?x*?X，使得Tx*=x*，则称x*为T的一个不动点8.给出映射须证出为压缩映射9.赋值空间设X是数域K上的线性空间，若?x?X，都有一个实数|x|与之对应，使得?x,y?X，?K，下列范数公理成立正定性|x|0，|x|=0?x=0绝对齐次性|x|=|x|三角不等式|x+y|x|+|y|则称|x|为x的范数，X为K上的赋范空间，记作例3.2.1?x?R,定义|x|=|x|,则是赋范空间。 例3.2.2?x=?Rn，定义|x|p=，1pk?1np1p，|x|?max|xk|，1?k?n则均为赋范空间。 10.Banach空间的概念完备的赋范空间称为Banach空间。 11.范数的等价性定义3.4.1设|.|1和|.|2是线性空间X上的两个范数，若?xn?X，lim|x n?n|1?o?lim|xn|2?0，n?则称|.|1与|.|2是等价的。 定理3.4.1线性空间X上的两个范数|.|1与|.|2等价的充分必要条件是?C1,C20，使得?x?X,有C1|x|1?|x|2?C2|x|1证必要性设|.|1与|.|2等价，若不存在C20，使得?x?X，均有|x|2?C2|x|1，则?n?N,?xn?X,使得|xn|2n|xn|1记yn?1xn，则当n?时，|xn|211|xn|1?0，|xn|2n|yn|1?泛函分析学习心得10数本*010224216泛函分析是数学系基础数学专业的一门重要必修基础课程。 是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。 也由于它研究的对象导致它是一门比较抽象的课程，不像我们以前所学习的知识那样容易理解而有实体，所以，如果我们要学好这门课,那就必须讲究学习方法。 除此之外，泛函分析也是数分与高代综合的抽象，所以想学好泛函分析就要有良好的基础，而作为上册的实变也是其中起着关键作用的基础。 泛函分析的特点是它的抽象化，把概念和方法几何化。 比如，课本中第一章讲的距离空间，如章前引导的，解微分方程所引发的各种疑问促使人们将函数集合作为一个整体看待，在其上引入线性运算、距离等概念，从而得到抽象的距离空间，也就是把不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。 它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。 由于这门课程比较抽象，所以要学好这门课程，对于我们来说，还是有点难度的。 但是，只要我们掌握了好的学习方法，我们还是一样可以吧这门课程学好的。 那怎样的学习方法才能让我们学好这门抽象的课程呢？下面，我就说说我的看法。 首先，我们一定要适应大学的教学模式，尽快进入角色，毕竟大学跟我们中小学的课堂教学模式是完全不一样的。 大学是以学生自学为主，老师指导为辅。 要想学好泛函分析这门课，更多的是需要我们学习的自主性。 其次，就是我们的课前预习。 我们要对课本的相关教材熟悉，初步把握好教材内容的重难点。 在上课的时候，带着问题就听老师讲课，这样对于我们的课堂效率就能有很大的提升。 我们也能很轻松的跟着老师节奏走，对于泛函分析的抽象问题，我们也就比较容易想象它的模型，消化起然也就相对轻松很多。 再次，在课堂上，我应该根据老师课程的讲解，参与老师的互动。 虽然大学的课